小学奥数 质数与合数(一) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
中学生心理辅导个案-
5-3-1.
质数与合数（一）
知识框架
1.
掌握质数与合数的定义
2.
能够用特殊的偶质数
2
与质数
5
解题
3.
能够利用质数个位数的特点解题
4.
质数、合数综合运用
知识点拨
一、质数与合数
< br>一个数除了
1
和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质
数
(
也叫做素数
).
< br>一个数除了
1
和它本身，还有
别
的约数，这个数叫做合数。要特别记住：
0
和
< br>1
不是质数，也不是合数。常用的
100
以内的质数：
2
、
3
、
5
、
7
、
11
、
13
、
17
、
19
、
23
、
29
、
31
、
37
、
41
、
43
、
47
、
53
、
59
、
61
、
67
、
71
、
73
、
79
、
83
、
89
、
97
，共计
25
个；除了
2
其余的质数都是奇数；除了
2
和
5
，其余的质数个
位数字只能是
1
，
3
< br>，
7
或
9.
考点：
⑴
值
得注意的是很多题都会以质数
2
的特殊性为考点
.
⑵
除了
2
和
5
，其余质数个位数字只
能是
1
，
3
，
7
或
9.
这也
是很多题解题思路，需要大家注意
.
二、判断一个数是否为质数的方法
根
据定义如果能够找到一个小于
p
的质数
q
(
均为整数
)
，使得
q
能够整除
p
，那么
p
就不是质数，所以我
们只要拿所有小于
p
的质数去除
p
就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的
p
，我们可以先找一个
大于且接近
p
的平方数
K
2
，再列出所有不大于
K
的质数，用这些质数去除
p
，如没有能够除尽的那么
p
就为
质数
.
例如：
149
很接近
144
12<
/p>
12
，根据整除的性质
149
不能被
2
、
3
、
5
、
7
、
11
整除，所以
149
是质数
.
例题精讲
模块一、判断质数合数
【例
1
】
下面是主试委员会为第六届
“
华杯赛<
/p>
”
写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊
欢声响，
念一笑慰来者多；
九天九霄志凌云
，
九七共庆手相握；
聚起华夏中兴力，
同唱移山壮丽歌．
请
你将诗中
56
个字第
1
行左边第一字起逐行逐字编为
1
—
56
号，再将
号码中的质数由小到大找出来，
将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句
话．
【考点】判断质数合数
【难度】
1
星
【题型】填空
【解析】
按
要求编号排序，并画出质数号码：
美
少
年
华
朋
会
友，幼
长
相
亲
同
切
磋；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
杯
赛
联
谊
欢
声
响，念
一
笑
慰
来
者
多；
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
九
天
九
霄
志
凌
云，九
七
共
庆
手
相
握；
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
聚
起
华
夏
中
兴
力，同
唱
移
山
壮
丽
歌．
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢；一九九
七相聚中山．
【答案】少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山
【例
2
】
著名的哥德巴赫猜想是：
“
任意一个大于
4
的
偶数都可以表示为两个质数的和
”
。
如
6=3+3
，
12=5+7
，
等。那么，自然数
100
可以写成多少种两个不同质数的和的形式？请分别写出来（
100=3+97
和
100=97+3
算作同一种形式）
。
【考点】判断质数合数
【难度】
2
星
【题型】填空
【关键词】希望杯，五
年级，复赛，第
13
题，
15
分
【解析】
逐
一试验，可知：
100
3
97
11
89
17
83
29
71
41
59
47
53
为所有符合条件的情况，
所以共
6
种
。
【答案】
6
【例
3
】
在
19
、
19
7
、
2009
这三个数中，质数的个数
是（
）
.
