(完整版)已知数列递推公式求通项公式的几种方法
adc天赋加点图-
求数列通项公式的方法
一、公式法
n
例
1
<
/p>
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n<
/p>
1
2
a
n
3
2
，
a
1
2
，求数列
{
a
n
}
< br>的通项公式。
a
n
1
a
n
3
a
n
1
a
n
3
a
n
，
则
，<
/p>
故数列
<
/p>
{
}
是
n
1
n
n
1
n
n
2
2
2
2
2
2
2
a
n
3
a
2<
/p>
3
以
1
为首项，
以
为公差的等差数列，
由等差数列的通
项公式，
得
，
1
(
n
1)
1<
/p>
n
1
2
2
2
2
2
3
1
n
所以数列
{
a
n
}
的通项公式为<
/p>
a
n
(
n
)2
。
2
2
n
解：
a
n
1
2
a
n
3
2
两边除以
2
n
1
，
得
n
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
2
a
n
3
2
转化为
a
n
1
a
n
3
n
，说明数列
n
1
2
2
2
a
a
n
3
< br>是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出
，进而求出数列
{
n
}
1
(
n
1)
n
n
2
2
2
{
a
n
}
的通项公式。
二、累加法
，
a
1
1
，
求数列
{
a
n
}
的通项公式。
例
2
已知
数列
{
a
n
}
满足
a
n
<
/p>
1
a
n
2
n
1
解：由
a
n
1
a
n
2
n
1
得
a
n
1
a<
/p>
n
2
n
1
则
a
n
(
a
n
a
n
1
)
(
a
n
<
/p>
1
a
n
2
)
L
(
a
3
a
2
)
(
a
2
a
1
)<
/p>
a
1
[2(
n
1)
1]
[2(<
/p>
n
2)
1]
L
(2
2
1)
(2
1
1)
1
2[(
n
1)
(
n
2)
L
2
1]
(
n
1)
1
(
n
1)<
/p>
n
2
(
n
1)
1
2
(
n
1)(
n
1)
1
n
2
2
所以数列
{
a
< br>n
}
的通项公式为
a
n
n
。
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
a
n
2
n
1
转化为
a
n
1
a
n
2<
/p>
n
1
，进而求
出
(
a
n
a
n
1
)
(
a
n
1
< br>
a
n
2
)
L
(
a
3
a
2
)
(
a
2
a
1
)
< br>a
1
，即得数列
{
a
n
}
的通项公式。
n
例
3
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
a
n
2
3
1
，
a
1
< br>3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
n
n
解：由
a
n
1
a
n
2
< br>
3
1
得
a
n
1
a
n
2
3
1
则
a
n
(
a
< br>n
a
n
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
L
(
a
3
< br>
a
2
)
(
a
2
a
1
)
a
1
(2
3
n
1
1)
(2
3
n
2
1)
< br>
L
(2
3
2
1)
(2
3
1
1)
3
2(3
n
1
3
n
2
L
3
2
3
1
)
< br>
(
n
1)
3
3(1
3
n
1
)
2
<
/p>
(
n
1)
3
1
3
3
n
3
n
< br>
1
3
3
n
n
1
n
所以<
/p>
a
n
3
n
1.
