高中数学-递推数列经典题型全面解析
夜明猪-
1
高中数学：
《递
推数列》
经典题型全面解析
类型
1
<
/p>
a
n
1
a
n
f
(
n
)
f
(
n
)
，利用
累加法
(
逐差相加法
)
求解。
解法：把原递推公式转化为
a
n
1
< br>
a
n
例
:
已知数列
1
，求
< br>a
n
。
2
n
2
n
1
1
1
1
解：由条件
知：
a
n
1
a
n
2
n
n
n
(
n
1
)
n
< br>n
1
分
别
令
n
1
,
2
,
3
,
,
(
n
1
)
，
代
入
上
式
得
(
n
1
)
个
等<
/p>
式
累
加
之
，
即
a
n
满足
a
1
1
，
< br>a
n
1
a
n
(
a
2
a
1
)
(
a
3
a
2
)
(
< br>a
4
a
3
)
(
a
n
a
n
1
)
1
< br>1
1
1
1
1
1
(
1
)
(
)
(
)
< br>
(
)
2
2
3
3
4
n
1
n
所以
a
n
a
1
1
1
n
a
1
类型
2
1
1
1
3
1
，
a
n
1
< br>
2
2
n
2
n
a
n
1
f
(
n
)
a
n
a
n
1
< br>f
(
n
)
，利用
累乘法
(
逐商相乘法
)
求解。
a
n
n
a
n
，求
a
n
。
n
1
解法：把原递推公式转化为
例
:
已
知数列
a
n
满足
a
1
2
，
a
n
1
a
n
1
a
n
解：由条件知
累乘之，即
3
n
，分别令
n
1
,
2<
/p>
,
3
,
,
(
n
1
)
，代入上式得
(
n
1
)
个等式
n
1
a
a
a
2
a
3
a
4
1
2
3
n
1
2
1<
/p>
n
n
<
/p>
又
a
1
，
2
3
4
n
3
a
1
a
2
a
3
a
n
1
a
1
n
<
/p>
a
n
2
3
n
例
:
已知
a
1
3
n
1
< br>a
n
(
n
1
)
，
求
a
n
。
<
/p>
3
n
2
3
(
n
1
)
1
3
(
n
2
)
1
3
2
1<
/p>
3
1
a
n
a
1
3
(
n
1
)
2
3
(<
/p>
n
2
)
2
3
2
2
3
2
3
，
a
n
1
2
3
n
4
3
n
7
5
2
6
< br>
3
3
n
1
3
n
4
8
5
3
n
1
。
。
a
n
1
< br>
pa
n
q
（其中
p
，
q
均为常数，
(
pq
(
p
1
< br>)
0
)
）
类型
3
解法（待定系数法）
：把原递推公式转化为：
< br>a
n
1
t
换元法
转化为等比数列求解。<
/p>
例
:
已知数列
p
(
a
n
t
)
，其中
t
q
，再利用
1
p
a
n
中，
a
1
1
，
a
n
< br>
1
2
a
n
3
，
求
a
n
.
2
a
n
3
可以转化为
a
n
1
t
2
(
a
n
t
)
即
a
n
< br>1
2
a
n
t
t
3
.
a
n
1
3
2
(
a
n
< br>3
)
,
令
b
n
a
n
3
，
则
b
1
a
1
3
4
,
且
解：设递推公式
a
n
1
故
递
推
公
式
为
b
n
< br>
1
a
n
1
3
2
.
所
以
b
n
是
以
b
1
4
为
< br>首
项
，
2
为
公
比
的
等
比
数
列
，
则
b
n
a
n
3
b
n
4
< br>2
n
1
2
n
1
,
所以
a
n<
/p>
2
n
1
3
.
