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用不动点法求递推数列的通项公式
甘肃省武威市第一中学
党星元
利用函数的不动点，可将某些
递推关系
a
n
f
(
a
n
1
)
所确定的数列，化为等比数列或<
/p>
容易求通项的数列，这种方法称为不动点法
.
利用不动点法可巧妙的解决数学高考中很多用
常规方法不易解决的问题，
而且在数学竞赛中很多数列问题都要借助不动点法来解决，
因此，
很有必要探讨不动点法求通项公式的方法
.
先看
特征函数和不动点的定义
.
定义
1<
/p>
：若数列
{
a
n
}
满足
a
n<
/p>
1
定义
2:<
/p>
方程
f
(
a
n
)
，则称
f
(
x
)
为数列
a
n
的特征函数
.
f<
/p>
(
x
)
x
称为函数
f
(
x
)
的不动点方程，根称为函数
f
(
x
)
的不动点
.
1.
递推式为<
/p>
b
n
1
pb
n
q
(p
0,p
1,p,q
均为常数
)
型的数列
定
理
1
：
若
f
(
x
)
<
/p>
ax
b
(
a
0
,
a
1
),
p
是
f
(
x
)
的
不
动
点
，
a
n
满
足
递
推<
/p>
关
系
a
n
f
(
a
n
1
),
(
n
1
< br>)
，则
a
n
p
a
(
a
n
1<
/p>
p
)
，即
a
n
p
是公比为
a
的等比数列
.
证明：因为
p
是
f
(
x
)
的不动点
ap
b
p
b
p
ap
由
a
n
a
a
n
1
b
得
a
n
p
a
a
< br>n
1
b
p
a
n
p
aa
n
1
ap
a
(
a
n
1
p
< br>)
所以
a
n
p
是公比为
a
的等比数列
.
例
1.
已知数列
{an}
中，
a1=2
，
a
n
1
解：因为
{an}
< br>的特征函数为：
f
(
x
)
由
f
(
x
)
< br>2
a
n
1
，求
{an}
的通项。
3
2
x
1
,
3
< br>2
x
1
2
2
a
1
a
n
1
1
(
a
n
1
)
< br>x
x
1
,
∴
a
n
1
n
3
3
3
2
2
n
1
2
n
1
的等比数列
,
∴
an-
1=
(
a
1
1
)(
)
<
/p>
an=1+
(
)
.
3
3
3
∴
数列
{an-1}
是公比为
归根结底，
由
b
n
1<
/p>
pb
n
q
求通项公式的问题转化成了等比数列的问题
.
3.
递推式为
an+1=
aa
n
b
ca
n
d
（
c
0,a,b,c
,d
为常数）型的数列
定理
2
：设
f
(
x
)
ax
b
(
c
< br>
0
,
ad
bc
0
)
，
a
n
满足递推关系
a
n
f
(
a
n
1
),
n
1
，
cx
d
初值条件
a
1
f
(
a
1
)
1
(1)
若
f
(
x
)
有两个相异的不动点
p,q
，则
a
n
p
a
p
a
pc
k
<
/p>
k
n
1
（这里
）
a
qc
a
n<
/p>
q
a
n
1
q
(2)
若
f
(
x
)
只有唯一不动点
p<
/p>
，则
1
1
k
（这
里
k
2
c<
/p>
）
a
n
p
a
n
1
p
a
d
得
证
明
：
由
f
(
x
)
<
/p>
x
f
(
x
)
ax
b
x
，
所
以
cx
d
cx
2
< br>(
d
a
)
x
b
0
pd<
/p>
b
（
1
）因为
p,q
是不动点，所以
cp
2
< br>
(
d
a
)
p
b
0
p
a
pc
a
)
q
b
0
cq
2
< br>
(
d
qd
b
，所以
q
a
<
/p>
qc
aa
n
<
/p>
1
b
a
p
ca
p
n
n
1
d
< br>(
a
pc
)
a
n
1
b
pd
a
n
q
aa
n
1
b
(
a
qc
)
a
n
< br>1
b
qd
ca
q
n
1
d
a
pd
b<
/p>
n
1
a
pc
a
qc
a
pc
a
pc
a
n
a
qd
b
< br>
a
qc
1
p
a
n
<
/p>
1
n
1
q
a
qc
令
k
a
pc
a
n
p
a
qc
，则
k
a
n
1
p
a<
/p>
q
n
q
a
n
1
（
2
）因为
p
是方程
cx
2
(
d
a
)
x
< br>
b
0
的唯一解，所以
cp
2
(
d
a
)
p
b
0
所以
b
pd
cp
2
ap
，
p
a
d<
/p>
2
c
所以
2