几类常见递推数列的解题方法
远去的乡村阅读答案-
叠加、
叠乘、迭代递推、代数转化
——几类常见递推数列的教学随笔
已知数列的递推关系式求数列的通
项公式的方法大约分为两类：一类是根据前几项的特点归纳猜
想出
a
n
的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推
关系，用代数法、迭代法、换元法，
或是转化为基本数列
（等差
或等比）
的方法求通项．
第一类方法要求学生有一定的观察能力
以及足够的
结构经验，
才能顺利完成，对学生要求高．第二类方
法有一定的规律性，只需遵循其特有规律方可顺利
求解．在教学中，我针对一些数列特有
的规律总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法．
一、
叠加相消．
类型一：形如
a
n
1
＝
a
n
< br>+
f
(
n
< br>)
，
其中
f
(
n
)
为关
于
n
的多项式或指数形式（
a
n
）或可裂项成差的分式
形式．——可移项后叠
加相消．
例
1
：已知数列｛
a
n
｝
,
a
1
＝
0,
n
∈
N
，
a
n
1
＝
a
n
＋（
2
n
－
1
）
，求通项公式
a
n
．
解：∵
a
n
1
=
a
n
＋（
2
n
－
1
）
∴
a
n
1
=
a
n
＋（
2
n
－
1
）
∴
a
2
－
a
1
=1
、
a
3
－
a
2
=3
、……
a
n
－
a
n
1
=2
n
－
3
∴
a
n
= <
/p>
a
1
＋
(
a
2
－
a
1
)
＋
(
a
3
－
a
2
)
＋…＋
(
a
n
－
a
n
1
)=0
＋
1
＋
3
＋<
/p>
5
＋…＋
(2
n
－
3)
=
1
[1
＋
(2
n
－
3)](
n
－
1)=(
n
－
1)
2
n
∈
N
2
练习
1
：⑴
.
已知数列｛
a
n
｝
,
a
1
=1
, n
∈
N
，
a
n
1
=
a
n
＋
3
n
，
求通项公式
a
n
．
⑵
.
已知数列｛
a
n
｝满足
a
1
＝
3
，
二
、
叠乘相约．
2
n
(
n
1
)
，
n
∈
N
，求
a
n
．
a
n
a
n
1
a
n
1
a
n<
/p>
1
(
mn
b
)
p
f
(
n
)
.
其中
f
(
n
)
=
类型二：
形如
（
p
≠
0
，
m
≠
0,
b
–
c
=
k
m
,
k
∈
Z<
/p>
）
或
=
kn
（
k
≠
0
）
p
a
n
a
(
mn
c
)
n
a
n
1
n
或
=
km
(
k
≠
0,
0
＜
m
且
m
≠
1)
．
a
n
例
2
：已知数列｛
a
n
｝
,
a
1
=
1
，
a
n
＞<
/p>
0,(
n
＋
1)
a
n
1
2
－
n a
n
2
＋
a
n
1
a
n
=0
，求
a
n
．
解：∵
(
n
＋
1)
a
n
1
2
－
n a
n
2
＋
a
n
1
a
n
=0
∴
[(<
/p>
n
＋
1)
a<
/p>
n
1
－
na
n
](
a
n
1
＋
a
n
)= 0
∵
a
n
＞
0
∴
a
n
1
＋
a
n
＞
0
∴
(
n
＋
1)
a
n
1
－
na
n
=0
a
∴
n
1
n
a
n
n
1
∴
a
< br>n
a
n
a
n
1
a
n
2
a
2
a
1
n
< br>1
n
2
n
3
1
1
1
a
n
1
a
n
< br>
2
a
n
3
a
1
n
n
1
n
2
2
n
练习
2
：⑴已知数列｛
a
n
｝满足
S
n
=
n
*
a
n
(
n
∈
N
),
S
n
是
{
a
n
}
的前
n
项和
,
a
2
=1,
求
a
n
．
2
⑵
.
