二元函数的极值与最值
solo吉他谱-
二元函数的极值与最值
二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，
现对二元函数的极值与
最值的求法总结如下：
1
．二元函数的无条件极值
(1)
二元函数的极值一定在
驻点
和
不可导点
取得
。对于不可导点，难以判断
是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。
(2)
二元函数取得极值的
< br>必要条件
：
设
z
f
(
x
,
y
)
在点
(
x
0
,
y
0
)
处可微
分且在
点
(
x
0
,
y
0
)<
/p>
处有极值，则
f
'
x
(
x
0
,
y
0
)
0
，
f
'
y
(
x
0
,
y
0
)
< br>
0
，即
(
x
0
,
y
0
)
是驻点。
(3)
二元函数取得极值的
充分条件
：
设
z
f
(
x
,
y
)
在
(
x
0
,
y
< br>0
)
的某个领域内有
连
续
上
二
阶
偏
导
数
，
< br>且
f
'
x
(
x
0
,
y
0
)
f
'
y
(
x
0
,
y
0
)
0
，
< br>令
f
'
xx
(
x
0
,
y
0
)
A<
/p>
，
f
'
xy
(
x
0
,
y
0
)
B
，
f
'
< br>yy
(
x
0
,
y
0
)
C
，则
当
B
2
AC<
/p>
0
且
A<0
时，
f
(
x
0
,
y
0
)
为极大值；
当
B
2
AC
0
且
A>0
，
f
(
x
0
,
y
0
)
为极小值；
B
AC
0
时，
(
x
0
,
y
0
)
不是极值点。
2
注意：
当
B
2
－
AC
=
0
时，函数
z = f
(
x
,
y<
/p>
)
在点
(
x
0
,
y
0
)
可能有极值，也可能没有
极值，需另行讨论<
/p>
例
1
求函数
z =
x
3
+
y
2
－
2<
/p>
xy
的极值．
【
分析
】
可能极值点是两个一阶偏导数
为零的点，
先求出一阶偏导，
再令其为零
确定极值点即可，
然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，
并求出相应的极值
.
【
解
】先求函数的一、二阶偏导数：
z
x
< br>3
x
2
y
2
，
z
y
2
y
2
x
．
z
x
2
2
< br>6
x
,
z
x
y
2
<
/p>
2
,
z
y
2
2
2
．
3
x
< br>2
2
y
0
,
再求函数的驻点．令
= 0
，
=
0
，得方程组
x
y
2
y
2<
/p>
x
0
.
z
z
（
，
）
求得驻点
(0
，
0)
、
．
3
3
2
2
利用定理
2
对驻点进行讨论：
(1)
对驻点
(0,
0)
，
由于
A
= 0,
B
=
－
2
，
C =
2
，
B
2
－
AC
0,
故
(0
, 0)
不是函数
z =
f
(
x
,
y
)
的极值点．
(2)
< br>对驻点
，由于
A
=4,
B
=
－
2
，
C
=
2,
B
2
－
AC
=
－
4
0,
且
A
0,
则
（
，
）
3
3
f
（
2
2
4
，
）
3
3
< br>27
2
2
为函数的一个极小值．
例
2
：
（
2004
数学一）设
z=z(x,y)
是由
x
2
6
< br>xy
10
y
< br>2
2
yz
z
2
18
0
确定的函
数，求
z
z
(
x
,
y
)
的极值点和极值
.
【
分析
】
<
/p>
本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。这体
现了考研的基本要求。
【
解
】
因为
x<
/p>
2
6
xy
10
y
2
2
yz
z
2
18
0
，所以
2
x
6
y
2
y
z
x
< br>
2
z
z
x
0
，
6
x
20
y
2
z
2
y
z
y
2
z
z
y
0
.
令
z
0
,
x
< br>z
0
y
得
x
3
y
0
,
3
x
< br>
10
y
z
0
,
故
x
3
y
,
z
y
.
< br>将上式代入
x
2
6
xy
10
y
2
2
< br>yz
z
2
18
0
，可得
x
9
,
x
9
,
y
3
,
或
y
3
,
z
3
.
< br>
z
3
z
x
z
x
z
y
2
2
由于
2<
/p>
2
y
2
(
z
x
)
2
z
2
z
x
2
2
0
，
2
6
2
2
y
z
x
y
< br>2
2
z
y
x
z
2
z
z
x
y
0
,
20
<
/p>
2
2
z
y
2
y
z
y
2
2
2
(
z
y
)
<
/p>
2
z
2
z
y
2
2
0
，
所以
< br>A
z
x
2
(
9
,
3
,
3
)
2
1
6
，
B
1
6
z
< br>
x
y
(
9
,
3
,
3
)
2
1
2
，
C
z
y
2
(
< br>9
,
3
,
3
)
2
5
3
，
故
AC
B
2
z(9,3)=3.
1
< br>36
0
，又
< br>A
0
，从而点
(9,3)
是
z(x,y)
的极小值点，极小值为
类似地，由
A
z
x
2
(
9
,
3
,
< br>
3
)
2
1
6
，
B
1
6
z
x
y
(
9
,
3
< br>,
3
)
2
1
2
，
C
z
y
2
(
9
,
3
,
3
< br>)
2
5
3
，
可
知
AC
B
2
值为
z(-9, -3)= -3.
1
3
6
0
，
又<
/p>
A
0
，
从而点
(-9,
-3)
是
z(x,y)
的极大值点，<
/p>
极大
【
评注
】<
/p>
本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值
点时
应注意
x,y
,z
满足原方程。
2
．二元函数的条件极值
拉格朗日数乘法：设
f
(
x
,
y
),
(
x
,
y
)
在点
(
x
0
,
y
0
)
某领域内有连续偏导数，引入辅助函数
F
(
x
,
y
,
)
f
(
x
,
y
)
(
x
,
y
)
解联立方程组
F
x
f
'
x<
/p>
(
x
,
y
)
'
x
(
x
,
y
)
0
< br>
F
f
'
y
(
x
,
y
)
y
'
(
x
,
y
)
0
y
(
x
,
y
)
0<
/p>
得
(
x
0
,
y
0
)
可能是
z
f
(
x
,
y
)
在条件
(
x
,
y
)
0
下的极值点
例
3
经过点
(
1
,
1
,
1
)
的所有平面中，哪一个平面与坐标面在第一卦限所围的立体的
体积最小．并求此最小体积
．
【
分析
】
条件极值经常考应用题。这一点大家应引起重视。
【
解
】设所求平面方程为
x
a
y
b
z
c
1
,
(
a
< br>0
,
b
0
,
c
0
)
．
因为平
面过点
(
1
,
1
,
1
)
，所
以该点坐标满足此平面方程，即有