高次方程及解法
几多对持续爱到几多岁-
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高次方程及解法
<
/p>
江
苏
省
通
州
高
级
中
学
徐
嘉
伟
一般地，我们把次数大于
2
的整式方程，叫做高次方程。由
两个或两个以上高
次方程组成的方程组，叫做高次方程组。对于一元五次以上的高次方程
，是不能用
简单的算术方法来求解的。对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一
些特
殊形式的方程，
采用“
1
判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程<
/p>
及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成
一次或二次方程求解。
一、
1
判根法
在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则
1
是方程的根；如果偶
次项系数之和等于奇次项系数之和，则
-
1
是方程的根。求出方程的
1
的根后，将原
高次方程用长除法或因式分解法分别除以（
x-1
）或者（
x+1
）<
/p>
,
降低方程次数后依次
求根。“
1
判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速
的重要方法，一定要熟练掌握
运用。
例
1
解方程
x
4
+2x
3
-9x
2
-2x+8=0
解：
观察方程
,
因为各项系数之和为
:1+2-9-
2+8=0(
注意
:
一定把常数项算在
偶数项
系数当中
),
根据歌诀“系和零
,+1
根”
,
即原方程中可分解出因式
(x-1),
(x
4
+2x
3
< br>-9x
2
-2x+8)
(x-1)=x
3
+3x
2
-6x-8
观察方程
x
3
+3x
2
-6x-
8=0
，偶次项系数之和为：
3-8=-5
；奇次项系数之和为：
1-6=-5
，根据歌诀“偶等奇，
根
-1
”，即方程中含有因式（
x+1
），
（
x<
/p>
3
+3x
2
-6
x-8
）
(x+1)=x
2
+2x-8
，对一元二次方程
< br>x
2
+2x-8=0
有（
x+4
）（
x-2
）
=0,
原高次方程
< br>x
4
+2x
3
< br>-9x
2
-2x+8=0
可分解
因式为：
(x-1)(x+1)(x-2)(x+4)=0,
即
:
当
(x-1)=0
< br>时
,
有
x
1
=1;
当
(x+1)
＝０时，有
x
2
=-1;<
/p>
当
(x-2)=0
时，有
x
3
=2;
当
(x+4)=0
时，有
x
4<
/p>
=-4
点拨提醒
：在运用“
1
判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项
”作为“偶次项”
系数计算。
二、常数项约数求根法
根据定理
:
“如果整系数多项式
a
< br>n
x
n
＋
a
n-1
x
n-1
< br>+
+a
1
x+a
0
可分解出因式
P
x-
Q
,
即方
程
a
n
x
n
＋
a
n-1
x
n-1
+
+a
1
x+a
0
=0
有有理数根
（Ｐ、
Q
是互质整数），那么，Ｐ一定
Q
P
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是首项系数
a
n
的约数，
Q
< br>一定是常数项
a
0
的约数”，我
们用“常数项约数”很快找到求
解方程的简捷方法。
“常数项约数求根法”分为两种类型：
第一种类型
：首项系数为
1
。对首项
（最高次数项）系数为
1
的高次方程，直接
列出常数项所有约数，代入原方程逐一验算，使方程值为零的约数，就是方程的根。
依次用原方程除以带根的因式，逐次降次，直至将高次方程降为二次或一次方程求
解。<
/p>
例
1
解方程<
/p>
x
4
+2x
3<
/p>
-4x
2
-5x-6=0
解：
第一步
：首先列出“常数项”
< br>-6
的所有约数
1
、
2
、
3
、
6
第二步
：将这些约数逐一代入原方程验算，确定原方程
中所含的“带根”因式。根
据各项系数和不为零和奇数项系数和不等于偶数项系数和，排
除
1
根，
f
(2)=16+16-16-10-6=0
f(-3)=8
1-54-36+15-6=0,