已知数列｛
a
n
｝满足
a
n
1
= 3
n
a
n
(
n
∈
N
*
)
，且
a
1
=1
，求
a
n
．
三、逐层迭代递推
．
类型三：形如
a
n
1
=
f
(
a
n
)
，其中
f
(
a
n
)
是关于
a
n
的函数
.
——需逐层迭代、细心寻找其中规律．<
/p>
例
3
：已知数
列｛
a
n
｝
，
a
1
=1,
n
∈
N
，<
/p>
a
n
1
= 2
a
n
＋
3
n
,
求通项公
式
a
n
．
解：
∵
a<
/p>
n
1
=
2
a
n
＋
3
n
∴
a
n
=2
a
n
1
＋
3
n
-1
=2(2
a
n
2
＋
3
n
-2
)
＋
3
n
-1
=
2
2
(2
a
n
3
＋
3<
/p>
n
-3
)
＋<
/p>
2
·
3
n
-2
＋
3
n
-1
=
……
=2
n
-2
(2
a
1
＋
3
)
＋
2
n
-3
·
3
2
＋
2
n
-4
·
3
3
＋
2
n-5
·
3
4
＋…＋
2
2
·
3
n-3
＋
2
·
3
n
-2
＋
3
n-1
=2
n
-1
＋
2
n
-2
·
3
＋
2
n
-3
·
3
2
＋
2
n-
4
·
3
3
＋…＋
2
2
·
3
n
-3
＋
2
·
3
n
-2
＋
3
n
-1
2
3
n<
/p>
n
n
1
3
2
3
2
< br>
1
2
2
n
n
1
练习
3:
⑴
.
若数列｛
a
n
｝中，
a
1
=3
，且
a
n
1
=a
n
（
n
∈
N
）
，求通项
a<
/p>
n
.
⑵
.
已知数列｛
a
n
｝
的前
n
项和
S
n
满足
S
n
=
2
a
n
+
<
/p>
1
，
n
∈
N
,
求通项
a
n
．
四、运用代数方法变形，转化为基本数列求解．
类型四：形如
a
n
a
n
1
=
pa
n
qa
n
1
，
（
pq
≠
0
）
．且
a
n
0
的数列，——可通过倒
数变形为基本数列
问题．
当
p
=
－
q
时，则有：
1
a
n
1
1
1
1
转化为等差数列；
a
n
p
q
1
．同
类型五转化为等比数列．
pa
n
p
2
a
n
n
∈
N
，求通项
a
n
．
a
n
2
当
p
≠
－
q
时，则有：
a
n
1
例
4
：若数列｛
a
n
｝中，
a
1
=1
< br>，
a
n
1
=
解：
∵
a
n
1
2
a
n
a
n
2
< br>
又
a
1
1
0
,
∴
a
n
0
，
∴
1
1
1
∴
1
1
1
< br>∵
1
1
a
1
a
n
1
2
a
n
a
n
1
a
n
2
1
的等差数列．
2
∴
1
=1
＋
1
n
1
< br>
∴
a
n
=
2
n
∈
N
a
n
2
n
1
2
x
3
< br>练习
4
：已知
f
(
n
) =
，数列
{
a
n
}
满足
a
1
=1
，<
/p>
a
n
=
f
(
a
n
1
)
，求
a
n
．
3
x
2
∴数列
{
a
n
}
< br>是首项为
1
，公差为
类型五：形
如
a
n
1<
/p>
＝
pa
n
+
q
,
pq
≠
0
，
p
、
q
为常
数．
当
p
＝
1
时，为等差数列；
当
p
≠
< br>1
时，可在两边同时加上同一个数
x
，即
a
n
1
+
x
=
pa
n
+
q
+
x
a
n
1
+
x
= <
/p>
p
(
a
n
+
q
x
q
x
q
)
，
令
x
=
∴
x
=
时，有
a
n
1
+
x
=
p
(
a<
/p>
n
+
x
)
，
p
1
p
p
q
}
求解．
p
1
从而转化为等比数列
{
a
n
+ <
/p>
1
a
n
1
+
1
，
n
= 1
、
2
、
3
、…
，求通项
a
n
．
2
1
1
解
：∵
a
n
=
a
n
1
+ 1
a
n
－
2 =
(
a
n
1
－
2)
2
2
1
又∵
a
1
－
2 = -1
≠
0
∴数列
{
a
n
－
2}
首项为
-1
，公比为
的等比数列．
2
1
∴
a
n
－
2 =
-1
(
)
n
1
即
a
n
= 2
－
2
1
n<
/p>
n
∈
N
2
例
5
：已知数列
{
a
n
}
中，
a
1
=1
，
a
n
=
练习
5
：⑴
.