（
A
）
0
(
B
)
1
(
C
)
2
(
D
)
3
【考点】
判断质数合数
【难度】
2
星
【题型】选择
【关键词】华杯赛初赛
第
4
题
【解析】
1
9
是常见的质数，
197
容易检验知也
是质数，本题主要是考查
2009
这个数是否是质数。实际上，
2009=7×
41
，是个合数，所以
在
19
，
197
，
2009
这三个数中有
2
个质数。正确答案为
C
。
【答案】
C
【例
4
】
大约
1
500
年前，
我国伟大的数学家祖冲之，
计算出
π
的值在
3.1415926
和
3.1415927
之间，
成为世
界上第一个把
π
的值精确到
7
位小数的人．现代人利用计算机已经将
π
的值计算到了小数点后
515
< br>亿位以上．这些数排列既无序又无规律．但是细心的同学发现：由左起的第一位
3
是质数，
31
也是
质数，但
314
不是质数，那么在
3141
，
31415
，
314159
，
3141592
，
31415926
，
31415
927
中，哪些是
质数？．
【考点】判断质数合数
【难度】
2
星
【题型】填空
【关键词】祖冲之杯
【解析】
注
意到
3141
，
31415
，
3141592
，
31
415926
，
31415927
依次
能被
3
，
5
，
2
，
2
，
31
整除，所以，质数
是
< br>314159
．
【答案】质数是
314159
【例
5
】
用
L
表示所有被
3
除余
1
的全体正整数．
如果
L
中的数
(1
不算
)
除
1
及它本身以外，
不能被
L
的任
何数整除，称此数为
“
L
—
质数
”
．问：第<
/p>
8
个
“
L
—
质数
”
是什么？<
/p>
【考点】判断质数合数
【难度】
2
星
【题型】填空
【关键词】保良局亚洲区城市小学数学邀请赛
【解析】
“
L
数
”
为
1<
/p>
，
4
，
7
，
10
，
13
，
16
，
19
，
22
，
25
，
28
，
31
，
34
，
…
．
“
L
—
质数
”
应为上列数中去掉
1
，
16
，
28
，
…
，即为
4
，
7
，
10<
/p>
，
13
，
19<
/p>
，
22
，
25<
/p>
，
31
，
34<
/p>
，
…
．所以，第
8
个
“
L
—<
/p>
质数
”
是
31<
/p>
．
【答案】
31
【例
6
】
9
个连续的自然数，每个数都大于
80
，那么其中最多有多少个质数？请列举和最小的一组
【考点】判断质数合数
【难度】
2
星
【题型】解答
【解析】
我
们知道任意连续
9
个自然数中最多有
4
个质数，本题考察对
100
以外的质数
的熟练情况，有
101
，
103
，
107
，
109<
/p>
是
4
个质数。
【答案】
101
，
103
，
107
，
109
是
4
个质数
【例
7
】
从
20
以内的质数中选出
6
个，
然后把这
6
个数分别写在正方体木块的
6
个面上，
并且使得相对两个
面的数的和都相等
.
将这样的三个木块掷在地上，向上的三个
面的三个数之和可能有多少种不同的
值？
【考点】判断质数合数
【难度】
2
星
【题型】解答
【
解
析
】
小
于
20
的质数有
2
，
3
，
5
，
7
，
11
，
13
，
17
，
19
，其中
5
19
7
17
11
13
.