所以原方程中含有因式
（
x-2
）
（
x+3
）
第三步
：
用长除法将原方程降次。（
x
4
+2x
3
-4x
2
-
5x-6
）
(x-2)(x+3)=
x
2
+x+1
第四步
：解一元二次方程
x
2
+x+
1=0
b
b
2
4
a
c
1
1<
/p>
2
4
1
1
1
3
i
x=
=
2
< br>a
2
2
1
3
i
1
3
i
,
x
2
=
,
x
3
=2x
4
=-3
x
1
=
2
2
第二种类型
，
首项系数
不为
1
。
对首项系数不为１的高次方程
，
首先以首项系数
为“公因数”提取到小括号外，然后对小括号
内的方程的常数项列出公约数。
特别注意
此时代入方程验算的值
一定是
而不是Ｑ，因为此时原方程的因式是（Ｐ
x
－Ｑ），
其余的解法步骤同首项系数为１的解法步骤相同。
< br>
例２
解方程３
x
3
-
２
< br>x
2
＋９
x-6
＝０
解：
将原方程化为３<
/p>
（
x
3
-
x
2
＋３
x-
２）
＝０此时，
“常数项”为
-2
，
它的约数为
1
，
2
，根据“
1
判根法”排除
1
，这时，代人原方程验算的只能是
2
Q
2
Q
=
，或
=-
3
P
3
P
2
3
Q
P
2
< br>3
2
2
2
2
8
8
2
2
2
=3
0=0
f
(
)
=3
3
2
3
3
3<
/p>
3
3
27
27
3
所以原方程中有因式（
3
X
-2
）。
（
3x
3
-
２
x
2
＋９
x-6
）
(
3x-2)=x
2
+3
解方程式
x
2
+3=0x=
3
i
2
3<
/p>
i
3
i
，
x
2
=-
2
2
，
x
1
=
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3
i
3
i
2
原方程的解为
x
1
=
，
x
2
=
，
x
3
=
2
2
< br>3
三、倒数方程求根法
1
、定义：
系数成首尾等距离的对称形式的方程，叫做倒数方程。如<
/p>
ax
4
+bx
3
+cx
2
+dx+e=0,
其中，
a
e
,
b
d
或者
a=-e,b=-d
2
、性质
：倒数方程有三条重要性质：
（
1
）倒数方程没有零根；
（
2
）如果
a
是方程的根，则
也是方程的根；
（
3
）
奇数次倒数方程必有
一个根是
-1
或者
1
< br>，
分解出因式
(x+1)
或
(x-1)
后降低一
个次数后的方程仍是倒
数方程。
3
、倒数方程求解方法
：
如果
ax
4
+bx
3
+cx
2
+dx+e=0
是倒数方程，由于倒
数方程没有零根，即
x
0,
所以，
方程两边同除以
x
2
得：
a(x
2
+
1
1
1
2
+
1
=y
2
-2,
即原方程变为：
)+b(x+<
/p>
)+e=0,
令
x+
=y,x
x
x
< br>x
2
x
2
1
ay
2
+by+(e-2a)=0
,
解得
y
值，再由
x+
=y
，解得
x
的值。
x
1
a
例
1
解方程
2x
4
+3x
3
-16x
2
+3x+2=0
解：
x
2<
/p>
0
方程两边
同除以
x
2
得：
2x
2
+3x-16+
+
3
x
2
2
+
1
）
+3
< br>=0,
即
2
（
< br>x
x
2
x
2
（
x+
）
-16=0,2[
（
x+
1
1
1
）
2
-2]+3
（
x+
）
-16=0,
令
x+
=
y,
代入方程整理得：
x
x
x
5
2y
2
+3y-20=0,
解之得：
y
1
=-4,y
2
=
即
2
1
b
b
2
4
ac
4
4
2
4
1
1
4
12
2
2
x+
=-4,x
+1=-4x,x
+4x+1=0,x=
=
=
=
2
2
x
2
a
4
2
3
=-2
3
,
2
1
x
x
1
=-2+
3
,x
2
=-2-
3
又
x+
=
1
x
5
2
2x
2
+2=5x,2x<
/p>
2
-5x+2=0(2x-1)(x-2)=0
< br>
x
3
=
,x
4
=2
1
2
1
2
经检验知
< br>x
1
=-2+
3
,x
2
=-2-
3
，
x
3
=
,x
4
=2
都是原方程的根。
例
2
解方程
6x
5
-4x
4
-3x
3
+3x
2
-4x-6=0
有根
x=1,
方程两边同除以因式（
x-1
）得：<
/p>
解：观察该方程首尾等距离对应项系数互为相反数，且最高次幂项数是奇数，