由递推公式求通项公式的三种方法
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2021年02月07日 00:08
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冠军歌王-
由递推公式求通项公式的三种方法
递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，
它们都可以确定数列中的任
意一项，
只是
由递推公式确定数列中的项时，
< br>不如通项公式直接，
下面介绍由递推公式求通项公式的几种
方法．
1
．累加法
[
典例
1]
数列
{
a
n
}
的首项为
3
，
{
b
n
}
为等
差数列且
b
n
＝
a
n
＋
1
－
a
n
(
n
∈
N
)
．若
b
3
＝－
2
，
b
10
＝
12
，则
a
8
＝
(
)
A
．
0
B
．
3
C
．
8
D
．
11
*
[
解析
]
由已知得
b
n
＝
2
n
－
8<
/p>
，
a
n
＋
1
－
a
n
＝
2
n
－
8
，所以
a
2
－
a
1
＝－
< br>6
，
a
3
－
a
2
＝－
4
，„，
a
8
－
a
7
＝
6<
/p>
，由累加法得
a
8
－
a
1
＝－
6
＋
(
－
4)
＋
(
－
2)<
/p>
＋
0
＋
2
＋
4
＋
6
＝
0
，所以
a
8
＝
a
1
＝
3.
[
答案
]
B
[
题后悟道
]
对形如
a
n
＋
1
＝
a
n
＋
f
(
n
)(
f
(
n
)
是可以求和的
)
的递推公式求通项公式时，常用累加法，巧
妙求出
< br>a
n
－
a
1
与
n
的关系式．
< br>
2
．累乘法
[
典例
2]
已知数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
1
，前
n<
/p>
项和
S
n
＝
(1)
求
a
2
，
a
3
；
(2)
求
{
a
n
}
的通项公式．<
/p>
4
[
解
] <
/p>
(1)
由
S
2<
/p>
＝
a
2
得
3(
a
1
＋
a
2
)
＝
4
a
2
，
< br>
3
解得
a
2
＝
3
a
1
＝
3.
5
由
S
3
＝
a<
/p>
3
得
3(
a
1
＋
a
2
＋
a
3
)
＝
5
a
3
< br>，
3
3
解得
a
3
＝
(
a
1
＋
a<
/p>
2
)
＝
6. <
/p>
2
(2)
由题设知
a
1
＝
1.
当
n
>1
时，有
a
n
＝
S
n
－
S
n
－<
/p>
1
＝
n
＋
2
a
n
.
3
n
＋
2
n
＋
1
a
< br>n
－
a
n
－
1
，
3
3