平方可积函数
刀剑泪-
平方可积函数的认识
1
、平方可积函数的来源与定义
平方可积函数是连续物理过程，
而连续是由离散情况变化而来，
因此这里将
首先引入离散情况。
现在考虑一个问题：要测量某个物理量在不同条件下的值，设
有
N
个温度
值，第一次测量结果是：<
/p>
(1)
(1)
a
1
(1)
,
a
2
,
,<
/p>
a
N
第二次测量结果是：
(2)
(2)
a
1
(2)
,
a
2
,
,
a
N
评估两次测量的偏差，最直接的设想是计算每个温度下测量偏差之和：
1
N
(
a
k
1
N
(1)
k
(2)
a
k
)
其实就是平均值，
但是
这并不能反映真实情况，
因为各项有正有负可能抵消，
在
极端的情况下，平均值可以为
0
，而实际上两
次测量可以存在很大误差。于是，
采用：
1
N
a
k
1
N
N<
/p>
(1)
k
(2)
a
k
这虽然
避免了正负相消，但是绝对值是很不方便运算的，因此考虑更常见的
< br>1
N
(
a
k
1
(1)
k
(
2)
2
a
k
)
但是
<
/p>
的量纲很明显的不对，于是对上式进行开方得到：
1
[
< br>N
(
a
k
1
N
(
1)
k
a
)
]
1
(2)
2
2
k
的量纲显然与测量值
a
k
< br>(1)
、
a
k
< br>(2)
一致，因此它是合理的。
称为方差，
称为标准差。上述考
虑的是离散情况下，如果观测的物理量
对温度的变化是连续进行的，
则相应的会有两个函数
f
(1)
(
x
)
和
f
(2)
(
x
)
。
类似于上
式，存在函数平方的积分
[
f
(1)
(
x
)
f
(2)
(
x
)]
2
dx
。总之，经过
发现可以得出把一
a
b
个函数平方再积
分，用这个量来刻画函数性质在种种物理过程中是十分有效的。
由于已知黎曼积分本质上是适用于连续函数的积分，
但是由于统计思想的深
入，
不得不考虑连续函数或不光滑函数。
因此，<
/p>
这里的积分考虑的是勒贝格积分
理论。
定义
1
设
f<
/p>
(
x
)
是
E
R
上的可测函数
，
而且
f
(
x
)
在
E
上可积
，
这种函数的
集合称为平方可积函数空间，记作
L
2
(
E
)
（或简单记作
L
2
）
。
1
2
2
、平
方可积函数的长度与角度
定义
L
2
空间的基本思想就是希望它尽可能的与欧式空间在几何上接近。已
知欧式空间的几何学有两个基本的量，
一个是长度，
一个是角度。
然而离散情况
下的长度是
(
a
k
1
N
1
(1)
2
2
k
)
，现在就引出两个
L
2
函数
f
(
x
)
和
g
(
x
)
下的长度。
定义
2
设
f
(
x
)
、
< br>g
(
x
)
L
2
(
E
)
，定义
f
(
x
)
的模（或称范数，就是长度）为<
/p>
f
(
x
)
(
f
(
x
)
dx
)
1
2
< br>
E
2
L
2
定义实
L
2
空间中
f
(
x
)
和
g
(
x
)
内积为
f
,
g
L
2
f
(
x
)
g
(
x
)
< br>dx
E
复
L
2
空间中
f
(
x
)
和
g
(
x
)
内积
为
(
f
,<
/p>
g
)
L
2
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
< br>E
上述给出的都是
L
2
空间中函数长度的计算方法，下面将角度引入到
L
2
空间
中。
根据
R
N
空间中两个向量
a
,
b
，余弦定律是
a
b
a
b
cos
，则一定有
a
b
a
b
。即存在一个
角使
定律成立，所以把角度引入
L
2
中，就
应该亦存
在与余弦定理相应的不等式。
定理
3
（
Schwarz
不等式）若
f
(
x
)
、
g
(
x
)
L
2
(
E
)
为实值或者是复值函数，
则下式成立：
< br>
E
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
(<
/p>
f
(
x
)
dx
g
(
x
)
dx
)
1
2
E
E
2
2
而且等号当且仅当
f
(
x
)
与
g
(
x
)
几乎处处相差一个常
数因子时成立。
3
、
L
2
空间中规范正交系
定义
3
若两个
L<
/p>
2
(
E
)
函数之内积为
0
，
则
说它们相互正交，
若一个
L
2
(
E
)
函数
范数为
1
，
就称为归一的
，
规范的
（归一函数自然不会几乎处处为
0
）
，
若一个
L
2
(
E
)
函数序列
{
f
k
(
x
)}
适
用
f
i
(<
/p>
x
),
f
j
(
x
)
ij
，则称
{
f
k
(
x
)}
为一个归一或规范正交系
2