非线性递推数列
高中数学公式表-
二、非线性递推数列
目的要求：
掌握常见的非线性递推数列的通项求法
（化为：
一阶
线性、
恒等变形、
不动点法、数归法、母函数法等）
重
点：
（难点）根据其特点采用相应方法求
a
n
1
、分式递推数列：
a
ca
n
d
n
1
aa
n
b
⑴
若
d
0
，则
1
aa
n
b
b
a
n
1
ca
a
n
ca
n
c
令其为
b
b
a
n
1
c
b
n
c
（一阶线性……）
⑵
若
d
0
,
c
0
，用不动点法（
P166 TH10
）
例
1
、
a
a<
/p>
n
n
1
2
n
a
,
a
1
1
，求
a
n
< br>
n
1
解：
1
n
a
1
a
2<
/p>
n
即
b
n
1
b
n
2
n
1
n
则
b
b
2
1<
/p>
2
n
1
1
2
2
n
2
n
n
1
1
2
1<
/p>
例
2
、
4
a
n
1
a
n
a
n
1
2
a
n
9
,
a
1
<
/p>
1
，求
a
n
解：变形：
a
2
b
n
9
n
1
b
n
1
< br>
b
n
4
b
b
n
2
2
< br>
6
9
n
1
b
4
n
令
2
6
9
0
（化为⑴型）
1
2
3
则
b
n
1
< br>n
1
b
b
1
n
1
b
n
1
b
1
n
1
b
是等差且常…
<
/p>
n
a
n
1
2
n
1
1
1
1
n
n
b
n
b
1
< br>2
b
n
2
1
2
n
a
n
6
n
5
2
n
1
题中
恰好是
TH9
P166
2
x
9
2
x
9
x
的根，
即
为
f
<
/p>
x
的不动点
x
4
x
4
TH10
P166
f
n
an
b
cn
d
u
< br>1
则①
n<
/p>
是等比……
u
n
<
/p>
2
1
②
是等差……
u
p
n
2
、其他非线性递推数列
等差（等比）
线性
分式
恒等变形后
迭代
<
/p>
数归
母函数法
<
/p>
（书上例
10
、
11
、
12
）
例
10
、
<
/p>
a
n
,
a
1
a
2
1
,
a
3
2
,
a
n
1
3
a<
/p>
n
a
n
1
n
3
，求
a
n
a
n
< br>
2
解：变形
a
n
1
a
n
2
3
a
n
a<
/p>
n
1
（
a
n
1
,
a
n
2
非连续二项）<
/p>
a
n
a
n
3
3
a
n
1
a
n
< br>
2
a
n
1
a
n
2
a
n
a
n
3
a
n
a
n
< br>1
a
n
1
a
n
2
a
n
a
n
1
a
n
3
< br>
a
n
2
a
n
1
a
n
1
即：
a
n
1
a
n
1
a
n
1
a
n
3
（为常数列）
a
n
a
n
2
a
n<
/p>
1
a
n
1
a
3
a
1
3
a
n
a
2
n
4
<
/p>
a
n
1
3
a
n
a
n
1
二阶常线性齐次……
a
n
< br>
（特征根法）