每个
木块掷在地上
后向上的数可能是六个数中的任何一个，三个数的和最小是
5
5
5
15
，最大是
19
19
19
57
，
经试验，三个数的和可以是从
15
到
< br>57
的所有奇数，所有可能的不同值共有
22
个。
【答案】
22
【例
8
】
自然数
N
是一个两位数，它是一个质数，而且
N
的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数
有多少个？
【考点】判断质数合数
【难度】
2
星
【题型】解答
【关键词】全国小学奥林匹克
【解析】
这
样的自然数有
4
个：
23
，
37
，
53
，
73
．
【答案】
4
【例
9
】
小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数．同时，她感到这个号码
很容易
记住，因为它的形式为
abba
，其中
a
b
，而且
ab
和
ba
都是质数
(
a
和
< br>b
是两个数字
)
．具有这种形<
/p>
式的数共有多少个？
【考点】判断质数合数
【难度】
2
星
【题型】解答
【解析】
若
两位数
ab
、
ba
均为质数，
则
a
、
b
均为奇数且不为
5
，
故有
1331
，
31
13
，
1771
，
7117
，
7337
，
3773
，
9779
，<
/p>
7997
共
8
个
数．
【答案】
8
【例
10
】
炎黄骄子
菲尔兹奖被誉为
“
数学界的诺贝尔奖
”
，
只奖励
40
岁以下的数学家．
华人数学家丘成桐、
陶哲轩分别于
1982
年、
2006
年
荣获此奖．
我们知道正整数中有无穷多个质数
(
素数
)
，
陶哲轩等证明
了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数
k
，存在无穷多组含有
k
个等间隔质数
< br>(
素数
)
的数组．例如，
k
3
时，
3
，
5
，
7
是间隔为
2
的
3
个质数；
5
，
11
，
17
是间隔为<
/p>
6
的
3
个质数：
而
，
，
是间隔为
12
的
3
个质数
(
由小到大排列，只写一组
3
个质数
即可
)
．
【考点】判断质数合数
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】南京市青少
年
“
科学小博士
”
思维训练
【解析】
最
小的质数从
2
开始，现
要求每两个质数间隔
12
，所以
2
不能在所要求的数组中．而且由于个位是
5
的质数只有一个
5
，所以个位是
3
的质数不能作为第一个质数和第二个质数，可参照下表：
【答案】
5
、
17
、
29
答案不唯一
【例
11
】
图中圆圈内依次写出了前
25
个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计
算相
邻二质数之积填在下行方格中．
甲填
“
和数
”
5
8
12
...
...
...
...
...
质数列
2
3
5
7
11
13
...
89
97
乙填
“<
/p>
积数
”
6
15<
/p>
35
...
...
...
...
...
问：甲填的数中
有多少个与乙填的数相同
?
为什么
?
【考点】判断质数合数
【难度】
3
星
【题型】解答
【关键词】华杯赛，口试
【解析】
质
数中只有一个偶数
2
，
其余的质数均为
奇数．
所以甲填的
“
和数
”
中除第一个是奇数
5
外，
其余的均
为不小于
8
< br>的偶数．乙填的
“
积数
”
中除第一个是偶数
6
外，其余所填的全是不小
于
15
的奇数．所以
甲填的数与乙填的
数都不相同．
【答案】质数中只有一个偶数
< br>2
，其余的质数均为奇数．所以甲填的
“
和数
”
中除第一个是奇数
5<
/p>
外，其余的均
为不小于
8
的偶数．乙填的
“
积数
”
中除第一个是偶数
6
外，其余所填的全是不
小于
15
的奇数．所以
甲填的数与乙填
的数都不相同．
【例
12
】
从
1
～
9
中选出
8
个数排成一个圆圈，使得相邻的两
数之和都是质数．排好后可以从任意两个数字
之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其
中可以读到的最大的数是多少？
【考点】判断质数合数
【难度】
3
星
【题型】解答
【关键词】全国小学数学奥林匹克
【解析】
由
于质数除了
2
以外都是奇数，
所以数字
在顺时针排列时应是奇偶相间排列．
切开后的数仍然具有
“
相
邻两数之和是质数
”
，并且最高位与最低位之和也是质数，考虑到
“
最大
”
的限制条件，最高位选
9
< br>，
第二位选
8
，第三位最大可以
选
7
，但
7
与
8
之和不是质数，再改选
5
，
8
与
5
之和是质数，符合要
求．第四位可选剩余的最大数字
6
，如此类推
……
十位可选
3
，个位选
2
．所以，可以
读到的最大数
是
98567432
．数
字排列如下图．
2
3
4
7
6
9
8
5
【答案】
98567432
【例
13
】
九九重阳节，一批老人决定分
乘若干辆至多可乘
32
人的大巴前去参观兵马俑．如果打算每辆
车坐
22
个人，就会有
1
个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴．那
么有多少个老人？原有多少辆大巴？
【考点】判断质数合数
【难度】
3
星
【题型】解答
【关键词】祖冲之杯
【
解
析
】
< br>仍
按每车坐
22
人计算，少开一
辆车将有
23
人无座位，这些人刚好平均分乘余下的车，
23
是质数，