数列递推公式的九种方法
落叶一片片-
求递推数列的通项公式的九种方法
利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值
.
自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和
高中数学联赛的热点之
一
.
一、作差求和法
m
w.w.w.k.s.5.u.c.o
例
1
在数
列
{
a
n
}<
/p>
中，
a
1
3
,
a
n
1
a
n
解：原递推式可化为：
a
n
1
<
/p>
a
n
1
，求通项公式
a
n
.
n
(
n
1
)
1
1
1
1
1
1
则
a
2
< br>
a
1
,
a
3
a
2
n
n
1
1
2
2
3
1
1
1
1
1
1<
/p>
a
4
a
3
，……，
a
n
a
n
1
逐项相加得：
a
n
a
1
1
.
故
a
n
4
.
3
4
n
1
n
n
n
2
2
二、作
商求和法
例
2
设数列
{
a
n
}
是首项为
1
的正项数列，且
(
n
1
)
a
n
1
na
n
a
n
1
a
n
0
（
n=1,2
,3
…）
，则它的通项公式是
a
n
=
▁▁▁（
200
0
年高考
15
题）
解：原递推式可化为：
[(
n
1<
/p>
)
a
n
1
na
n
](
a
n
1
a
n
)
=0
∵
a
n
1
a
n
＞
0
，
a
n
1
n
< br>
a
n
n
1
则
a
a
a
2
1
a
3
2
a
4
3
1
n
< br>1
1
逐项相乘得：<
/p>
n
，即
a
n
=
.
,
,
,
……，
n
n
a
1
2
a
2
3
a
3
4
a
n
1
n
a
1<
/p>
n
4
13
1
,
a
2
，且当
n
≥
3
时，
a
n
a
n
1
(
a
n
1
a
n
2
)
，求
通项公式
a
n
（
1986
3
9
3
三、换元法
例
3
已知数列
{
a
n
}
，其中
a
1
年高考文科第八题改编）
.
解：设
b
n
1
a
n
a
n
1
，原递推式可化为：
b
n
1
1
13
4
1
1
1
n
2
1
1
n
2
1
b
n
< br>2
,
{
b
n
}
是一个等比数列，
b
1
a
2
a
1
，
(
)
(
)<
/p>
n
.
公比为
.<
/p>
故
b
n
1
b
1
(
)
3
9
3
9
3
3
9
3
3
1
n
3
1
1<
/p>
n
故
a
n
a
n
1
(
)
.
由逐差法可得：
a
n
(
)
.
3
2
2
3
例
4
已知数列
{
a
n
}
，其中
a
1
1
,
a
2
< br>
2
，且当
n
< br>≥
3
时，
a
n
2
a
n
1
a<
/p>
n
2
1
，求通项公式
a
n
。解
由
令<
/p>
b
n
1
a
n
a
n
1
，
则上式为
b
n
1
b
< br>n
2
1
，
因此
{
b
n
}
a
n<
/p>
2
a
n
1
a
n
2
1
得：
(
a
< br>n
a
n
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
1
，
是一个等差数列，
b
1<
/p>
a
2
a
1
1
，公差为
1.
故
b
n
n
.
。
由于
b
1
b
2
< br>
b
n
1
a
2
a
1
a
3
a
2
a
n
< br>a
n
1
a
n
1
又
b
1
b
2
b
n
1
n
< br>(
n
1
)
1
1
2
所以
a
n
<
/p>
1
n
(
n
1
)
，即
a
n
(
n
n
< br>
2
)
2
2
2
1
四、积差相消法
例
5
设
正数列
a
0
，
a
1
，
a
n<
/p>
…，
a
n
，…满
足
a
n
a
n<
/p>
2
a
n
1
a
n
2
=
2
a
n
1
(
n
2
)
且
a
0
a
1
1
，求
{
a
n
}
的
通项公式
.
解
将递推式两边同除以
a
n
1
a
n
< br>
2
整理得：
a
n
a
2
n
1
1
a
n
<
/p>
1
a
n
2
设
b
n
=
a
n
，则
b
1
a
< br>n
1
a
1
=1
，
b
n
2
b
n<
/p>
1
1
，故有
a
0
b
2
2
b
1
1
⑴
b
3<
/p>
2
b
2
1
⑵
…
…
…
…
b
n
2
b
n
1
1
(
n
1
)
由⑴
2
n<
/p>
2
+
⑵
2
n
3
+
…
+(
n
1
)
2
得
b
n
< br>
1
2
2
2
2
n
1
=
2
1
，即
0
n
a
n
n
=
2
1
.
