10.二元递推
风景图片大图-
第九讲
:
二
元递推
33
第九讲
:
二元递推
二元递推数列的递推基本形式
:
数列
{a
n
}
和
{b
n
}
满足
:a
1
=a,b
1
=b,
且
的消元思
想和换元思想来解决
,
a
n
1
f
(
a
n
< br>,
b
n
)
.
对此类问题
,
可借助于解方程组<
/p>
b
n
1
g
(
a
n
,
b
n
)
1.
消元方法
例
1:
(2008
年辽宁高考试题
)
在数列
{a
n
},{b
n
}
中
,a
1
=2,b
1
< br>=4,
且
a
n
< br>,b
n
,a
n+1
成等差数列
,b
n
,a
n+1
,b
n+1
成等比数列
(n
∈
N*).
(
Ⅰ
)
求
a
2
,a
3
,a
4
及
b
< br>2
,b
3
,b
< br>4
,
由此猜测
:{a
n
},{b
n
}
的通项公式
,
并证明你的结论
< br>;
(
Ⅱ
)
证明
:
1
1
1
5
.
a
1
b
1
a
2
b
2
a
n
b
n
12
解析
:
(
Ⅰ
)
由题知
=2b
n
a
n
a
n
1
2<
/p>
b
n
a
a
2
b
1
a
2
6
1
2
2
,
易知
a
n
>
0,b
n
>0,
且
a
n+1
=
b
n
b
n
1
2<
/p>
a
b
b
a
b
b
b
9
1
2
2
2
n
1
n
n
1<
/p>
2
b
n
1
b
n
+
b
n
b
n
1
b
n
1
+
b
n
1
=2
b
n
,
所以数
列
{
b
n
}<
/p>
是等差数列
b
n
=n+1
b
n
=(n+1)
a
n
=n(n+1);
(II)
因
a
n
+b
n
=(n+1)(2n+1)>2n(n+1)
1
1
1
1
< br>1
1
1
1
1
1
1
5
(
)
<
+
(
-
)<
.
a
n
b
< br>n
2
n
n
1
a
1
b
1
a
2
b
2
a
n
b
n
6
2
2
n
< br>
1
12
[
思想方法
]:
二元递推数列
{a<
/p>
n
}
和
{b
n
}
满足
:a
1
=a,b
1
=b
,
且
组
<
/p>
a
n
1
f
(
a
n
,
b
n
)
的一种基本解法是
:
消元法
.
即在递推关系式
< br>
b
n
1
g
(
a
n
,
b
n
)
a
n
1
f
(
a
n
,
< br>b
n
)
中
,
由其中一式解出
a
n
,
或
b
n
< br>,
代入另一式得关于数列
{a
n
},
或数列
{b
n
}
的递推关系式
,
由此求通项解决
b
g
(
a
,
b
)
n
1
n
n
问题
< br>.
类题
:
1.
各项均为正数的数列
{a
n
}
、
{b
n
}
,a
1
=1,b
1
=2,
且对一切
n∈N
都有
lgb
n
,lga
n
+1
,lgb
n+1
成等差数列
,
5
a
n
,
3
b
n
,
5
a
n
1
成等比数列
.
(
Ⅰ
)
求证
:{
b
n
}
< br>成等差数列
;
(
Ⅱ
)
求
b
n
和
a
n
.
< br>2.(2007
年复旦大学自主招生试题
)
己知数列
{a
n
}
、
{b
n
}
满足
:a
1
=2,b
1
=4,
且
(
Ⅰ
)
求
a
n
,b
n
;
(
Ⅱ
)
求
lim
n
< br>a
n
1
a
n
2
b
n
. <
/p>
b
n
1
6
a
n
6
b
n
a
n
.
b
n
2.
换元方法
例
3
1
a
a
b
<
/p>
1
n
4
n
1
4
n
1
2:
(2007
年辽宁高考试题
)
己知数列
{a
n
< br>}
、
{b
n
}
满足
:a
1
=2,b
1
=1,
且
(n
≥
2).
1
3
b
n
a
n
< br>
1
b
n
1
1
4
4
(
Ⅰ
)
令
c
n
=a
n
+b
n
,
求数列
{c
n
}
的通项公式<
/p>
;
(
Ⅱ
)
求数列
{a
n
}<
/p>
的通项公式及前
n
项和公式
S
n
.
解析
:
(
Ⅰ
)
< br>把己知条件中的两式相加得
a
n
+b
n
=a
n-1
+b
n-1
+2
c
n
=c
n-1
+2
c
n
=2n+1;
(
Ⅱ
)
把己知条件中的两式相减得
a
n
-b
n
=
(a
n-1
-b
n-1
)
a
n
-b
n
=(
)
,
又由
(I)
知
a
n
+b
n
=2n+1<
/p>
a
n
=(
)
+n+
(
1
n
1
1
1
2
1
n
)
+
n(n+1)+
n=<
/p>
n
+n+1-(
)
.
2
2
2
2
2
1
2
1
2
n-1
1
2
n
1
S
n
=1-
2
34
第九讲
:
二元递推
[
思想方法
]:
二元递推数列
{a
n
}
和
{b
n
}
满足
:a
1
=a,b
1
=b,
且
< br>
组
a
n
1
f
(
a
n
,
b
n
)
的一种基本解法是
:
换元法
.