变式
:
递推式：
a
n
1
类
型
4
（
a
n
< br>1
pa
n
f
n
。
解法：只需
构造数列
b
n
< br>，
消去
f
n
带来的
差异
< br>．
a
n
1
pa
n
q
n
（<
/p>
其
中
p
，
q
均
为
常
数
，
(
pq
(
p
1
< br>)(
q
1
)
0
)
）
。
pa
n<
/p>
rq
n
,
其中
p
，
q,
r
均为常数）
。
n
1
解法：一般地，要先在原递推公式两边
同
除
以
q
列
，得
：
a
n
1<
/p>
p
a
n
1
引入辅助数<
/p>
q
n
1
q
q
n
q
b
n
（其中
b
n
a
n
n
q
）
，得：
b
n
1
p
1
b
n
再待
定系数法
解决。
q
q
2
例
:
已知数列
a
n
中，
a
1
5
,
a<
/p>
n
1
1
a
n
(
1
)
n
1
，求
a
< br>n
。
6
3
1
1
2
a
n
(
)
n
1
两边乘以<
/p>
2
n
1
得：
2
n
1
a
n
1
(
< br>2
n
a
n
)
1
3
2
3
解：在
a
n
1
令
2
2
b
n
2
n
a
n
< br>，
则
b
n
1
b
n
1
,
解
之
得
：
b
n
3
2
(
)
n
< br>所
以
3
3
b
1
n
1
n
a
n
n
3
(
)
2
(
)
n
2
3
< br>2
类型
5
递推公式为
a
n
2
。
pa
n
1
qa
n
（其中
p
，
q
均为常数）
3
解法一
(
待定系数法
)
：
先把原递推公式转化为
a
n
2
sa
n
1
t
(
a
n
1
sa
n
)
其中
s
，
t
满足
s
t
p
st
< br>
q
解法二
< br>(
特征根法
)
：
对于由递推公式
a
n
2
方程
x
2
a
1
,
a
2
< br>
给出的数列
a
n
，
< br>pa
n
1
qa
n
，
px
q
0
，叫做数列
a
n
的特征方程。若
x
1
,
x
2
是特征方程的两个根，当
n
1
，其中
A
，
B
由
a
1<
/p>
,
a
2
决
x
1
x
2
时，数列
a
n
的通项为
a
n
Ax
1
n
1
< br>Bx
2
定（即把
a
1
,
a
2
< br>,
x
1
,
x
2
和
n
1
,
2
，代入
a
n
组）
；<
/p>
当
n
1
，得到关于
A
、
B<
/p>
的方程
Ax
1
n
1
Bx
2
n
1
数列
a
n
的通项为
a
n
(
A
Bn
)
x
1
，
其中
A
，
B
由
a
1
,
a
2
x<
/p>
1
x
2
时，
决定（即把
a
1
,
a
2
,
x
1
,
x
2
和
n
1
,
2
，代入
a
n
组）
。
解法一（待
定系数
—
—
迭
加
法
）
:
数
列
(
A
Bn
)
x
1
n
1
，得到关于
< br>A
、
B
的方程
< br>
a
n
：
3
a
n
2
5
a
n
1
2
a
n
0
(
n
< br>0
,
n
N
)
，
a
1
a
,
a
2
b
，
求
数
列
a
n
< br>的
通
项
公
式
。
由
3
a
n
2
5
a
n
1
2
a
n
0
，
< br>得
a
n
2
a
n
1
则
数
列
2
(
a
n
1
a
n
)
，且
a
2
a
1
b
a
。
3
b<
/p>
a
为
首
项
，
a
n
1
a
n
是
以
2
为
公
比
的
等
比
数<
/p>
列
，
于
是
3
2
a
n
1
a
n
(
b
a
)(
)
n
1
。
3
把
n
1
,
2
,
3
,
,
n
代
< br>入
，
得
2
a
2
a
1
b
a
，
a
3
a
2
(
b
a
)
< br>
(
)
，
3
2
a
4
a
3
(
b
a
)
(
)
2
，
< br>
3
2
a
n
a
n
1
(
b
a
)(
)
n
2
。把以上各式
相加，得
3