(完整版)前n个自然数的平方和及证明
高中数学常用公式-
帕斯卡与前
n
个自然数的平方和
十七世纪的法国数学家帕斯卡（
Pascal
B.
，
1623.6.19~1662.8
.19
）想出了一个新的很妙的方法能求
出前
< br>n
个自然数的平方和。这个方法是这样的：
利用和的立方公式，我们有
（
n
＋
1
）
3
＝
n
3
＋
3n
2
＋
< br>3n
＋
1
，
移项可得
（
< br>n
＋
1
）
3
－
n
3
＝
3n
2
＋<
/p>
3n
＋
1
，
此式对于任何自然数
n
< br>都成立。
依次把
n
＝
1,2
，
3
，…，
n
－
1
，
n
代入上式可得
2
3
－
1
3
＝
3
•
1
2
＋
3
•
1
＋
< br>1
，
3
3
－
2
3
＝
3
•
2
2
＋
3
•
2
＋
< br>1
，
4
3
－
3
3
＝
3
•
3
2
＋
3
•
3
＋
< br>1
，
……………………………
n
3
－（
n
－
1
）
3
＝
3
（
n
－
1
）
2
＋
3
（
n
－
1<
/p>
）＋
1
，
（
n
＋
1
）
3
－
n
3
＝
3n
2
＋
3n
＋
< br>1
，
把这
n
个等式的左边与右边对应相加，则
n
个等式的左边各项两两相消，最后只剩下（
n
＋
1
）
3
－
1
；而
n
< br>个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前
n
个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前
< br>n
个自然数的和，第三列是
n
个
1
。因而我
们得到
（
n
＋
1
）
3
－<
/p>
1
＝
3S
n
＋
3
n
(
n
1
)
＋
n
，
< br>2
现在这里
S
n
＝
1
2
＋
2
2
＋…＋
n
2
。
对这个结果进行恒等变形可得
n
3
＋
3n
2
＋
3n
＝
3S
n
＋
3
n
(
n
1
)
＋
n
，
2
2n
3
＋
6n
2
＋
6n
＝
6S
n
＋
3n
2
＋
3
n
＋
2n
移项、合并同类项可得
6S
n
＝
2n
3
＋
3n
2
＋
n
＝
n
（
< br>n
＋
1
）
（
2n
＋
1
）
，
∴
S<
/p>
n
＝
即
1
2
＋
2
2
＋
3
2
＋…＋
n
2
＝
1
n
（
n
＋
1
）
（
2n
＋
1
）
，
6
1
n
（
n
＋
1
）
（
2n
＋
1
）
。
6
这个方法把所要计算的前
n
个自然数的平方和与已知的前
n
个自然数的和及其它一些已知量
通过一个方
程联系起来，然后解方程求出所希望得到的公式，确实是很妙的。