即在递推关系式
b
n
1
g
(
a
n
,
b
n
)
a
n
<
/p>
1
f
(
a
n
,
b
n
)
中
,
首先令
x
n
=F(a
n
,b
n
),
通过己知的递推关系式组
,
去建立
x
n+1
与
x
n
的递推关系式
,
求数列<
/p>
{x
n
}
的通项
;
b
n
1
g
(
a
n
,
b
n
)
再令
y
n
=G(a
n
,b
n
),
通过己知的递推
关系式组
,
去建立
y
< br>n+1
与
y
n
< br>的递推关系式
,
求数列
{y
n
}
的通项
.
由此解决问题
.
类题
:
1.
己知数列
{a
n
}
、
{b
n
}
满足
:a
1
=
n
5
3
,b
1
=
,<
/p>
且
a
n
1
b
n
1
n
2
(
a
n
b
n
)
.
4
4
a
n
1
b
n
1
2
(
a
n
< br>
b
n
)
(
Ⅰ
)
求数列
{a
n
}
和
{b
n
}
的通项公式
< br>;
(
Ⅱ
)
求数列
{a
n
}
< br>的前
n
项和
S
< br>n
.
2.
己知数列
{a
n
}
、
{b
n
}
满足
:a
1
=1,b
1
=2,
且
(
Ⅰ
)
求数列
{a
n
}
和
{b
n
}
的通项公式
; <
/p>
(
Ⅱ
)
求数列<
/p>
{a
n
b
n
}
的前
n
项和
S
n
.
a
n
1
b
n
1
a
n
2
< br>b
n
1
.
a
n
1
b
n
1
a
n
2
b
n
1
< br> 3.
奇偶递推
例
3:
(2004
年全国
I
高考试题
)
己知数列
{a
n
}
中
,a
1
=1,
且
a
2k
=a
2k-1
+(-1)
k
,a
2
k+1
=a
2k
+3
< br>k
,
其中
k=1,2,3,
…
.
(
Ⅰ
)
求
a
3
,a
5
;
(
Ⅱ
)
求
{a
n
}
的通项公式
.
解析
:
(
Ⅰ
)
因
a
2k+1
=a
2k
+3
k
=a
2k-1
+(-1)
< br>k
+3
k
,
所以
a
2n-1
=a
1
+(a
3
-a
1
)+(a
5
-a
3
)+
…
+(a
2n-1
-a
2n-3
)=1+[(-1)+3]+[(-1)
2
+3
2
]+
…
+[(-
1)
+3
]=
1<
/p>
[
3
2
n
1
2
n-1
n-1
(
1
)[
1
(
1
)
n
1
]
1
< br>
3
n
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
=
[3
-(-1)
]-1
a
2n
=
[3
-(-1)
]-1+(-1)
=
[3
+(-1)
]-1,
所以
,
当
n
为奇数时
,a
n
=
1
(
1
)
< br>1
3
2
2
2
n
1
2
(
1
)
]-1;
当<
/p>
n
为偶数时
,a
n
=
1
[
3<
/p>
2
(
1
)
2
]-1. <
/p>
2
a
2
n
2
f
(
a
2
n
,
a
2
n
1
)
,
解决该类数列的关键是由中
a
g
(
a
,
a
)
2
n
3
2
n
< br>2
n
1
n
n
[
思
想方法
]:
奇偶递推型问题
,
即己知数列
{a
n
}<
/p>
满足
:a
1
=a
,a
2
=b,
且
a
2
n
2
f
(
a
2
n
,
a
2
n
1
)
消去
a
2n+1
(
或
a
2n
),
建立
a
2n+2
与
a
2n
(
或
a
2n+1
与
a
2n-1<
/p>
)
的递推关系
,
即通过研究数列
{a
n
)
的偶
(
或奇
)
子列
a
2
n
3
g
(
a
2
n
,
a
2<
/p>
n
1
)
{a
2n
}(
或
{a
2n-1
},
去解决原数列问题
.
类题
:
1.(2010
年天津高考试题
)
在数列
{a
n
}
中
,a
1
=0,
且对任意
k
∈
N*,
a
2k-1
,a
2k
< br>,a
2k+1
成等差数列
,
其公差为
d
k
.
(
Ⅰ
)
若
d
k
=2k,
证明
a
2k
,a
2
k+1
,a
2k+2
成等比数列
(k
∈
N*);
(
Ⅱ
)
若对任意
k
∈
N*,a
2k
,a
2k+1
,a
2k+2
成等比数列
,
其公比为
q
k
,
设
q
1
≠
1,
证明
{
1
}
是等差
数列
.
q
k
1
2.(2004
年全国高中数学福
建初赛联赛试题
)
无穷数列
{x
n
}
中
(n
≥
1),
对每个奇数
n
,x
n
,x
n+1
,x
n+2
成等比数列
,
而对每个偶
数
n,x
n
,x
n+1
,x
n+2
成等差数列
.
已知
x
1
=a(a>0),x
2
=b.
(
Ⅰ
)
求数列
{x
n
}
的通项公式
;
(
Ⅱ
)
求
x
< br>2
,x
4
,
…
,x
2n
的调和平均值
,
即
n
1
x
k
< br>1
2
k
n
的值
.
4.a
n
与
S
n
递推