(小学)与质数有关的问题
个性日志-
与质数有关的构造问题，通过分解质因数求解的整数问题．
1
、有人说：“任何
7
个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句话是错的．
【分析与解】
例如连续的
7
个整数：
842
、<
/p>
843
、
844
、
845
、
846
、
847
、
848
分别能被
2
、
3
、
4
、
5
< br>、
6
、
7
、
8
整除，电就是说它们都不是质数．
评注：
有些同学可能会说这是怎
么找出来的，
翻质数表还是„„，
我们注意到
< br>(n+1)!+2
，
(n+1)!+3
< br>，
(n+1)!+4
，„，
(n
+1)!+(n+1)
这
n
个数分别能
被
2
、
3
、<
/p>
4
、„、
(n+1)
整除，它
们是连续的
n
个合数．<
/p>
其中
n!<
/p>
表示从
1
一直乘到
n
的积，即
1×2×3ׄ×n．
2
、从小
到大写出
5
个质数，使后面的数都比前面的数大
12
．
【分析与解】
我们知道
12
是
2
、
3
的倍数，
如果开始
的质数是
2
或
3
，
那么
后一个数
即
< br>2
或
3
与
12
的和一定也是
2
或
3
的倍数，将是合数，所以从
5
开始尝试．
有
5
、
17
、
< br>29
、
41
、
< br>53
是满足条件的
5
个质数．<
/p>
3
．
9
个连续的自然
数，它们都大于
80
，那么其中质数最多有多少个
?
【分析与解】
大于
80
的自然数中只要是偶数一定不是质数，于是奇数越多越好，
9
个连续的自然数中最多只有
5
个奇数，它们的个位应该为
1
，
3<
/p>
，
5
，
7
，
9
．但是大于
80
且
个位为
5
的
数一定不是质数，所以最多只有
4
个数．
验证
101
，
102
，
103
，
104
，
105
，
106
，
107
，
108
，
109<
/p>
这
9
个连续的自然数中
< br>101
、
103
、
107
、
109
这
4
个数均是质数．
也就是大于
80
的
9
个连续自然数，其中质数最多能有
4
个．
4.
用
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
8
，
9
< br>这
9
个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只
能用一次，那么这
9
个数字最多能组成多少
个质数
?
< br>【分析与解】
要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有
< br>2
、
3
、
5
、
7
均为一位
质数，这样还剩下
1
、
4
、
6
、
8
、
9
这
5
< br>个不是质数的数字未用．
有
1
、
4
、
8
、
9
可以组成质
数
41
、
89
，而
6
可以与
7
组合成质数
67
．
所以这
9
个
数字最多组成了
2
、
3
、
5
、
41
< br>、
67
、
89
< br>这
6
个质数．
5
．
3
个质数的倒数之和是
< br>
1
1
1
【分析与解】
设这
3
< br>个质数从小到大为
a
、
b
、
c
，它们的倒数分别为
、
、
，计
a
b
c
F
算它们的和时需通分，且通分
后的分母为
a
×
b
×c，求和得到的分数为
,
如果这个分数
< br>abc
能够约分，那么得到的分数的分母为
a
、
b
、
c
或它们之间的积．
166
1
现在和为
，分母
1986=2×3×
33
1
，所以一定是
a=2
，
b=3
，
c=331<
/p>
，检验满足．
1986
所以这
3
个质数的和为
2+3+331=336
< br>．
1661
，则这
3
个质数之和为多少
?
1986
6
．
已知一个两位数除
1477
，余数是
49
．求满足这样条件的所有两位数
．
【分析与解】
有
< br>1477÷除数
=
商„„49，那么
1477-49
：除数×商，所以，除数×商
=1428=
2×2×3×7×17．
一般情况下有除数大于余数．即除数大于
49
且整除
1428
，有
84
、
51
、
68
满足．
所以满足题意的两位数有
5
1
、
68
、
8
4
．
7
．
有一种
最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是
140
．如果把所有
这样的分数从小到
大排列，那么第三个分数是多少
?
【分析与解】
有
140=2×2×5×7，因为这些分数的分子与分母的乘积均为
140
，当
分母越大时，分子越小，所以对应的分数也
越小．
有分母从大到小依次
为
140
、
70
、
35
、
28
、
20
、
14
、
10
、
7
、
5
、
4
、<
/p>
2
、
1
；
对应分子从小到大依次为
1
、
2
、
4
、
5
、
< br>7
、
10
、
14
、
20
、
28
、
35
、
70
、
140
；
< br>
1
7
2
4
5
10
14
对应分数从小到大依次为而
、
、
、
、
、
、
、„
140
70
35
28
20
14
10
其中第三个最简真分数为．
8
．
某校师生为贫困地区捐款
1995<
/p>
元．这个学校共有
35
名教师，
14
个教学班．各班学生
人数相同且多于
30
人不超过
45
人
．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款
多少元
?
【分析与解】
< br>这个学校最少有
35+14×30=455
名师生，最多
有
35+14×45=665
名师
生，
并且师生总人数能整除
1995
．
1995=
3×5×133，在
455
～
665
之
间的约数只有
5×133=665，所以师生总数为
665
人，
则平均每人捐款
1995÷665=3
元．
9
．
在做一
道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字
5
看
成
8
，由此得乘
积为
< br>1872
．那么原来的乘积是多少
?
【分析与解】
1872=2×2×
2×2×3×3×13=口口×口口，其中某个口为
8
，
一一验证只有：
1872=4
8×39，1872=78×24
满足．