近世代数 4—6结合律、交换律及分配律
冬季国内旅游推荐-关于清明节的内容
第
2
讲
一、算律
§
4
—
6
结合律、交换律及分配律（
2
课时）
(Associative Law Commutative Law and
distributive law
)
定义
任一
个
A
B
到<
/p>
D
的映射都叫做
A
B
到
D
的
一个代数运算。
定义
若
是
A
< br>
A
到
A
的代数运算，则可称
是
A
的代数运算
或称二元运
算。
§
4
、
结合律：
当元素个数
2
时，
譬如
a
1
,
a
2
< br>,
a
3
,
a
4
同时
代数运算就是二元运算，
进行运算：
a
1
a
2
<
/p>
a
3
a
4
，这已经超出了我们定义的范围，这个符号
至少现在是没有意义的。
对四个元
素我们可以进行两两运算，进行了三次后就能算出结果。
两两运算的过程叫做加括号。加
括号的方法显然不止一种：
[(
a<
/p>
1
a
2
)
a
3
]
a
4
；
[
a
1
(
a
2
a
3
)]
a
4
；
(
a
1
a
2
)
(
a
3
a
< br>4
)
„
„
„
加括号的方法不一样，其运算的结果是否一样？
例
1
：设
A
Z
,
“
”是整数中的减法：则特取
2
,
5
,
3
Z
，
(
2
5
)
3
6
，而
2
(
5
3
)
0
(
2
5
)
3
2
(
5
3
)
< br>
其运算的结果不一样。
例
2
：设
A<
/p>
Z
,
“
”是整数中的加法：则
r
,
s
,
t
Z
,
(
r
s
)
< br>t
r
(
s
t
)
定义
1<
/p>
：设
是集合
A
的一个代数运算，如果
a
,
b
,
c
A
都有
< br>(
a
b
)
c
a
(
b
c
)
，
则称
满足结合律。
例
2
、
“
+
”在
Z
中适合结合律。
例
1
、
“
-
”在
Z
中不满足结合律。
思考题：
就结合律成立与交换律不成立分别各举一例。
上述实例告诫我们，并不是每一个代数运算都能满足结合律的。
注意
：
定义
2
：
设
A
中的代数运算为
，任取
n
(
n
2
)
个元素
a
1
,
a
2
,
,
a
n
，如果所有加括号的方法最后算
出的结果是
一样的，那么这个结果就用
a
1
a
2
a
n
来表示。
注意
：
从定义
2
可知，
“
a
1
a
2
<
/p>
a
n
”
(
n
2
)
也可能是有意义的。
定理
1
（
p11.
定理）
：如果
A
的代数运算
满足结合律，那么
对于
< br>A
的任意
n
(
< br>n
2
)
个元素
a
1
,
a
2
,
,
a
n
来说，所有加括号的方
法运算的结果总是唯一的，因此，这一唯一的结果就可用
a
1
a
2
a
n
来表示。
证明：
因
n
是有限数，所
以加括号的方法必是有限的。
任取
一种加括号的方法
(
a
1
a
2
< br>
a
n
)
，往证：
(
a
1
a
2
<
/p>
a
n
)
a
1
(
a
2
a
n
)
对
n
用数学归纳法。当
n=2
时，结论成
立。假设对
<
br>和 <
br>i <
br>1 <
br>
，结论成立，
即所有加
括号的方法运算的结果是唯一的。设
(
a
1
a
2
a
n
)
b
1
b
2
，
b
1
b
2
分
别
是
i
和
n
i
个
元
素
经
加
括
号
而
运
算
的
结
果
.