已知
a
1
=1
，
a
n
=
2
a
n
1
+
3
(
n
= 2
、
3
、
4
…
)
，求
数列
{
a
n
}
的通项．
⑵
.
已知
数列｛
a
n
｝满足
a
1
=
2
a
n
1
，
a
n
1
=
，求
a
n
．
a
n
1
2
类型六：形如
a
n
1
＝
pa
n
+
f
(
n
)
，
p
≠
0
且
p
为常数，
f
(
n
)
为关于
n
的函数．
当
p
＝
1
时，则
a
n
1
＝
a
n
+
f
(
n
)
即类型一．
当
p
≠
1
时，
f
(
n
)
为关于
n
的多项式或指数形式（
a
n
）或指数和多项式的混合形式．
⑴若
f
(
n
)
为关于
n
的
多项式（
f
(
n
) =
kn
+
b
或
kn
+
bn
+
c
，
k
、
b
、<
/p>
c
为常数）
，——可用待定系数法
转化为等比数列．
例
6
：已知数列
{
a
n
}
满足
a
< br>1
=1
，
a
n
1
= 2
a
n
＋
n
，
n
∈
N
<
/p>
求
a
n
．
解：令
a
n
1
+
x
[
a
(
n
+1)
+
b
(
n
+1)
+
c
] =
2(
a
n
+
an
+
bn
+
c
)
即
a
n
1
= 2
a
n
+ (2
a
–
ax
)
n
+ (2
b
-2
ax
–
bx
)
n
+2
c
–
ax
–
bx
–
cx
比较系数得：
2
2
2
2
2
1
a
<
/p>
2
x
2
a
ax
1
a
1
< br>2
ax
令
x
= 1
，得：
b
2
2
b<
/p>
2
ax
bx
0
b
2
x
2
c
ax
bx
cx
0
c
3
ax
bx
c
2
<
/p>
x
∴
a
n
1
+ (
n
+1)
+2(<
/p>
n
+1) + 3 =
2(
a
n
+
n
+2
n
+
3)
∵
a
1
+1+2
×
1+3 = 7
令
b
n
=
a
n
+
n
+2
n
+
3
则
b
n
1
=
2
b
n
b
1
= 7
∴数列
{
b
n
}
为首项为
7
，公比为
2
德等比数列
∴
b
n
=
7
×
2
n<
/p>
1
2
2
n
1
n
1
2
2
2
即
a
n
+
n
+2
n
+
3 = 7
×
2
n
∴
a
n
=
7
×
2
－
(
n
+2
n
+
3 )
n
∈
N
⑵若
f
(
n
)
为关于
n
的
指数形式（
a
）
．
①当
p
不等于底数
a
时，可转化为等比数列；
②当
p
等于底数
a
< br>时，可转化为等差数列．
例
7
：
（同例
3
）
若
a
1
=1
，
a
n
= 2
a
n
1
+
3
n
1
，<
/p>
(
n
= 2
、
3
、
4
…
)
，求数列
{
a
n
}
的通项
a
n
．