数列的十种典型递推式
墨香2-
1
十大递推数列求通项：
< br>(1)
等差数列：
a
n
=a
n-1
+d
<
/p>
例
1
：已知：数列
{a
n
}
中
a
1
=1,a
n
=a
n-1
+3,(n
≥
2).
求
a
n
的通项公式。
答
a
n
=3n-2.
(2)
等比数列：
< br>a
n
=a
n-1
q
例
< br>2
：已知：数列
{a
n
}
中
a
1
=1,a
n
=2a
n-1<
/p>
,(n
≥
2).
求
a
n
的通项公式。
< br>
答
a
n
=
2
(3)
似等差数列：
a
n
=a
n-1
+f(n)
用叠加法。
例
3
：已知：数列
{a
n
}
中
a
1
=1,a
n
=a
n-1
+3n+1,(n
≥<
/p>
2).
求
a
n<
/p>
的通项公式。
n
1
. <
/p>
3n
2
5n<
/p>
6
答
a
n
=
.
2
(4)
线性数列：
< br>a
n
=pa
n-1
+q
构造等比数列。
例
4
：已知：数列
{a
n
}
中
a
1
=3,a
n
=2a
n-1
-1,(n
≥
2).
求
a
n
的通项公式。
答
a
n
=
2
1
.
(5)
似等比数列：
a
n
=a
n-1
f(n)
叠乘法。
例
5
：已知：数列
{a
< br>n
}
中
a
1
=3,a
n
=na
n-1
,(n
≥
2).
求
a
n
的通项公式。
答
a
n
=3n
！
.
(6)
三项递推：
< br>a
n
=pa
n-1
+qa
n-2
设
a
n+1
-xa
n
=y(a
n
-xa
n-1
),
构造一个或二个等比数列再通过等差数
列或解方程组求出。
例
6
：已知：数列
{a
n
}
中
a
1
=1,a
2
=3,a
n
=3a
n-1
-2a
n-
2
,(n
≥
3).
求
a
n
的通项公式。
答
a
< br>n
=2
n
-1.
例
7
：已知：数列
{a
n
}
中
a
1
=1,a
2
=3,a
n
=4a
n-1
-4a
n-2
,(n
≥
3).
求
a
n
的通项公式。
答
a
n
=(n+1)2
n-2
.
例
8
：已知：数列
{a
n
}
中
a
1
=1,a
2
=4,a
n
=4a
n-1
-4a
n-2
,(n
≥
3).
求
< br>a
n
的通项公式。
答
a
n
=n2
n-1
.
例
9
：已知：数列
{a
n
}
中
a
1
=2,a
2
=3,a
n
=5a
n-1
-6a<
/p>
n-2
,(n
≥
3).
求
a
n
的通项公式。
答
< br>a
n
=3
×
2
n-1
-3
n-1
.
例
10
：已知：数列<
/p>
{a
n
}
中
a
1
=a,a
2<
/p>
=b,a
n
=a
n-1
-a
n-2
,(n
≥
3).
求
a
n
的通项公式。
答周期为
6.
例
11 (2006
年普通高等学校夏
季招生考试数学
(
文史类
)
福建卷
(
新课程
)) <
/p>
n
（
22
）已知
数列
满足
（
I
）
证明：
数列
满足
是等比数列；
（
II
）
求数列
证明
的通项公式
；
（Ⅲ）
若数列
是等差数列。
(7)
似线性数列
：
a
n+1
=pa
n
+f(n)
，
变为
a
n
1
a
n
f
(
n
)
，即化为（
3
）型。
n
1
n
n
1
p
p
p
特别
地①
a
n
1
pa
n
<
/p>
bn
c
型，还
可以令
a
n
1
x
(
n<
/p>
1)
y
p
(
a
n
xn
y
)
，待定系数
x,y<
/p>
，
构造等比数列，要比通法简单。
②
a
n
1
pa
n
q
b
型，还可以令
a
n
1
xq
n
n
1
y
p
(
a
n
xq
n
y
)
，
待定系数
x,y
，
构造等比数列，要比
通法简单。
例
12
< br>：已知：数列
{a
n
}
中
a
1
=5,a
n
=3a
n-1
+3
n
-1,(n
≥
2).
求
a
n
的通项公式。
答
a
n
(
n
1
n
1
)
3<
/p>
2
2
(8)
指数数列：
a
n+1
=pa
n
k
，取对数，化为（
4
）型。
例
13
：已知：
数列
{a
n
}
中
a
1
=4,a
n
=
n
3
n
1
3
a
,(n
≥
2).
求
a
的通项公式。
答
a
=
. <
/p>
2
n
2
n-1
n
n
4
(
n
1
)
3
(9)
分式递推：<
/p>
a
n
1
da
n
m
。
ba
n
c
s
(
a
n
r
)
1
br
c
b
，先待定
s,r
的值，再取倒数。
得：
<
/p>
，
a
n
1
r
s
(
a
n
r
)
s
ba
n
c
原理：
设
a
n
1
r
令
1
a
n
1
r
b
n
1
，化为：
b
n+1
=ab
n
+c
型，下
略。
求法：在上述原理中，称
r
为
a
n
1
进行外，也可令
x
da
n
<
/p>
m
的特征根。特征根的求法除了按上述方法逐步
< br>ba
n
c
dx
m
，解关于
x
的方程，得出方程的根
x
1
，
x
2
即为特
征根
r
1
,r
2
.
至此
b
x
c
法（ⅰ）令
a
n
1
x
1
s<
/p>
(
a
n
x
1
)
，再根据原式
中分子的
a
n
的系数待定出
s
，既可求解。
ba<
/p>
n
c
法（ⅱ）
令
1
1
b<
/p>
n
，得
a
n
=
x
1
,
将该式代入已知等式即得
b
< br>n
的递推关系。先求出
a
n
x
1
b
n
b
n
,
再求
a
n
。
注：该法更容易用。
<
/p>
例
14
（
200
6
年奥林匹克竞赛山东省赛区预选赛
19
题，即最后一题）
已知：数列
{a
n
}
满足
a<
/p>
n+1
a
n
+3
a
n+1
+a
n
+4=0,(n
≥
2).
（
1
）当
a
1
=-1
时
,
求
a
n
的通项公式。
（
2
）当
a<
/p>
1
=-2.03
时
,
求
a
n
的
最小值和最大值。
（
3
）当
a
2006
是
{a
n
}
中的最小项时
，求
a
1
的取值范围。
答（
1
）
< br>a
n
=-2+
1
1
4011
4013
a
1
.(2)a
34
最小为
-
5;a
35
最大为
-
< br>.(3)
.
n
2
2005
2006
例
15
在数列
{a
n
}
中，
a
1
=4,
且
a
n
+1
=
3
a
n
2
,
求
a
n
。
a
n
4