初一开学周记-

递归数列通项公式的求法

< br>确定数列的通项公式，对于研究数列的性质起着至关重要的作用。求递归数

列的通 项公式是解决数学竞赛中有关数列问题的关键，本文着重对递归数列通项公

式加以研究。

基础知识

定义：对于任意的

，由递推关系

确定的关系称为

阶递归关系或称为

阶递归方程，由

阶递归关系及给定的前

项

的值< /p>

(

称为初始值

)

所确定的数列称为

阶递归数列。若

是线性的，则称为线性递归数列，否则称为非线性递归数列， 在数学竞赛中的数列

问题常常是非线性递归数列问题。

求递归数列的常用方法：

一．公式法

(1)

设

是等差数列，首项为

，公差为

，则其通项为

；

(2)

设

是等比数列，首项为

，公比为

，则其通项为

；

(3)

已知数列的前

项和为

，则

。

二．迭代法

迭代恒等式：

；

迭乘恒等式：

，

(

)

迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项 问题：

类型一：已知

，求通项

；

类型二：已知

，求通项

；

三．待定系数法

类型三：已知

，求通项

；

四．特征根法

类型四：设二阶常系数线性齐次递推式为

（

），其特征方程为

，其根为特征根。

（

1

）若特征方程有两个不相等的实根

，则其通项公式为

（

），其中

A

、

B< /p>

由初始值确定；

（

2

）若特征方程有两个相等的实根

，则其通项公式为

（

），其中

A

、

B< /p>

由初始值确定。

证明：设特征根为

，则

所以

=

=

=

=

即

是以

为公比，首项为

的等比数列。

所以

，所以

(1)

当

时，则其通项公式为

，其中

，

；

(2)

当

时，则其通项公式为

，其中

4.

（改编）已知数列

且

则数列

的通项公式

。

命题意图：

本试题主要考查了数列的通项公式的求法，根据递推公式构造 等比数列进而

求得数列的通项，虽然这样的解决对于学生来说是比较有点难度的，但通过 不同的

构造方法使学生体会一些特殊的数列通项公式的推导，有利于学生思维的开发。< /p>

参考答案：

解法一：由

得

得

∴

故数列

是以

< /p>

为首项以

5

为公比的等比数列