n
n
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
a
n
2
< br>3
1
转化为
< br>a
n
1
a
n
2
3
1
，
进而求出
a
n<
/p>
(
a
n
a
n
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
L
<
/p>
(
a
3
a
2
)
(
a
2
a
1
)
a
1
，
即得数列
< br>{
a
n
}
的通
项公式。
n
例
4
已知数列
{
a
n<
/p>
}
满足
a
n
1
3
a
n
2
3
1
< br>，
a
1
3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
n
n
1
< br>解：
a
n
1
3
a
n
2
3<
/p>
1
两边除以
3
，得
a
n
<
/p>
1
a
n
2
1
，
3
n
1
3
n
3
3
n
1
则
a
n
<
/p>
1
a
n
2
1
，故
3
n
1
3
n
< br>3
3
n
1
a
n
a
n
a
n
1
a
n
1
a
n
2
a
n
2
< br>a
n
3
a
2
a
1
a
1
(
)
(
)
(
)
L
< br>(
1
)
n
n
n
2
n
2
n
3
2
3
3
a
n
1
a
n
< br>
1
3
3
3
3
3
3
2
1
2
1
2
1
2
1
3
(
n
)
(
< br>n
1
)
(
n
2
)
L
(
2
)
3
3
3
3
3
3
< br>3
3
3
2(
n
1)
1
1
1
1
1
(
n
n
n
1
n
2
L
< br>2
)
1
3
3
3
3
3
3
1
n
1
(1
3
)
a
n
2(
n
1)
3
n
2
n
1
1
因此
n
< br>
，
1
3
3
1
3
3
2
2
3
n
则
a
n
2
< br>1
1
n
3
n
3
n
.
3
2
2
n
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
3
a
n
2
3
< br>1
转化为
a
n
< br>
1
a
n
2
1
，
3
n
1
3
n
3
3
n
1
进而求出
(
a
n
a
n
1
a
n
1
a
n
2
a
n
2
a<
/p>
n
3
a
2
a
1
a
1
a
n
，即得数列
)
(
)
(
)
L
(
)
n<
/p>
3
n
3
n
1
3
n
1
3
n
2
3
n
2
3
n
3
3
2<
/p>
3
1
3
3
的通项公式，最后再求数列
{
a
n
}
< br>的通项公式。
三、累乘法
n
例
5
<
/p>
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n<
/p>
1
2(
n
1)5
a
n
，
a
1
3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
n
解：因
为
a
n
1<
/p>
2(
n
1)5
a
n
，
a
1
3
，所以
a
n
0
，则
a
n
1
2(
n
1)5
n
，故
a
n
a
n
a
n
a
n
1
a
a
<
/p>
L
3
2
a
1
a
n
1
a
n
2
a
2
a
1
[2(
n
1
1)5
n
1
][2(
n
2
1)5
n
2
]
L
[2(2
1)
5
2
][2(1
1)
5
1
]
3
2<
/p>
n
1
[
n
(
n
1)
L
3
2]
5
(
n
1)
(
n
2)
L
2
1
<
/p>
3
3
2
n
1
n
(
n
1)
2
5
< br>
n
!
n
1
所以数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
3
< br>
2
5
n
(
n
1
)
2
n
!.
n
评注：
本
题解题的关键是把递推关系
a
n
1
2(
n
1)5
a
n
转化为
a
n
1
2(
n
1)5
n
，
进而求
a
n
出
a
n
a
n
1
a
< br>a
L
3
2
a
1
，即得数列
{
a
n
}
的
通项公式。
a
n
1
a
n
2
a
2
a<
/p>
1
，
a
n
a
1
2
a
2
3
a
3
L
(
n
1)
a
n
1
(
n
2)
，
例
6
已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
1
求
{
a
n
}
的通项
公式。
解：因为
a
n
a
1
2
a
2
3
a
3
< br>
L
(
n
1)
a
n
1
(
n<
/p>
2)
所以
a
n
1
a
1
2
a
2
3
a
3
L
(
n
1)
a
n
1
na<
/p>
n
用②式－
①式得
a
n
1
a
n
<
/p>
na
n
.
则
a
n
1
(
n
1)
a
n
(
n
2)
< br>
②
①
故
a
n
1
n
1(
n
2)
a
n
a
n
a
< br>n
1
a
n
!
L
3
a
2
[
n
(
n
1)
L
4
3]
a
2
< br>
a
2
.
a
n
1
a
n
2
a
2
2
所以
a
n
③
由
a
n
a
1
2
a
2
3
a
3
< br>
L
(
n
1)
a
n
1
(
n<
/p>
2)
，
取
n
2
得
a
2
a
1
2
a
< br>2
，
则
a
2
a
1
，
又知
a
1
<
/p>
1
，则
a
2
1
，代入③得
a
n
1
3
4
5
L
n
所以，
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
n
!
