备战2020数学高考三大类递推数列通项公式的求法
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三大类递推数列通项公式的求法
湖北省竹溪县第一高级中学
徐
鸿
一、一阶线性递推数列求通项问题
一阶线性递推数列主要有如下几种形式：
1.
这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式
(
数列
{f(n)}
可求前
n
项和
).
当
则
为常数
时，通过累加法可求得等差数列的通项公式．而当
为二阶等差数列，其通项公式应当为<
/p>
为等差数列时，
形式，注意与等
差数列求
和公式一般形式的区别，后者是
2.
，其常数项一定为０．
这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式
(
数列
{g(n)}
可求前
n
项积
).
当
3.
这<
/p>
类
数
列
通
常
可
转
化
为
.
例１
已知数列
中，
,
求
型递推数列．
的通项公式．
为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式．
；
，
或
消
去
常
数
转
化
为
二
阶
递
推
式
< br>解析：
解法一：转化为
∵
∴
，即
又
．
，故数列｛
｝
是首项为２，公比为２的等比数
列．∴
解法二：转化为
∵
型递推数列．
=2x
n-1
+1(n
≥
2)
①
∴
=2x
n
+1
②
(n
≥<
/p>
2)
，故｛
，
再
用累加法得
｝是首项为
x
2
-x
1
=2
，
．
②－①，
得
公比为２的等比数列，即
解法三：用迭代法．
当然
,
此题也可用归纳猜想法求之，但
要用数学归纳法证明．
例２
已知函数
求数列
的反函数为
< br>的通项公式
.
解析：
由已知得
，则
．
令
=
,
则
.
比较系数，得
.<
/p>
即有
．
∴数列
｛
｝
是以
为首
项，
为
公比的等比数列，∴
，故
．
评析：
此题亦可
采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之．
（
4
）
若取倒数
,
得
（<
/p>
5
）
，令
，从而
转化为（
1
）型而求之
.
；
这类数列可变换成
例３
设数列
，
令
，
则转化为
(1)
型一阶线性递推公式
.
求数列
的通项公式．
解析：
∵
，
两边同除以
，
得
．
令
，
则
有
．
于是，得
，
∴
数列
是以首项为
，
公比为
的等
比数列，
故
，
即
求数列
，
从而
的通项公式．
．
例４
设
解析
：设
用
代入，可解出
< br>．
∴
是以公比为
-2
，首项为
的等比数列．
∴
，
即
（
6
）
这类数列可
取对数得
．
，从而转化为等差数列型递推数列
.
二、可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列
例５
设数列
的通项公式．
求数列
解析
：由
可得
设
故
即
用累加法得
或
例６
在数列
项公式．
解析
：可用换元法将其转化为一阶线性递推数列．
求数列
的通
令
使数列
是以
为公比的等比数列
(
待定
)
．
对
照
已
给
递
推
的两个实根．
即
式，
有
即
∴
从而
∴
①
或
②
由式①
得
；由式②得
．
消去
例７
在
数列
解析
：由
式②
+
式①，
得
=
=-1
．
．
求
．
①，
得
，
从而有<
/p>
②．
．
∴
数列
是以６为
其周期．
故
三、特殊的
n
阶递推数列
例８
已知数列
的通项公式．
解析
：∵
满足
，
求
①
②
∴
②－①
，得
．∴
故有
将这几个式子累乘，得
又
例
9
数列｛
解析
：由
式①－式②，得
｝满足
①，得
，或
，求数列｛
｝的同项公式．
②．
，故有
.
∴
,
.
将上面几个式子累乘，得
，即
．
∵
也满足上式，∴
．
特征方程法求解递推关系中的数列通项
考虑一个简单的线性递推问题
.
设已知数列
的项满足
其中
求这个数列的通项公式
.
采用数学归纳法可以求解这一问题，
然而这样做太过繁琐，
而且在猜想通项公式中容易
出错，
本文提出一种易
于被学生掌握的解法——
特征方程法
：
针对问题中的递推关系式作出
一个方程
理形式进行阐述
.
称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式
.
下面以定
定理
1
设上述递推关系式的特征方程的根为
，<
/p>
其
中
.
，则当
是
以
时，
为常
数列，即
为
公
比
的
等
比
数
列
，
即
证明：
因
为
由特征方程得
作换元
则
当
当
时，
时，
，数列
，
是以
为公比的等比数列，故
为
0
数列，故
（证毕）
下面列举两例，说明定理
1
的应用
.
例
1
已知数
列
满足：
求
解
：作方程
当
时，
数列
是以
为公比的等比数列
.
于是
例
2
已知数
列
当
满足递推关系：
是常数数列？
其中
为虚数单位
.
< br>取何值时，数列
解
：作方程
则<
/p>
要使
为常数，即则必须
现在考虑一个分式递推问题（
*
）
< br>.