初等数论教学中关于平方数的特征
巡山小妖精
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2021年02月06日 18:55
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初等数论教学中关于平方数的特征
【摘
要】
本文利用同余讨论并证明了平方数的几个重要的特
征，掌握这些
特征可以较容易地判断出一个数是否是平方数。
【关键词】
初等数论；同余；平方数
初等数论的
逻辑性很强，某些简单原理的应用也十分灵活，它涵
盖了近代数学和现代数学的很多方法
、技巧，并且它的解题方法奇
巧多变，难以把握。这就要求学生不但要会运用一般的常规
方法，
还要学会运用一些非常规、创造性的方法。恰当有效的方法常常能
使百思不得其解的问题迎刃而解，而领会、掌握和运用各种方法，
比掌握这些问
题的解答本身更重要。
同余是初等数论中较为重要的内容，使
用同余关系讨论问题可以
把讨论无限多个数的问题转化为仅仅讨论有限个数的问题。本文
利
用同余讨论并证明了平方数的几个重要的特征，掌握这些特征可以
较容易地判断出一个数是否是平方数。
结论
1
：任意平方数除以
8
的余
数为
0
，
1
或
4
。
证明：将整数分为奇数和偶数进行讨论。
（
1
）若
n=2k+1
，
k
∈
z
，则
n2=
（
2k+1
）
2=4k2+4k+1=4k
（
k+1
）
+1
≡
1
（
mod
8
）
；
（<
/p>
2
）若
n=2k
，
k
∈
z
，则
n2=
（
2k
）
2=4k2
，
①当
k=2t
，
t
∈
z
时，
n2=4k2=4<
/p>
（
2t
）
2=1
6t2
≡
0
（
mod 8
）
；
②当
k=2t+1
，
t
∈
z
时，
n2=4k2=
4
（
2t+1
）
2=16
（
t2+t
）
+4
≡
4
（
mod