。
2
n
!
.
2
a
n
1
n
1(
n
2)
，<
/p>
a
n
评注：本题解题的关键是把递推关系
式
a
n
1<
/p>
(
n
1)
a
n
(
n
2)
转化为
进而求出
a
n
a
n
1
a
L
3
a
2
< br>，
从而可得当
n
2
时，
a
n
的表达式，
最后再求出数列
{
a
n
}
的
a<
/p>
n
1
a
n
2
a
2
通项公式。
四、待定系数法
n
例
7
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
2
a
n
3
5
，
a
1
6
< br>，求数列
a
n
的通项公式。
解：设
a
n
1
x
5
n
1
< br>2(
a
n
x
5
n
)
④
<
/p>
n
n
n
1
n
将
a
n
1
2
a
n
3
5
代入④式，得
2
a
n
< br>3
5
x
5
2
a
n
2
x
5
，等式两边
消去
2
a
n
，
得
3
5
n
x
5
n
1
2
x
< br>5
n
，
两
边
除
以
5
n
，
得
3
5
x
2
x
,
则
x
1,
代
入
④
式
得
a
n
1
5
n
1<
/p>
2(
a
n
5
n
)
⑤
a
n
1
< br>
5
n
1
n
{
a
5
}
是以
由<
/p>
a
1
5
6
5
1
0
及⑤式得
a
n
5
0
，则
，则数列
2
n
n
a
n
< br>5
1
n
a
1
5
1
1
为首项，以
2
为公比的等比数列，则
a
n
5
n
2
n
1
，故
a
n
2
< br>n
1
5
n
。
n
n
1
n
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
2
a
n
3
5
转化为
a
n
1
5
2(
a
n
5
)
，
n
n
从而可知数列
{
a
n
< br>5
}
是等比数列，进而求出数列
{
a
n
5<
/p>
}
的通项公式，最后再求出数列
{
a
n
}
的通项公式。
n
例
8
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
3
a
n
5
2
4
，
a
1
< br>
1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
解：设
a
n
1
x
2
n
< br>1
y
3(
a
n
x
2
n
<
/p>
y
)
⑥
n
将
a
n
1
3
a
n
5
2
< br>
4
代入⑥式，得
3
a
n
5
2
n
4
x
2
n
1<
/p>
y
3(
a
n
x
2
n
y
)
整理得
(5
2
x
)
2
4
y
3
x
2
<
/p>
3
y
。
n
n
令
5
2
x
3
x
x
5
，则
，代入⑥式得
4
y
3
y
y
2
⑦
a
n
1
5
2
n
1
2
< br>3(
a
n
5
2
n
2)
1
由
a
1
5
2
2
1
12
13
0
及⑦式，
a
n
1
5
2
n
1
2
得
a
n
5
<
/p>
2
2
0
，则
3
，
n
a
n
5
< br>2
2
n
n
1
故数列
{
a
n
5
2
2}
是以
a
1
5
2
2
1
12
13
为首项，以
3
为公比的等比数列，
n
n
< br>
1
n
1
n
因此
a
n
5
2<
/p>
2
13
3
，则
a
n
13
3
5
2
2
。
< br>
n
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
< br>
3
a
n
5
2
4
转化为
a
n
1
5
2
n
1
2
3(
a
n
5
2
n
2)
，从而可知数列
{
a
n
5
2
n
< br>2}
是等比数列，进而求
n
出数
列
{
a
n
<
/p>
5
2
2}
的通项公式，最后再求数列
{
a
n
}
的通项公式。
2
例
9
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
2
a
n
3
n
4
n
5
，
< br>a
1
1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
2
2
解：设
a
n
1
x
< br>(
n
1)
y
(
n
1)
z
2(
a
n
<
/p>
xn
yn
<
/p>
z
)
⑧
2
将
a
n
1
2
a
n
3
n
< br>
4
n
5
代入⑧式，得