自然数求和公式及其应用
广天藏品-
自然数求和公式及其应用
聪明的
高斯在九岁时就在短时间内算出了
1+2+3+-----+100
的
和，
关于此公式的几种简单代数证明有好几种，
本文将从几何的角度
对此公式给出证明，然后举例说明此公式在生活中的
广泛应用。
一：探究自然数求和公式与梯形面积之间的关系
1
n
层
●
●
●
n
●●●
n
最后一层共有
n
个
如图我们可以把左边圆圈的个数问题转化为右边梯形面
积的计算问
题。梯形的面积是
S=
n(
n+1),
所以左边圆圈的个数是
n(n+1)
，所以
1+2+3+-----+n=
n(n+1)
此即自然数求和公式。
利用梯形面积
公式，我们还可以求出不是从“
1
”开始的自然数或等
差数列的求和公式。而此时求和的重点在于确定梯形的“高”
。
例
1
、求
13+14+15+-----+887
的值。
我们可以仿照上面的图形解释把此问题转化为求一个梯形的面积。
已
知此上底是
13
，下底是
887
，难点在于确定梯形的“高”
，即从
13
到
887
中自
然数的个数。
1
2
< br>1
2
1
2
我们可以从最简单开始
起止数
1
—
2
3
—
7
17
—
35
5
19
27
—
66
------
m
—
n
50
------
n-m+1
自然数的个数
2
< br>所以这个两底是
13
和
887<
/p>
的梯形的高就是
887-13+1=875
。所以此梯
形的面积是：
1
1
（
13+887
）
×
875=393750
，所以
13+
14+15+-----+887=
（
13+887
）
2
2
×
875=393750
更一般的，
我们还可以通过这
种列表探寻规律的方法来求出等差不是
“
1
”的自然数的求和规律。
（以等差为
3
的自然数为例）
起止数
个数
1
—
4
2
1
—
10
4
2
—
17
6
------
------
m
——
n
1
（
n-m
）
+
1
3
计算
11+15+19+---
---+411
分析，我们可以把它看做一个两底边分别是
1
1
和
411
，
（等差为
4
）
，
高为
（
411-11
）
+1
的梯形的面积既是所求
11+15+19+--
----+411
的值
即
11+15+19+------+411=
1
1
（
11+411
）×
[
（
411-1
1
）
+1]=21311
2
4
1
4
二、自然数求和
公式的应用
例
1
、
50
个同窗好友见面两两握手，共握手多少次？
我们把
50
个同学编
上从
1
——
50
的号码。那么
1
号同学要与其余
49
人握手
49
次，
1
号同学完成任务后
2
号同样与余下
的
48
个同学握手
共握手
48
次
------
最后是
49
号和
50
号同学握手
1
次。
于是这
50
个同
学握手的问题就转化为了
< br>1+2+3+------+50
的自然数求和问题。
所以握手的总次数是
1+2+3+------+49=
（
1+49
）×
50
=1250
（次）
1
2