解题思路点滴归纳与递推
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解题思路点滴
－－－
归纳与递推
归纳与递推是数学竞赛中考查的重要方法。
其中归纳
有完全归纳法
（如枚举法）
和不完
全归
纳法；递推法有正向递推法，也有逆向递推法。
例
1
在下面各列数中的横线上填上适当的数。
（
1
）
1
2
3
4
6
2<
/p>
5
3
3
，
，
，
，
，
；
（
2
）
，
1
，
，
，
，
；
2
3
4
5
7
3
6
4
2
（
3
）
< br>1
，
2
，
4
，
8
，
，
32
；
（<
/p>
4
）
1
，
10
，
19
，
28
，
，
46
；
<
/p>
（
5
）
1
，
3
，
7
，
13
，
，
31
；
（<
/p>
6
）
1
，
3
，
8
，
15
，
，
35
；
<
/p>
（
7
）
1
，
3
，
4
，
7
，
，
18
。
<
/p>
【分析与解】给数列填数问题的基本解法是按数据特点归纳出数据关系形成数列通项，
或发现前后之间的递推关系，进一步按通项或由递推式填出横线上的数。
（
1
）该数列的第
n
项形如
n
5
，而横线上的是第
5
项，故应填
；
n
1
6
（
2
）按
分母特点把各项还原成分数
2
4
6
8
12
2
n
10
，
，
，
，
，
故第
n
项形如
，横线上应填
；
3
4
5
6
8
n
2
7
（
3
）把各项分解质因数得
1
，
2
，
2
，
2
，
，
2
；故第
n
项形如
2
，横线上的
4
数＝
2
＝
16
。
（
4
）易观察得：每项加上
9
便得后面一项
，故横线上的数是
29
＋
9
＝
37
。
（
5
）设横线上的数是
x<
/p>
，则将数列中各项与前项相减组成新数列得
2
，
4
，
6
，
x
－
13
，
31
－
x<
/p>
。∴
x
－
13<
/p>
＝
8
，且
31<
/p>
－
x
＝
10
；故
x
＝
21
。∴横线上应填
21
。
2
（
6
）容易看出数列的第
n
项形如
n
－
1
，横线上是第
5
项，故应填
24
。
（
7
）容易看出，每两项相加便
得后面一项，故横线上的数是
11
。
【评注】分析数据之间的关系，
归纳出数列通项，
或相邻项之间的递推关系，是解填数
问题的常用方法。其中常用的技巧有：差
分法、
分数化法、分解质因数法、设未知数法等。
例
2
数列
1
，
3
，
2
，－
1
，－
2
，
1
，…，的第
n
项
a
n
及其后
面两项
a
n
＋
1
，
a
n
＋<
/p>
2
之间满足
关系式
a
n
＋
2
＝
a
n
＋
1
－
a
n
。求这个数
列的前
2000
项之和。
（前
2000
项的和＝
333
×（
1
＋
3
＋
2
－
1
－<
/p>
3
－
2
）＋
1
＋
3
＝
4
）
例
3
求的个位数字。
（
9
）
例
4
现有
1
00
个数按递推排列，其中第一个数是
0
，第二个数是
2
，并且从第二个数起
每个数的三倍都等于其前后两个数之和，问第
100
个数被
6
除所得余数是几（
2
）
例
5
（
1
）平面上
5
条直线最多能把一个圆的内部分成几部分（
16
）
（
2
）平面上
100
条直线最多能把一个圆分成多少部分（
5051
）
例
6
平面上
100
个不同的圆最多把平面分成多少部分。
（
99092
）
例
7
王大爷卖西瓜，第一次卖了全部
的一半又半个；第二次卖了余下的一半又半个；
第三次卖了第二次余下的一半又半个；<
/p>
第四次卖了第三次余下的一半又半个。
最后还剩下一
个西瓜，问王大爷原来一共有多少个西瓜（
31
）<
/p>
例
8
如果<
/p>
xyz
＝
x
＋<
/p>
y
＋
z
，则称三
位数
xyz
为芙蓉花数，试求出大于
4
00
而小于
500
3
< br>3
3
2
3
5
n
－
1
的
所有芙蓉花数。
练习
1
．请你根据下列各个数之间的关系，在括号里填上恰当的数