完全平方公式(一)
无懈可击3-
1.6
完全平方公式
(
一
)
●教学目标
(
一
)
教学知识点
1.
完全平方公式的推导及其应用
.
2.
完全平方公式的几何背景
.
(
二
)
能力训练要
求
1.
经历探索完全平方公式的过程
，进一步发展符号感和推理能力
.
2.
重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力
.
(
三
)
情感与价值观要求<
/p>
1.
了解数学的历史，激发学习数学兴
趣
.
2.
鼓励学生自己探索算法的多
样化，有意识地培养学生的创新能力
.
●教学重点
1.
完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释
.
2.
完全平方公式的应用
.
●教学难点
1.
完全平方公式的推导及其几何解释
.
2.
完全平方公式结构特点及其应用
.
●教学方法
自主探索法
学生在教师的引导下自主
探索完全平方公式的几何解释、
代数运算角度的推理，
揭示其<
/p>
结构特点，然后达到合理、熟练地应用
.
●教具准备
投影片四张
第一张：试验田的改造，
记作
(
§
1.6.1 A)
第二张：想一想，记作
(
§
1.6.1 B)
第三张：例题，记作
(
§
1.6.1 C)
第四张：补充练习，记作
(
§
1.6.1 D)
●教学过程
Ⅰ
.
创设问题情景，引入新课
［师］
去年，一位老农在一次“科技下乡”活动中得到启示，将一块边长为
a
< br>米的正方
形农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大
.
今年，又一次“科技下乡”
活动，使老农铁了
心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加
b
米，形
成四块试验田，种植不同的新品种
.
同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？
(
同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径
)
［生］我能帮这位爷爷
.
［师］你能把你的结果展示给大家吗？
［生］
可以
.
如图
< br>1
－
25
所示，
这就是我改造后的试验田，
可以种植四种不同的新品种
.
图
1
－
25
［师］你能用不同的方式表示试验田的面积吗？
［生］改造后的试验田变成了边长为
(
a
+
b
)
的大正方形，因此
，试验田的总面积应为
2
(
a
+
b
)
.
［生］
也可以把试验田的总面积看成四部分的面积和即边长为
a
的正方形面积，
边长为
b
的正方形的面积和两块长和宽分别为
a
和
b
的面积的和
.
所以试验田的总面积也可表示为
a
2
+2
ab
+
b
2
.
［师］很好！同学们用不同的形式表示了这块试验田的
总面积，进行比较，你发现了
什么？
［生］可以发现它们虽形式不同，但都表示同一块试验田的面积，因此它们应该相等
.<
/p>
2
2
2
即
(
a
+
b
)
=
a
+2
ab
+
b
［师］我们这节课就来研究上面这个公式——完全平方公式
.
Ⅱ
.
讲授新课
1.
推导完全平方公式
2
2
2
［师］我们通过对比
试验田的总面积得出了完全平方公式
(
a
+
b
)
=
a
+2
ab
+
b
.
其实，据有
关资料表明，
古埃及、
古巴比伦、
古印度和古代中国人也是通过
类似的图形认识了这个公式
.
我们姑且把这种方法看作对完全平
方公式的一个几何解释
.
能不能从代表运算的角度也能推
导出这样的公式呢？
(
出示投影片§
1.6.1 A)
想一想：
2
(1)(
a
+
b
)
等于什么？你能用多项式乘法法则说明理由吗？
2
(2)(
a
－
b
)
等于什么？你是怎样想的
.
(
同学们可先在自己的练习本上推导，教师巡视推
导的情况，对较困难的学生以启示
)
［生］用多项式乘法法则可得
2
(
a
+
b
)
=(
a
+
b
)(
a
+
b
)=
a
(
a
+
b
)+
< br>b
(
a
+
b
)
2
2
=
a
+
ab
+
ab
+
b
<
/p>
2
2
=
a
+2
ab
+
b
2
2
2
所以
(
a
+
b
)
=
a
+2
ab
+
b
(1)
［师］上面的几何解释和代数推导各有什么利弊？
2
2
2
［生］几何解释完
全平方公式给我们以非常直观的认识，但几何解释
(
a
+
b
)
=
a
+2
ab
+
b
,
受到了条件限制
:
a
>0
且
b
>0;
代数推导完全平方公式虽然不直观，
但在推导的过程中，
a
,
b
可以是正数，
可以是负数，
零，也可以是单项式<
/p>
,
多项式
.
［
师］同学们分析得很有道理
.
接下来，我们来完成第
(2)
问
.
2
2
2
2
2
［生］
也可利用多项式乘法法则，则
(
a
－
b
)
< br>=(
a
－
b
)(
a
－
b
)=
a
－
ab
－
ba
+
b
=
a
－
2
ab
+
b
.
2<
/p>
2
2
［生］我是这样想的，因
(
a
+
b
)
=
a
+2
< br>ab
+
b
中的
< br>a
、
b
可以是任意数或单项式、
多项式
.
2
2
我们用“－
b
”代替公式中的“
b
”
,
利用上面的公式就可以得到
(
< br>a
－
b
)
=
［
a
+(
－
b
)
］
.
［师］这位同学的想法很好
.
因为他很
留心我们表述的每一句话的含义，你能继续沿着
这个思路做下去吗？我们一块试一下
.
［师生共析］
2
2
2
2
(
a
－
b
)
=
［
a
+(
－
b
)
］
=
a
+2
·
a
·
(
－
< br>b
)+(
－
b
< br>)
↓
↓
↓
↓
↓
↓
2
2
2
(
a
+
< br>b
)
=
a
+2
·
a
·
b
+
b
2
2
=
a
－
2
ab
+
b
.
于是，我们得到又一个公式：
2
2
2
(
a
－
b
)
=
a
－
2
ab
+
b
(2)
［师］你能用语言描述上述公式
(1)
、
(2)
吗？
［生］公式
(1)
用语言描述为：两个数的和的平方等于这两
个数的平方和与它们积的
2
倍的和；公式
(2)
用语言描述为：两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的
2
倍
的差
.
这两个公式为完全平方公式
.
它们和平方差公式一样
可以使整式的运算简便
.
2.
应用、升华
出示投影片
(
§
1.6.1 B)
［例
1
］利用完全平方公式计算：
2
2
(1)(2
x
－
3)
;(
2)(4
x
+5
y
)
;
2
(3)(
mn
－
a
)
< br>.
分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步，准确代入公式；
第三步
化简
.
解：
< br>(1)
方法一：
［例
2
］利用完全平方公式计算
< br>
2
2
(1)(
－
x
+2
y
< br>)
;(2)(
－
x
－
y
)
;