由递推公式求通项的种方法经典总结
爱你在心口难开伴奏-
精析由递推公式求通项的
9
种方法
1
．
a
n
< br>＋
1
＝
a
n
＋
f
(
n
)
型
把原递推公式转化为
a
n
< br>＋
1
－
a
n
＝
f
(
n
)
，再利用累加法
< br>(
逐差相加法
)
求解，即
a
n
＝
a
1
＋
(
a
2
－
a
1
)
＋
(
a
3
－
a
2
)<
/p>
＋…＋
(
a
n<
/p>
－
a
n
－
1
)
＝
a
1
＋
f
(1)
＋
f
(2)
＋
f
(3)
＋…＋
f
(
n
－
1
)
．
1
1
[
例
1]
已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
＝
，
a
n
＋
1
＝
a
n
＋
2
，求
a
n
.
2
n
＋
n
[
解
]
由条件，知
a<
/p>
n
＋
1
－
a
n
＝
1
2
1
2
1
1
1
1
＝
＝
－
，则
(
a
2
－
a
1
)
＋
(
a
3
－
a
2
)
＋
< br>(
a
4
－
n
2
＋
n
n
?
n
＋
1?<
/p>
n
n
＋
1
1
3
1
3
1
4
1
1
－
，
<
/p>
n
－
1
n
a
3
)
＋…＋
(
a
n
－
a
n
－
1
)
＝
1
－
＋
－
＋
<
/p>
－
＋…＋
<
/p>
1
所以
a
n
－
a
1
＝
1
－
.
n
1
1
1
< br>3
1
因为
a
1
＝
，所以
a
n
＝
＋
1
－
＝
－
.
<
/p>
2
2
n
2
n
2
．
a
n
＋
1
＝
f
(
n
)
a
n
型
把原递推公式转化为
a
n
＋
1
a
2
a
3
＝
f
(
n
)
，
再利用累乘法
(
逐商相乘法
)
求解，
即由
＝
f
(1)<
/p>
，
＝
a
n
a
1
a
2
f
(2)
，…，
a
n
a
n
＝
f
(
n
－
1)
，累乘可得
＝
f
(1)
f
(2)…
f<
/p>
(
n
－
1)
．
a
n
－
1
a
1
2
n
[
例
< br>2]
已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
＝
，
a
< br>n
＋
1
＝
·
a
，求
a
n
.
3
n<
/p>
＋
1
n
a
n
＋
1
n
[
解
]
由
a
n
＋
1
< br>＝
·
a
，得
＝
，
n
＋
1
n
a
n<
/p>
n
＋
1
n
故
a
n
＝
a
n
a
n
－
1
a
2
n
－
1
n
－
2
1
2
2<
/p>
2
·
·…·
·<
/p>
a
1
＝
×
×…×
×
＝
.
即
a
n
＝
.
a
n
－
1
a
n
－
2
a
1
n
n
－
1
2<
/p>
3
3
n
3
n
3
．
a
n
＋
1
＝
pa
n
＋
q
< br>(
其中
p
，
q
均为常数，
pq
(
p
－1)≠0)型
对于此
类问题，
通常采用换元法进行转化，
假设将递推公式改写为
a
n
＋
1
＋
t
＝
p
(
a
n
＋
< br>t
)
，
比较系数可知
t
＝
q
p
－
1
，可令
a
n
＋
1
＋
t
＝
b
n
＋
1
换元即可转化为等比数列来解决．
[
例
3]
已
知数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
1
，
a
n
＋
1
＝
2
a
n
＋
3
，求
a
n
.
[
解
]
< br>设递推公式
a
n
＋
1
＝
2
a
< br>n
＋
3
可以转化为
a
n
＋
1
< br>－
t
＝
2(
a
n
－
t
)
，即
a
n
＋
1
＝
2
a
n
－
t
，则
t
＝－
3.
故递推公式为
a
n
＋
1
＋
3
＝
2(
a
n
＋
3)
．
令
b
n
＝
a
n
＋
3
，则
b
1
＝
a
1
＋
3
＝
4
，且
b
n
＋
1
a
n
＋
1
＋
3
＝
＝
2.
b
n
a
n
＋
3
所以
{
b
< br>n
}
是以
b
1
＝
4
为首项，
< br>2
为公比的等比数列．
所以<
/p>
b
n
＝4×2
n
－
1
＝
2
n
＋
1
，即
a
n
＝
2
n
＋
1
－
3.