n
1
,
n
i
n
1
，由归纳假设，
(
a
1
a
2
a
n
)
b
1
b
2
[
a
（
a
2
a
i
）
]
[
a
i
1
a
i
2
a
n
]
a
1
{
(
a
2
<
/p>
a
i
）
[
a
i
1
a
i
2
a
n
]}
a
1
[
a
2
a
i
a
i
1
a
i
< br>
2
a
n
]
。
§
5
、
交换律
定义
3<
/p>
：设
是集合
A
的一个代数运算，如果
a
,
b
A
都有
a
< br>b
b
a
，
则称
满足交换律。
定理
2
：设
A
的代数运算
同时满足结合律和交换律，那么
a
1
a
2
a
n
中的元的次序可以任意掉换。
证明：
用数学归纳法。当
n=2
时定理成立，假设当元素的
个数为
n
1
时，定理成立，
元素的个数为
n
时，设
a
i
1
a
i
2
a
i
n
< br>是
a
1
,
a
2
,
,
a
n
的按任意一个次序相乘的结果。这
里的
i
1
,
i
2
,
i
n
是
1
，
2
，
n
的一个排列，而
a
i<
/p>
,
a
i
1
2
,
,
a
i
n
是
a
1
,
a
2
,
,
a
n
的一个
排列。因此，有
a
< br>i
k
a
n
。所以，
a
i
1
a
i
2
<
/p>
a
i
n
(
a
i
1
a
i
2
a
i
k
1
)
[
a<
/p>
n
(
a
i
k
1
a
i
n
)]
< br>(
a
i
1
a
i
2
a
i
k
1
)
[(
a
i
k
1
a
i
n
)
a
n
]
[(
a
i
1
a
i
2
a
i
k
1
)
< br>(
a
i
k
1
a
i
n
)]<
/p>
a
n
(
a
i
1
a
i
2
a
i
k
1
a
i
k
<
/p>
1
a
i
n
)
a
n
a
1
a
2
a
n
满足交换律的运算一般用“
+
”表示。
§
6
、
分配律
定义
4<
/p>
：设
A
,
B
都是集合，而
是
B
A
A<
/p>
的代数运算，
而
是
A
的代数运算，如果
b
B
,
a
1
,
a
2
A
，都有
b
(
a
1
<
/p>
a
2
)
(
b
a
1
)
(
b
a
2
)
那么称
,
满足
左分配律
。
定理
3
< br>：
设
A
,
B
和
,
如上，
如果
满足结合律，
且
,
< br>
满足左分配律，
那么
b
B
,
a
1
,
a
2
,
,
a
n
A
，都有
b
(
a
1
<
/p>
a
2
a
n
)
(
b
a
1
)
(
b
a
2
)
<
/p>
(
b
a
n
)
[
论证思路
]
采用数学归纳法，归纳假设
n
<
/p>
1
时命题成立。
定义
5
：设
A
,
B
和
,
同上，若
b
B
,
<
/p>
a
1
,
a
2
A
，若有
(
a
1
a
2
)
b
(
a
1
b
)
(
a
2<
/p>
b
)
，
那么称
,
满足
右分配律
<
/p>
定理
4
：设
A<
/p>
,
B
和
,
同上，若
适合结合律，
而
,
适合右分配律。那么
b
B
,
a
1
,
a
2
,
,
a
n<
/p>
A
,
都
有
(
a
1
a
n
)
b
(
a
1
b
)
<
/p>
(
a
n
b
)
。
注意
：定义
4
与定义
5
，
、定理
3
与定理
4
是对称
的两对概念，所以
定理
4
的证明可依据
定理
3
的思路解之。
作业：
P
12
②，
P
16
。
二、
一一映射，同态及同构
§
7
、
1
、一一映射（双射。
Bijection
）
在高等
代数中，
已对各类映射作了系列性的介绍，
这里只简要的
复习。
定义
1
、设
是集合
A<
/p>
到
A
的映射，且
既是单的又是满的，则称
是
一个一一映射（双射）
。
< br>定理
1
：设
< br>是
A
到
A
的一个双射，那么由
可诱导出
<
/p>
（可确定出）
A
到
A
的一个双射
< br>1
（通常称
1
是
的逆映射）
结论
：设
:
A
A
是映射，那么：
可唯一的确定一个逆映射
1
:
A
A
（
1
）
是双射
使得：
<
/p>
1
，
1
A
,
1
A
；
1
也是
1
的逆映射，且
(
1
)
1
；
（
2
）<
/p>
是双射
A<
/p>
与
A
同时是有限集或同时是无限集。
2
、变换（
tr
ansformation
）
定义<
/p>
2
：
设
:
A
A
是映射，那么称
为
A<
/p>
的变换。
当
是双射（单射，满射）时，也称
为一
一变换（单射变换，
满射变换）
例
2
P
19
§<
/p>
8
、同态（
Homomorphism<
/p>
）
比较代数系统的一种方法
定义
3
：设集合
A
,
A
都各有代数运算
,
（称
{
A
,
}
及<
/p>
{
A
,
}
为
代数系统
）而
:
A
A
是映射，且满足下面等式：
（习惯上称
可保持运算
）
a
,<
/p>
b
A
,
(
a
b
)
(
a
)
(
b
)