< br>a
n
1
逐项相乘得：
a
n
=
(
2
1
)
2
(
2
2
1
)<
/p>
2
(
2
n
1
)
2
，考虑到
a
0
1
，
(
n
< br>
0
)
1
故
a
n
.
2
2
< br>2
n
2
(
n
1
)
(
2
1
)
(
2
1
)
(
2
1
< br>)
五、取倒数法
例
6
已知
数列
{
a
n
}
中，其中
a
1
1
,
，且当
n
≥
2
时，
a
n
a
n
1
，求通项公式
a
n
。
2<
/p>
a
n
1
1
解
将
a
n
a
n
1
< br>1
1
1
1
两边取倒数得：
2
，这说明
{
}
是一个等差数
列，首项是
1
，公差为
2
，
a
n
< br>a
n
1
a
n
a
1
2
a
n
1
1
所以
1
1
.
1
(
n
1
)
2
< br>
2
n
1
，即
a
n
2
n
1<
/p>
a
n
六、取对数法
例
7
若数列
< br>{
a
n
}
中，
a
1
=3
且
a
n
1
a
n
（
n
是正整数）
，则它的通项公式是
a
n
=
▁▁▁（
2002
年上海高考题）
.
解
由题意知
a
n
＞
0
，
将
a
n
1<
/p>
a
n
两边取对
数得
lg
a
n
1
2
lg
a
n
，即
n<
/p>
1
2
2
lg
a
n
1
2
，所以数列
{lg
a
n
}
是以
lg
a
n
n
1
lg
a
1
=
lg
3
为首项，公比为
2
的
等比数列，
lg
a
n
< br>
lg
a
1
2
n
1
lg
3
2
，即
a
n<
/p>
3
2
.
2
七、平方（开方）法
例
8
若数
列
{
a
n
}<
/p>
中，
a
1
=2<
/p>
且
a
n
解
将
a
n
2
3
a
n
，求它的通项公式是
a
n
.
<
/p>
1
（
n
2
）
2
2
2
2
2
3
a
n
1
两边平方整理得
a
n
a
n
1
3
。数列
{
a
n
}
是以
a
1
=4
为首项，
3
为公差的等差数列。
2
a
n
a
1
2
(
n
1
)
3
3
< br>n
1
。因为
< br>a
n
＞
0
，所以
a
n
3
n
1
。
八、待定系数法
< br>待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路
< br>.
其变换的基本形式如
下：
<
/p>
1
、
a
n
1
Aa
n
B
（
A
、
B
为常数）型，可化为
a
n
1
=A
（
a
n
）的形式
.
例
9
若数列
{
a
n
}
中，
a<
/p>
1
=1
，
S
n
是数列
{
a
n
}
的前
n
项之和，且
S
n
<
/p>
1
式是
a
n
.
解
递推式
S
n
1
S
n
（
n
1
）
，求数列
{
a
n
}
的通项公
3
4
S
n
S
n
1
1
可变形为
3
< br>
4
（
1
）
S
n
1
S
n
3
4
S
n
1
< br>S
n
1
3
(
1
)
（
2
）
S
n
1
S
n
1
2
3
(
< br>1
1
1
2
)
。故数列
{
2
}
是以
2
3
为
首项，
S
n
S
n
S
1
设（
1
）式可化为
比较（
1
< br>）式与（
2
）式的系数可得
<
/p>
2
，则有
3<
/p>
为公比的等比数列。
1
1
。
2
=
3
3
n
1
3<
/p>
n
。所以
S
n<
/p>
n
3
1
S
n
当
n
2
，
a
n
S
n
S
n
1
1
1
<
/p>
2
3
n
n
。
3
2
3
n
1
2
3
2
n
8
<
/p>
3
n
12
1
(
n
1
)
2
3
< br>n
数列
{
a
n
}
的通项公式是
a
n
。
(<
/p>
n
2
)
3
2
n
8
3
n
12
< br>
n
2
、
a
n
1
Aa
n
B<
/p>
C
（
A
、
B
、
C
为常数，下同）型，可化为
a
n
< br>
1
C
n
1
=
A
(
a
n
C
）的形式
.
n
例
10
在数列
{
a
n
}
中，
a
1<
/p>
1
,
a
n
1
2
a
n
4
3
解：原递推式可化为：
n
1
,
求通项公式
a
n
。
a
n
1
3
n
2
(
a
< br>n
3
n
1
)
①
比较系数得
=-4
，
①式即是：
a
n
1
4
3
2
(
a<
/p>
n
4
3
n
n
1
)
.
3