4
．
< br>a
n
＋
1
＝
pa
n
＋
q
n
(
其中
p
，
q
均为常数，
pq
(
p
－1)≠0)型
(1)
一般地，要先在递推公式两边同除以
q
n
＋
1
，得
a
n
＋
1
p
a
n
1
＝
·
＋
，引入辅助数列
q
n
＋
1
q
q
n
q
a
n
p
1
{
b
n
}
其中
b
n
＝
n
，得
b
n
＋
1
＝
·
b
n
＋
，再用待定系数法
解决；
q
q
q
(2)
也可以在原递推公式两边同除以
p
n
＋
1
a
n
＋
1
a
n
1
q
n
，得
n
＋
1
＝
n
＋
·
，引入辅助数列
p
p
p
p
a
n
1
q
{
b
n
}<
/p>
其中
b
n
＝
n
，得
b
n
＋
1
－
b
n
＝
n
，再利用叠加法
(
逐差相加法
)
求解
．
p
p<
/p>
p
5
1
1
[
例
4]
已知数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
，
a
n
＋
1
＝
a
n
＋
n
＋
1
，求
a
n
.
6
3
2
1
2
n
1
n
＋
< br>1
n
＋
1
n
＋
1
[
解
]
法一：在
a
n
＋
1
＝
a
n
＋
两边乘以
2
，得
2
·
a
n
＋
1
＝
(2
·
a
n
)
＋
1.
3
3
2
2
< br>令
b
n
＝
2
n
·
a
n
，则
b
n
＋<
/p>
1
＝
b
n
＋
1
，
3
2
根据待定系数法，得
b
n
＋
1
－<
/p>
3
＝
(
b
n
－
3)
．
3
5
4
所以数列
{
b
n
－
3}
是以
b
1
－
3
＝2×
－
3
＝－
为首项，
6
3
2
以
为公比的等比数列．
3
4
2
<
/p>
n
－
1
2
n
所以
b
n
－
3
＝－
·
，即
b
n
＝
< br>3
－
2
.
3
3
3
1
n
1
n
于是，
a
n
＝
n
＝
3
< br>
－
2
.
2
2
3
b
n
1
1
法二：在
a
n
＋
1
＝
a
n
＋
n
＋
1
两边乘以
3
< br>n
＋
1
，得
3
2
3
3<
/p>
n
＋
1
a
n
＋
1
＝
3
n
a
n
＋
n
＋
1
.
2
3<
/p>
n
＋
1
令
b
n
＝
3
·
a
n
，则
b
n
＋
< br>1
＝
b
n
＋
.
2
n
3
3
所以
b
n
－
b
n
－
1
＝
n
，
b
n
－
1
－
b<
/p>
n
－
2
＝
n
－
1
，…，
2
2
b
2
－
b
1
＝
2
.
<
/p>
3
2
将以上各式叠加，
3
3
3
得
b
n
－
b
1
＝
2
＋…＋
n
－
1
< br>＋
n
.
2
2
2
5
5
3
又
b
1
＝
3
a
1
< br>＝3×
＝
＝
1
< br>＋
，
6
2
2
3
3
2
3
n
－
1
3
n
所以
b
n
＝
1
＋
＋
＋…＋
＋
2
2
<
/p>
2
2
3
n
＋
1
1·
1
< br>－
3
n
＋
1
2
＝
＝
2
－
2
，
3
< br>
2
1
－
2
3
即
b
n
＝
2
n
＋
1
－
2.
2
1
n
1
n
故
a
n<
/p>
＝
n
＝
3
－
2
.
2
3
3
5
．
a
n
＋
1
＝
pa
n
＋
an
＋<
/p>
b
(
p
≠1，<
/p>
p
≠0，
a
≠0
)型
b
n
这
种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令
a
n
＋
1
＋
x
(
n
＋
1)
< br>＋
y
＝
p
(
a
n
＋
x
n
＋
y
)
，<
/p>