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2021年2月6日发(作者：双十二事变)

高中数学几种常见的数列递推关系式

数列的递推关系是指数列中的前一项（前几项）与后一项的关系式。递推数列是数列

中的重要内容，通过递推关系，观察，探求数列的规律，进而可求出整个数列的通项公

< p>
式。通过递推关系的学习，可以培养学生的观察能力，归纳与转化能力，综合运用知识等

< p>
能力，因此，是近几年高考与竞赛的热点。

下面针对几种高中常见的递推形式及处理方法做一总结。

一

.

定义法

常见形式：

已知：

a

1



a

，

a

n



1



a

n



d

①

或

a

1



a



0

，

a

n



1

< br>

a

n

q

（其中，

d

常数，

q



0

为常数）

②

定义法 即高中所学的两大基本数列——等差数列与等比数列的基本定义式。

已知首项，与递推关系，数列的通项即知，在此不做赘述。但这两个基本数列的求通

项公式的方法在后续学习中，在方法上起到了指导作用。即我们下面要介绍的方法。

二

.

迭代法

常见形式：已知

a

1



a



0

，

a

n



1



a

< br>n



f

(

n

)

③

④

或

a

1



a



0

，

a

n



1



a

< br>n

f

(

n

)

，

f

(

n

)

不恒为零

（这里的

f

(

n< /p>

)

是关于

n

的关 系式）。

这两个形式的递推关系式，虽然不 是等差与等比数列，但表达方式上非常接近。我们

可以利用迭代的方法来求出通项

a

n

也可以分别称为叠加法和叠乘法。

如：③

a

2



a

1



f

(

1

)

a

3



a

2



f

(

2

)

……

a

n



a

n



1



f

(

n



< br>1

)(

n



2

，

n



N

*

)

将以上

n



1

个式子 叠加，可得

a

n



a

1



f

(

1

)



f

(

2

< br>)



…



f

(

n



1

)(

n



2< /p>

，

n



N

*

)

这里， 我们只须已知数列的首项

a

1

利用求和 求出上述等式右端的和，即可求出数列



a

n



的通项公式来。

如：④的具体例子：

例

1.

（

2 006

年东北三省三校一模试题

21

） 已知数列



a

n



，

S

n

是 数列的前

n

项和，

n

< br>a

n

。求

S

n

。

2

n

解：因为

S

n



(

S< /p>

n



S

n



1

)(

n



2

，

n



N

*

)

< br>

2

n

n



2

所以

S

n< /p>



1



S

n

2

2

< p>
S

n

(

n



3

，

n



N

*

)

n



S

n



1

n



2

S

S

S

< br>S

3

4

5

6

n



1

n

·

(

n



3

，

n



N

*

)

3

·

4

…

n



1

·

n



·

·

< br>·

…

S

2

S

3

S

n



2

S

n



1

1

2

3

4

n



3

n



2

a

< br>2



1

，

S

n



即

S

n

n

(

n



1

)



S

2

2

< br>n

(

n



1

)

(

n



3

，

n



N

*

)

2

经验证，

n



1

，

2

也适 合上式。

n

(

n



1

)

所以，

S

n



(

n



N

*

)

2

三

.

构造法

常见形式：已知

a

1



a



0

，

a

n



1



pa

n



q

，

（

p

< p>
，

q

为常数，

p



0

，

p



1

，

q

< br>

0

）

S

n



1.

利用递推式构造法

构造新数列，转化到常用形式①或②，即基本数列定义式。

< /p>

a

n



1



pa

n



q

a

n



pa

n



1



q

（

< p>
n



2

，

n



N

*

）

两式相减，得

a

n



1



a

n



p

(

a

n



< br>a

n



1

)

，

(

n



2

，

n



N

*

)

其实，

a

n



1



a

n

与

a

n



a

n



1

< br>不正是一个数列的前后两项吗？所以，构造一个新的等比

数列



a

n



a

n



1

< /p>

，这个数列的首项是

a

2



a

1

，公比是

p

。因为各项是差的形式，利用等比

数列求和公式， 即可求出通项公式。

a

2



a

1



a

3



a

2



a

4

< br>

a

3



……



a

n



a

n



1< /p>

⑤

(

a

2



a

< p>
1

)(

1



p

n



1

< br>)



(

n



2

，

n



N

*

)

1



p

(

a

2



a

1

)(

1



p

n



1

)

(

n



N

*

)

a

n



a

1



1



p

2.

利用不动点构造法

利用函 数不动点的方法。

a

n



1



pa

n



q

（

p

，

q

为常数，

p

< br>

0

，

p



1

，

q



0

）其实是

一个函数关系

y



px



q

。利用函数不动点的特点，解方程

f

(

x

)



x

，即

px



q



x

，解得

x



q

，通过这个不动点，易构造 新的等比数列：

1



p

a

n



1





q

q





p

< /p>

a

n





1



p

1

< p>


p





a

n





q

q



n

< /p>

1





a

1





p

< p>
1



p



1



p



3.

利用待定系数构造法

若通过 观察，对常数

q

适当的拆分，即可以构造新数列，那么也可以用 先猜想后待定

的办法确定出新数列来。

1

设递推关系式可化为：

a

< p>
n



1



t



p

(

a

n



t

)

可解出

t



。

1



p

以上三种构造法，可以用来解决很多问题。

如：常见形式：

a

n



1



pa

n



q

n

（< /p>

p

，

q

为常数，

p



0

，

p



1

，

q



0

）

可以用方法三（

1

< br>），两边同时除以

q

n



1

，得

a



1

p

a

n

1



·

< br>

即转化到常见形式⑤来处理。

n

q

n

q

q

n



1

q

⑥

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