“九连环”中的数列递推问题
小窍门大全-
“九连环”中的数列递推关系
山西省原平市第一中学
任所怀
“九连环”是一个古老的中国智力游戏，对于它的结构和玩法在人教版普通
< br>高中课程标准实验教科书《数学
5
》第
< br>59
页有详细介绍。为了让大家能更深入
了了解这一游戏
，
我对这一游戏进行了进一步的深入剖析，
写成这一篇文章与大
家共享。
初见“九连环”可能会无从
下手，按照我们从简单到复杂，从特殊到一般的
归纳法思路，我们不妨先从“一连环”<
/p>
，
“二连环”
，
“三连环”
，„„入手，从中
找出规律，从而得出“
n
连环”的一般解法。
“一连环”
解法简单，
只需把圆环从上面的框架上取下，
然后从框架中间穿
过，就可把圆环从框架上解下。把这样的移动记为一
次移动，则解“一连环”需
要移动的次数为
1
< br>次，记为
f
(1)
1
。
“二连环”解法也
简单，只需按照上面的移动规则，先把第
2
环解下，然后
再解下第
1
环即可，则解“二连环”需要移动
的次数为
2
次，记为
f
(2)
2
。
“三连环”的解法为：先解下第
1
< br>环，
（记为：下
1
）
，再解下第
3
环（记为：
下
3
）
，再套上第
1
环（记为：上
1
）
，接着解一个“二连环”
，就可完成。所以解
“三连
环”需要移动的次数为
f
(3)
1
1
1
f
(2)
5
；
“四连环”的解法为：先解下前两环，
（即下
1
，下
2
）
，再解下
第
4
环（下
4
）
，再套上前
2
环（上
2
，上
1
）
< br>，接着解一个“三连环”
，就可完成。所以解“四
连环”
需要移动的次数为
f
(4)
f
(2)
1
f
(2)
f
(3)
2
f
(2)
f
(3)
1
10
；
由上归纳类比，可得
“
n
连环”
（
n
3
）的解法可分为四步：第一步：先解前
n-2
环，需要移动
f
(
n
2)
次
；第二步：解下第
n
环，需要移动
1<
/p>
次；第三步：套上前
n-2
环，解
法就相当把解下过程倒过来，所以需要移动
f
(
n
2)
次
；第四步：解下前
n-1
环，
需要移动
的次数为
f
(
n
1)
。于是解“
n
连环”需要移动的次数为
f
(
n
)
f<
/p>
(
n
2)
1
f
(
n
2)
f
(
n
1)
2
< br>f
(
n
2)
f
(
n
1)
1
(
n
3)
；
于是我们得到了一个数列的递推关系，即
n
3)
已知数列
{
f
(
n
)}
，其中
f
(1)
1,
f
(2)
2,
f
(
n
)
2
< br>f
(
n
2)
f
(
n
1)
1
,(
，下
面我们共同探求，如何能求出该数列的通项公式？
解：由
f
(
n
)
2
f
(
n
2)
f
(
n
1)
< br>1
,(
n
3)
得
1
)
2
[
f
n
(
f
(
n
)
f
(
n
2
)
f
n
< br>
(
1
)
]
n
1
,