学生用常见递推数列通项的九种求解方法
魔兽墨迹-
高
中
数
学
复
习
第三章
数列
第二讲
等比数列
数列通项的求法
基本知识回顾
(
请认真填写，时间
15
分钟
)
1
．等比数列的有关概念：
一般地，
如果一个数列从第
______
项起
，
每一项与它的前一项的比等于同一个<
/p>
________
，
那么这个数列就叫<
/p>
．
．．
做
___
_______
，这个
__________
< br>叫做等比数列的公比；公比通常用字母
_______
表
示
(
q
0)
，
（注意：
“从第二项
起”
、
“常数”
q
、等比数列的公比和项都不为零）
。
2.
等比数列的判断方法：
定义法
__________________
，其中
q
0,
a
n
0
或
3.
等比数列的通项：
__________
或
__________
。
4.
等比数列的前
n
和：
一般地，
设等比数列
a
1
,
a
2
,
a
3
,
<
/p>
,
a
n
,
的前
n
项和是
S
n
a
1
a
2
a
3
< br>
a
n
，
当
q
1
时，
____________________
或
____________________
；
当
q=1
时，
__________<
/p>
。
5.
等比中
项：
若
a
,
A
,
b
成等比数列，那么
_____
叫做
_____
与
_____
的等比中项。
6.
当
m
n
p
< br>q
时，则有
______________
，特别地，当
________________
时
，则有
a
m
a
n
a
p<
/p>
.
7.
若
{
a
n
}
是等比数列，则数列
S
n
,
S
2
n
S
n
,
S
3
n
S
2
n
，„也是等比数列。
2
a
n
1
< br>a
n
(
n
2)
。
a
n
a
n
1
考点
1<
/p>
．等比数列的有关概念：
一般地，
如果一个数列从第
______
项起
，
每一项与它的前一项的比等于同一个
___
_____
，
那么这个数列就叫
．
．．
做
__________
，这个
__________
叫做等比数列的公比；
公比通常用字母
_______
表示
(
q
0)
，<
/p>
（注意：
“从第二项
起”
、
“常数”
q
、等比数列的公
比和项都不为零）
。
a
a
等比数列的判断方法：
定义法
__________________
，其中
q
0,
a
n
0
或
n
1
n
a
n
a
n
1
(
n<
/p>
2)
。
重点
考点
2
。等比数列的通项：
__________
或
__________
。
例：在各项都为正数的等比数列
{
a
n
}
中，首项
a
1
＝
3
，前三项和
为
21
，则
a
3
＋
a
4
＋<
/p>
a
5
＝（
）
（
A
）
33
（
B
）
72
（
C
）
84
（
D
）
189
重点
考点
3
。等比数列的前
n
和：
一般地，设等比数列
a
1
,<
/p>
a
2
,
a
3
,
,
a
n
,
的前
n
项和是
S
n
a
1
< br>
a
2
a
3
a
n
，当
q<
/p>
1
时，
___
_________________
或
_________
___________
；当
q=1
时
，
__________
（错位相减法）
。
说明：
（
1
）
a
1
,
q
,
n
,
S
n
和
a
1
,
a
n
,
q
,
S
< br>n
各已知三个可求第四个；
（
2
）
注意求和公式中是
q
n
，
通项公式中是
q
n
1
不要混淆；
（
3
）应用求和公式时
q
1
，必要时应讨论
q
1
的情况。
特别提醒：
等比数列前
n
项和公式有两种形式，为此在求等比数列前
n
项和时，首先要判断公比
q
是否为
< br>1
，再
由
q
的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比
q
是否为
1
时，要对
q
分<
/p>
q
1
和
q
1
两种情形讨论
求解。
提醒
：
<
/p>
（
1
）
等比数列
的通项公式及
前
n
和公式中，涉及到<
/p>
5
个元素：
a
1
、
q
、
n
、
a
n
及
S
n
，其中
a
1
、
q
称作为基
本元素。只要已知这
5
个元素中的任意
3
个，便可求出其余
2
个，即知
3
求
2
；
（
2
）
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为„，
< br>但偶数个数成等比时，不能设为„
a
a
< br>2
,
,
a
,
aq
,
aq
„（公比为
q
）
；
< br>2
q
q
a
a
3
，„，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设
，且
,
,
aq
,
aq
3
q
q
公比为
q
2
。
重点
考点
4
。等比数列的性质
：
（
1
）当
< br>m
n
p
q
时，则有
______________
，特别地，当
m
n
2
p
时，则有
a
m
a
n
< br>a
p
.
