保险业前景-

2021年2月6日发(作者：生日文案)

浅谈四种数列递推公式求通项公式的方法

寿县一中数学组

邵兵荣

摘要：

本文是介绍数列通项公式的求法，数列的通项公式是研究 数列性质的关键，对数列的单调性，

数

列的最大项，

< p>
最小项，

数列的求和等都有重大作用，

通过构造等 比数列将四种数列的递推公式转化为等

比数列，先有等比数列的通项公式再求所求数列的 通项公式。

关键词：

等比数列

递推公式

通项公式

数列的递推公式是数列的一 种表示方法，

它反映的是数列相邻项之间的关系式，

如果要研究 某个数

列的性质，我们就要确定其通项公式。本文就介绍了四种根据数列的递推公式求通 项公式的方法。

一、

数列

< p>
{

a

n

}

中，

已知

a

1



a

,

a

n



pa

n



1



q

，



n



1

,

n



N





，

p



1

,

q

< br>

0

，

求数列

< br>{

a

n

}

的通项公式。

解析：可以设

a

n



x



p



a

n



1



x

< br>

，化简得

a

n



pa

n



< br>1





p



1



x

比较系数得到



p



1



x



q

,

即

x< /p>



q

，

p



1

所以数列

{

a

n

}

满足：

a

n





q

q







p



< br>a





n



1



p



1

p



1





即数列

{

a

n



q

q

}

是以首项为

a



，公比为

p< /p>

的等比数列。

p



1

p



1

即

a

n





q

q



n



1







a

< br>



p

p



1



p



1







q



q

n



1

所以

a

< p>
n





，

（

n



N



,

p



1

,

q



0< /p>

）



a



p





< p>


p



1



p



1



【例

1

】设数列

{

a

n

}

满足

a

1



1

,

a

n



3

a

n



1



2

,

通项公式。



n



1

,

n



N





，求数列

{

a

n

< p>
}

的

解：根据

a

n



3

a

n



1



< br>2

可以得到

a

n



1



3



a

n



1



1



< /p>

即数列

{

a

n< /p>



1

}

是以

a

1



1



2

为首项，公比为

3

的等比数列。

所以

< br>a

n



1



2



3

n



1

即

a

n



2



3

n



1



1

< br>二

、

数

列

{

a

n

}

中

，

已

知

a

1



a

，

a

n



pa

< p>
n



1



qn



r

，

< br>

n



1

,

n



N





，

p



1

,

a



0

,

q



0

,

r



< br>R

,

求数列

< br>{

a

n

}

的通项公式。

解析：可以设

a

n



xn



y



p

[

< p>
a

n



1



x



n



1





y

]

，可以得到

a

n



pa

n



1





px



x

< /p>

n



px



py



y

，比较系 数可得

px



x



q

,

p y



y



px



r

,

解得< /p>

x



q

,

y



p



< p>
1

pq

r



p



1

< br>

p



1



2

即数列

{

a

n



xn



y

}

是以

a



x



y

为首项，公比为

p

的等比数列。

< p>

所以

a

n



xn



y





a



x



y



p

n



1

，把 上述解得的

x

,

y

带入下面



1



< br>式可得数列

{

a

n

}

的通项公式为：

a

n





a



x



y



p

n



1

< br>

xn



y

，



n



1

,

n



N< /p>







1



【例

2

】数列

{< /p>

a

n

}

满足

a

1



1

，

a

n



3

a

n



< br>1



2

n



2

，



n



1

,

n



N





，求数列

{

a

n

}

的通项公式。

解 ：根据

a

n



3

a

n



1< /p>



2

n



2

，可得

a

n



n



即数列

{

a

n



< p>
n



所以

a

n



n



< br>5

5



3

[

a

n



1





n



1





]

2

2

5

9

5



}

< br>是以首项为

1



1



，公比为

3

的等比数列。

2

2

2

5

9

1

5





3

n



1

，即

a

n





3

n



1



n



2< /p>

2

2

2

三

、

数

列

{

< p>
a

n

}

中

，

a

1



a

，

a

n



pa

n



1



q

n



r

，



n



1

,

n



N





< br>，

p



1

,

a



0

,

q



0

,

p



q

，求数列< /p>

{

a

n

}

的通项公式。

解析：可以设

a

n



xq

< br>n



y



p

a

n



1



xq

n

< /p>

1



y

，化简得







p



n



a

n



pa

< p>
n



1





x



x



q



q





p



1< /p>



y

比较系数可以得到，





p

q

r

x



x



1

,

< /p>

p



1



y



r

，解出

x



,

y

< p>


q

p



q

p



1

即数列

{

a

n



xq

n



y

}

是以

a



xq



y

为首项，公比为

p

等比数列。

所以

a

n

< p>


xq

n



y





a

< br>

xq



y



p

n



1

，

把上述解得的

x

< br>,

y

带入下面



2



式可得数列

{

< p>
a

n

}

的通项公式为

a

n





a



xq



< p>
y



p

n



1



xq

< br>n



y

，



n



1

,

n



N







2



【例

3

】数列

{< /p>

a

n

}

满足

a

1



1

，

a

n



3

a

n



< br>1



2

n



2

，



n



1

,

n



N





，求数列

{

a

n

}

的通项公式。

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