数列的几种递推公式
巴西烤肉的做法-
数列的几种递推公式
一、
a
n
1
a
n
f
(
n
)
解法：
把原递推公式转化为
a
n
1
a
n
f
(
n
)
，利用累加法
(
逐差相加法
)
求解。
例
1:
已知数列
a
1
n
满足<
/p>
a
1
2
，
a
1
n
1
a
n
n
2
n
，求
a
n
。
二、
a
n
1
f
(
n
)
a
n
解法：把原递推公式转化为
a
n
1
a
f
(
n
)
，利用累乘法
(
逐商相乘法
)
求解。
n
例
2:
已知数列
a
2
n
n
满足
a
1
<
/p>
3
，
a
n
1
n
1
a
n
，求
a
n
。
< br>
1
例
3:
已知
a
1
<
/p>
3
，
a
n
1
解：
a
n<
/p>
3
n
1
a
n
(
n
1
)
，求
a
n
< br>。
3
n
2
3
(
n
1
)
1
3
(
n
2
)
1
3
2
< br>
1
3
1
a
1
3
(
n
1
)
2
3
(
< br>n
2
)
2
3
2
2
3
2
3
n
4
3
n
7
3
< br>n
1
3
n
4
5
2
6
3
8
5
3
n
1
。
变式
:
已知数列
{
a
n
}
，满足
a
1
=1
，
a
n
a
1
2
a
2
3
a
3
< br>
(
n
1
)
a
n
1
(n
≥2)，则
< br>n
1
1
{a
n
}
的通项
a
n
n
2
___
解：由已知，得
a
< br>n
1
a
1
2
a
2
3
a
3
(
n
1
)
a
< br>n
1
na
n
，
用此式减去已知式，得
当
n
2
时，
a
n
1
< br>
a
n
na
n
，即
a
n
1
(
n
1
)
a
n
，
又
a
2
a
1
1
< br>，
a
1
1
,
a
a
a
2
a
1
,
3
3
,
4
4
,
< br>
,
n
n
，
a
1
a
2
a
3
a
n
1
n
!
(
n
2
)
< br>
2
将以上
n
< br>个式子相乘，得
a
n
三、
a
n
1
pa
n
q
< br>（其中
p
，
q
< br>均为常数，
(
pq
(
p
1
)
0
)
）
。
解法（待定系数法）
：把原递推公式转化为：
a
n
1
t
p
(
a
n
t
)
，其中
t
再利用换元法转化为等比数列求解。<
/p>
2
q
，
1
p
例
4.
已知数列
a
n
中，
a
1
1
，
a
n
1
2
a
n
3
，求
a
n
.
解：设递推公式
a
< br>n
1
2
a
n
3
可以转化为
a
n
1
t
2
(
a
n
t
)
即
a
n
1
2
a
< br>n
t
t
3
.
故递推公式为
a
n
1
3
2
(
a
n<
/p>
3
)
,
令
b
n
a
n
3
，则
b
n
1
a
n
1
1
a
1
3
4<
/p>
,
且
b
b
3
2
.
n
a
n
3
所以
b
n
是以
b
1
4
为首项，
2
为公比的等比数列，<
/p>
则
b
n
1
n
4
2
2
n
1
,
所以
a
n
2
n
1
3
.
<
/p>
变
式
:
在
数
列
a
n
中
，
若
a
1
1
,
a
n
1
2
a<
/p>
n
3(
n
1)
，
____
___________
（
key:
a
n
1
n
2
3
）
该
数
列
的
通
项
a
n
3
则
n
a
pa
< br>q
n
1
n
四、
类型
4
< br>（其中
p
，
q
< br>均为常数，
(
pq
(
p
1
)(
q
1
)
< br>
0
)
）
。
（或
a
n
1
pa
n
rq
n
,
其中
p
，
q, r
均为常数）
。
解法：一般地，要先在原递推公式
两边同除以
q
n
1
，
a
n
1
p
a<
/p>
n
1
a
得：
q
n
1
q
q
n
q
b
< br>n
n
引入辅助数列
b
n
（其中
q
n
）
，
b
得：
< br>n
1
p
q
b
1
n
q
再待定系数法解决。
例
< br>5:
已知数列
a
a
5
,
a
< br>1
1
n
中，
1
n
1
3
a<
/p>
n
(
2
)
n
1
6
，求
a
n
。
解：在
a
1
1
n
1
2
n
n
1
3
a
n
< br>
(
2
)
n
1
两边乘以
2
n
1
得：
2
a
n
1
3
(
2
a
n
)
1
n
令
b
< br>
2
n
a
b
2
3
b
,
解之得：
b
2
n
n
，则
n
1
n
1
n
3
2
(
3
)
所以
a
n
1
n
1
n
b
2
n
3
(
2
)
2
(
n
3
)<
/p>
4