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完全平方数是什么？

一）完全平方数的性质

一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为 完全平方数，也叫做平方数。例如：

0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,1 00,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484 ,…

观察这些完全平方数，可以 获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完

全平方数的 一些常用性质：

性质

1

：完全平方数的末位数只能是

< br>0,1,4,5,6,9

。

性质

2

：奇 数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

证明

奇数必为下列五种形式之一：

10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9

分别平方后，得

(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1

(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9

(10a+5)=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5

(10a+7)=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9

(10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1

综上各种情形可知：奇数的平方， 个位数字为奇数

1,5,9

；十位数字为偶数。

性质

< br>3

：如果完全平方数的十位数字是奇数，

则它的个位数字 一定是

6

；

反之，

如果完全平方数的个位数字

是

6

， 则它的十位数字一定是奇数。

证明

已知

= 10k+6

，证明

k

为奇数。因为的个 位数为

6

，所以

m

的个位数为

4

或

6

，于是可设

m=10n+4

或

10n+6

。则

10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6

或

10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6

即

k=10+8n+1=2(5+4n)+1

或

k=10+12n+3=2(5+6n)+3

∴

k

为奇数。

推论

1

：如 果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是

6

，那么这个数一 定不是完全平方数。