(2)
若
{
a
n
}
是等
比数列，
则
{|
a
n
|}
、
若
{
a
n
}
、
则
{
a
n
b
n
}
、
{
b
n
}
成等比数列，
{
a
p
nq
}(
p
,
q
N
)
、
{
ka
n
}
成等比数列；
*
2
a
{
n
}
成等比数列；
若
{
a
n
}
是等比数列，且公比
q
1
，则数列
S
n
,
S
2
n
S
n
,<
/p>
S
3
n
S
2
n
，„也是等比数列。
b
n
（
3
）
< br>若
a
1
0,
q
1
，
则
{
a
n<
/p>
}
为递增数列；
若
a
1
0,
q
1
,
<
/p>
则
{
a
n
}
为递减数列；
若
a
1
0,0
q
1
，
则
{
a
n
}
为递减数列；若
a
1
0,0
q
1
,
则
{
a
n
}
为递增数列；若
q
0
，则
{<
/p>
a
n
}
为摆动数
列；若
q
1
，则
{
a
n
}
为常数
列
.
（
4
）
等比中项：
若
a
,
A
,
b
成等比数列，那么
_____
叫做
_____
与
_____
的等比中项。
提醒
：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个
ab
。
练习题
（
1
）
（
201
0
浙江理数）
设
S
n
为等比数列
a
n
的前
n
< br>项和，
8
a
2
< br>
a
5
0
，则
（
A
）
11
（
B
）
5
（
C
）
8
（
D
）
11
（
2
）
（
2010
辽宁文数）
设
S
n
为等比数列
a
n
的前
n
项和，已知
3
S
3
a<
/p>
4
2
，
3
S
2
a
3
2
，则公比
q
（
）
（
A
）
3
（
B
）
4
（
C
）
5
（
D
）
6 <
/p>
（
3
）
（
2010
辽宁理数）
设
{a
n
}
是有正数组成的等比数列，
S
n
为其前
n
项和。已知
a
2
a
4
=1,
S
3
7
,
则
S
5
（<
/p>
）
S
5
（
）
S
2
17
15
31<
/p>
33
(B)
(C)
(D)
2
2
4
4
（
4
）
（
2010<
/p>
重庆理数）
在等比数列
a
n
中，
< br>a
2010
8
a
2007
，则公比
q
的值为（
）
（
A
）
A.
2
B. 3
C.
4
D. 8
（
5
）
（
2010
北京
理数）
在等比数列
a
n
中，
a
< br>1
1
，公比
< br>q
1
.
若
a
m
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
，则
m=
（
）
（
A
）
9
（
B
）
10
（
C
）
11
（
D
）
12
（
6
）
（
2010
四川理数）
已知数列
a
n
< br>的首项
a
1
< br>0
，
其前
n
项的和为
S
n
，
< br>且
S
n
1
2
S
n
a
1
，
则
l
i
m
（
A
）
0
（
B
）<
/p>
1
（
C
）
1
（
D
）
2
< br>2
a
n
（
）
n
S
n<
/p>
（
7
）<
/p>
（
2010
天津理数）
< br>已知
a
n
是首项为
1
的等比数列，
s
n
是
a
n
的前
n
项和，且
9
s
3
s
6
，则数列
前
5
项和为（
）
15
31
31
15
（
A
）
或
5
（
B
）
或
5
（
C
）
（
D
）
1
的
a
n
16
16
8
（
8
）
（
< br>2010
广东理数）
已知
{
a
n
}
为等比数列
，
S
n
是它的前
n
项和。若
a
2
a
3
2
a
1
，
<
/p>
且
a
4
与
2
a
7
的等差中项为
5
，则
S
5<
/p>
=
（
）
4
A
．
35
B.33
C.31
D.29
（
9
）
（
2010
安徽理数）
设
a
n
是任意等比数列，它的前
n
项和，前
2
n
项和与前
3
n
项和分别为
X
,
Y
,
Z
，则下
列等式中恒成立的是（
）
A
、
X<
/p>
Z
2
Y
C
、
Y
XZ
2
8
B
< br>、
Y
Y
X
Z
Z
X
D
、
Y
Y
X
X
< br>
Z
X
（
1
0
）
（
2010
福建理数）
在等比数列
a
n
中
,
若公比
q=4
,
且前
3
项之和等于
21,
则该数列的通项公式
a
n
．
常见数列通项公式的求法
数列是高中
数学的重要内容，又是学习高等数学的基础．高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数
列的考查每年都不会遗漏．有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的
知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起．探索
性问题是高考的热点，
常在数列解答题中出现．本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观
题中着重考查函数与方程、转化与化归、分
类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待
定系数法等基本数学方法．
数列这一章的主要章节结构为：
<
/p>
近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面：
（
1
）数列本身的有关知识，其中有等差数列与
等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式．
（
2
）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等
式、三角、几
何的结合．
（
3
）数列的应用问题，其
中主要是以增长率问题为主．试题的难度有三个层次，小题
大都以基础题为主，解答题大
都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的
综合作为
最后一题难度较大．
1
．利用等差等比数列通项公式
例：<
/p>
设
{
a
n
}
是等差数列，
且
a
1
b
1
1
，
求
{
a
n
}
，
{
b
n
< br>}
是各项都为正数的等比数列，
a
3
b
5
21
，
a
5<
/p>
b
3
13
，
{
b
n
}
的通项公式。