多元函数的极值和最值
张蔷演唱会-
8.6
多元函数的极值和最值
学习一元函数的导数应用时，借助于导数解决了某些极值和最值问题
.
本节介绍如何利
用偏导数解决有关多元函数的极值和最值问题
.
本节的内容和方法和一元函数相对应，是一
元函
数极值和最值的推广
.
8.6.1
二元函数极值的概念
1.
二元函数极值定义
定义
.
设
P
0
(<
/p>
x
0
,
y
0
)
是函数
z
f
(
x
,
y
)
的定义域
D
内一点，
若存在
P<
/p>
0
的一个包含在
D
内的邻域，对于该邻域内所有异于点
P
0
的点
P
(
x
,
y
)
，都有
f
(
x
,
y
)
f
(
x
0
,
y
0
)
或
f
(
< br>x
,
y
)
f
(
x
0
,
y
0
)
,
则称
f
(
x
0
,
y
0
)
是函数
z
f
(
x
,
y
)
的
< br>极大值
(
或
极小值
)
，称
P
0
为
z
f
(
x
,
y
)
的
极大值点
(
或
极小值点
)
．极大值和极小值统称
为
极值
；极大值点和极小值点统称为
极
值点
．
例如：
f
(
x
,
y
)
x
y
4
在点
(
0
,
0
)
处取得极小值
4.
2
2
z
xy<
/p>
在
(
0
,
0
)
的任意邻域内，既能取正值，也能取负值
，所以
(
0
,
0
)
不是
z
xy
的极
值点．
如果函数
z
f
(
x
,
y
)
在
P
0<
/p>
(
x
0
,
y
0
)
处取得极值，
从极值的定义可以得到一元函数
z
1
f
(
x
,
y
0
)
在
x
x
0
处取得极值
.
根据函数极值存在的必要条件，如果函
数的导数存在，
则导数在
x
x
0
处的值一定等于零，既
dz
1
x
x
0
0
.
dx
同理，如果函数
z
f
(
x
,
y
)
在
P
0
(
x
0<
/p>
,
y
0
)
处取得极值，从极值的定义可以得到一元函
dz
2
dy
数
z
2
f
(
x<
/p>
0
,
y
)
在
y
y
0
处取得极值。根据函数极值存在的必要条件，如果函数的导数存
在，则导数在
y
y<
/p>
0
处的值一定等于零，即
因为
y
y
0
0
.
dz
1
dx
x
< br>x
0
z
x
x
x
0
y
y
0
，
dz
2
dy
y
y
0
z
y
x
< br>
x
0
y
y
0
，从而有如下定理
.
2.
极值存在的必要条件
定理
8.6.1
(
极
值必要条件
)
如果函数
z
f
(
x
< br>,
y
)
在点
P
0
(
x
0
,
y
0
)<
/p>
处两个偏导数都存在，
且函数在
P
0
处取得极值，则必有
f
x
(
x
0
,
y
0
)
0
,
使
f
y
(
x
0
,<
/p>
y
0
)
0
．
f
x
(
x
,
y
)
0,
< br>f
y
(
x
,
y
)
0
同时成立的点
P
0
(
x
0
,
y
0
)
，
称为
函数
z
f
(
x
,
y
)
的
驻点
.
注意：
驻点仅是取得极值的必
要条件，即函数在驻点不一定取得极值．例如
(
0
,
0
)
是函
数
z
xy
< br>的驻点，但并不是极值点．
3.
极值的充分条件
定理
8.6.2
(
极值存在的充分条件
)
设
P
0
(
x
0
,
y
0
)
为函数
z
f
(
x
,
y
)
的驻点，且函数在
点<
/p>
P
0
的某邻域内有二阶连续偏导数．记<
/p>
A
f
xx
(
x
0
,
y
0
)
,
B
f
xy
(
x
0
< br>,
y
0
)
,
C
f
y
y
(
x
0
,<
/p>
y
0
)
,
B
2
AC
,
则
(1)
当
0
时，
P
0
是函数
f
(
x
,
y
)
< br>的极值点；
且若
A
0
，
P
0
为极小值点，
若
A
0
，
P
0
为极大值点；
(2)
当
0
时，<
/p>
P
0
不是函数
f
(
x
,
y
)
的极值点；
(3)
当
0
时，不能判定
P
< br>0
是否是函数
f
(
x
,
y
)
< br>的极值点．
例
8.6.1
求函数
z
x
xy
y
2
x
y
的极值．
2
2
z
2
x
< br>y
2
0
x
解：
解方程组
，得驻点
(
1
,
0
)
,
z
x
2
y
1
0
zy
f
xx
(
x
,
y
)
2
,
< br>f
xy
(
x
,
y
)
1
,
f
yy
(
x
,
y
)
2
,
所以在驻点
(
1
,
0
)
处，有
A
2
,
B
1
,
C
2
，
< br>则
B
AC
3
0
，又
A
0
，由取得极值的充分条件，可知点
(
1
,
0
)
为极小值点，
极小值为
< br>f
(
1
,
0
)
1
.
例
8.6.2
求函数
z
x
y
< br>3
xy
极值．
3
3
2
z
2
3
x
3
y<
/p>
0
x
解：<
/p>
解方程组
，得驻点
(
0
,
0
),
(
1
,
1
)
,
z<
/p>
2
3
y
3
x
0
zy
f
xx
(
x
,
y
)
6
x
,
f
xy
(
x
,
y
)
3
,
f
yy
(
x
,
y
)
6
y
,
对于驻点
(
0
,
0
)
，
有
A
0
,
B
3
,
C
<
/p>
0
，
则
B
AC
9
0
，
可知驻点
(
0
,
0
)
不是极值点
.
对于驻点
(<
/p>
1
,
1
)
，有
A
6
,
B
3
,
C
< br>6
，则
B
AC
27
0
，且
A
6<
/p>
0
顾由取得
极值的充分条件，可知点
(
1
,
1
)
为极小值点，极小值为
< br>f
(
1
,
1
)
1
.
8.6.2
多元函数的最值
对于一元函数而言，
在闭区间上连续的函数必有最值
.
对于二元函数也有类似的结论
：
在有界闭区域上连续的函数必定存在最大值和最小值
.
对于二元可微函数，如果该函数的最
值在区域内部取得，这个最值点必
在函数的驻点之中；如果函数最值在区域的边界上取得，
则它一定也是函数在边界上的最
值
.
因此，求函数的最值的方法是：将函数在所讨论的区域
内的所有驻点求出来，将函数在驻点处的函数值与函数在边界上的最大值和最小值进行比
较，其中最大者就是函数在闭区域上的最大值，其中最小者就是函数在闭区域上的最小值
.
例
8.
6.3
求函数
z
f
(
x
,
y
)
x
<
/p>
y
在闭区域
D
:
x
y
4
上的最大值和最小值
.
解：
函
数在闭区域
D
上是连续的，最大值和最小值一定存在
.
2
2
2
2
2
2
< br>z
z
2
y
2
x
，
y
x