微专题 导数与极值最值
财务出纳工作总结-
微专题
导数与函数的极值最值
内容回顾
1.
函数的极小值：
函数
y
f
< br>(
x
)
在点
x
a
的函数值
< br>f
(
a
)
比它在点
x
a
附近其他点的函数值都小，
f
(
a
)
＝
0
；而且在点
x
a
附近的左侧
f
(
x
)
0
，右侧
f
(
x
)
0
，则点
a
叫做函数
y
f
(
x<
/p>
)
的极小值点，
f
(
a
)
叫做函数
y
f
(
x
)
的极小值．
2
函数的极大值：
< br>函数
y
f
(
x
)
在点
x
b
的函数值
f
(
b
)
比它在点
x
b
附近的其他点的函数值都大，
f
(
b
)
0
；而且在
点
x
<
/p>
b
附近的左侧
f
(
x
)
<
/p>
0
，右侧
f
<
/p>
(
x
)
0
，则点
b
叫做函数
y
f
(
x
)
的极大值点，
f
(
b
)
叫做
函数
y
f
(
x
)
的极大值．极小值点、极大值点统
称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
3.
若可导函数
y
f
(
x
)
在
x
x
< br>0
处取得极值是
f
(
x
0
)
0
的必要条件。
4.
f
(
x
)
在区间
I
上无极值等价于
f
(
x<
/p>
)
在区间在上是单调函数，
进而得到
f
(
x
)
0
或
f
(
x
< br>)
0
在
I
上恒
成立
5
．函数的最值
(1)
在闭区间
[
a
,
b
]
上连续的函数
f(x)
在
[
a
,
b
]
上必有最大
值与最小值．
(2)
若函数
y
f
(
x
)
在
[
< br>a
,
b
]
上单调递增，则
f
(
a
)
为函数的最小值，
f
(<
/p>
b
)
为函数的最大值；若函数
y
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上单调递减，则
f
(
a
)
为函数的最大值，
f
(
b
)
为函数的最小值．
典型例题
题型一：已知图形判断函数极值
1<
/p>
．设函数
f
(
x
)
在
R
上可导
，其导函数为
f
′
(
< br>x
)
，且函数
y
＝
(1
－
x
< br>)
f
′
(
x
)
的图象如图所示，则下列结论中一
定成立的是
(
)
A
．函数
f
(
x
)
有极
大值
f
(2)
和极小值
f
(1)
B
．函数
f
(
x
)
有极大值
f
(
－
2)
和极小值
f
(1)
C
．函数
f
(
x
)
有极大值
f
(2)
和极小值
f
< br>(
－
2)
D
< br>．函数
f
(
x
< br>)
有极大值
f
(
－
2)
和极小值
f
(2)
解析：
选
D
由图可知，当
x
＜－
< br>2
时，
f
′
(
x
)
＞
0
；当－
2
＜
x
＜
1
时，
f
′
(
x
)
＜
0
；当
1
＜
x
＜
2
时，
f
′
(
x
)
＜
0
< br>；
当
x
＞
2
时，
f
′
(
x
)
＞
0.
由此可以得到函数
f
(
x
)
在
x
＝－
2
处取得极大值，在
x
＝
2
处取得极小值．
题型二：求函数的极值
2
．已知函数
f
(
x
)
＝
x
－
a
ln
x
(
a
∈
R)
．
(1)
当
a
＝
2
时，求曲线
y
＝
f
(
x
)
在点
A
(1
，
f
(1))
处的切线方程
；
(2)
求函数
f
(
x
)
的极值．
a
解：
由题意知函数
f
(
x
)
的定义域为
(0
，＋
∞
)
，
f
′
(
x
)
＝
1
－
.
x
1
2<
/p>
(1)
当
a
＝<
/p>
2
时，
f
(
x
)
＝
x
－
2ln
x
，
f
′
(
x
)
＝
1
－
(
x
＞
0)
< br>，因为
f
(1)
＝
1
，
f
′
< br>(1)
＝－
1
，
x
所以曲线
y
＝
f
(
x
< br>)
在点
A
(1
< br>，
f
(1))
处的切线方程为<
/p>
y
－
1
＝－
(
x
－
1)
，即
x
＋
y
－
2
＝
0.
a
x
－
a
(2)
由
f
′
(
x
)
＝
< br>1
－
＝
，
x
＞
0
知：
x
x
①当
a<
/p>
≤
0
时，
f
′
(
x
)
＞
0
，函数
f
(
x
)
为
(0
，＋
∞
)
上的增函数，函数
f
(
x<
/p>
)
无极值；
②
当
a
＞
0
时，
由
f
′
(
x<
/p>
)
＝
0
，解得<
/p>
x
＝
a
.
又当
x
∈
(0
，
a
)
时，
f
′
(
x
)
＜
0
；当
x
∈
(
a
< br>，＋
∞
)
时，
< br>f
′
(
x
)
＞
0
，
从而函数
f
(
x
)
在
x
＝<
/p>
a
处取得极小值，且极小值为
f
(
a
)
＝
a
－
a
ln
a
，无极大值．
综上，当
a
≤
0
< br>时，函数
f
(
x
)
无极值；当
a
＞
0
时，函数
f
(
x
)
在
x
＝
a
处取得极小值
a
－
a
ln
a
，无极大值．
题型三：已知函数的极值求参数的范围
3
．
(2016·
江西八校联考
)
已知函数
f
(<
/p>
x
)
＝
x
(ln
x
－
ax<
/p>
)
有两个极值点，则实数
a
的取值范围是
(
)
A
．
(<
/p>
－∞，
0)
B.<
/p>
(
0
,
)
C
．
(0,1)
D
．
(0
，＋∞
)
1
2
解
1
由题知，
x
＞
0<
/p>
，
f
′(
x
)
＝
ln
x
＋
1
－
2
ax
，由于函数
f
(<
/p>
x
)
有两个极值点，则
< br>f
′(
x
)
＝
0
有两个不等
的正根，
即函数
y
＝
ln
x
＋
1
与
y
＝
2
ax
的图象有两个不同的交点
(
x
＞
0)
，
则
a
＞
0
；
设
函数
y
＝
ln
1
1
1
＋
l
n
x
0
x
＋
1
上任一点
(
x
0,
1
＋
l
n
x
0
)
处
的切线为
l
，则
k
t
＝
y
′
＝
x
，当
l
过
坐标原点时，
x
＝
x
< br>⇒
x
0
0
0
0
1
1
＝
1
，令
2
a<
/p>
＝
1
⇒
a
＝
，结合图象知
0
＜
a
＜
，故选
B
.
2
2
优解：∵
f
(
x
)
＝
x
(ln
x
－
ax
)
，∴
f
′
(
x
)
＝
ln
x
－
2
ax
＋
1<
/p>
，故
f
′
(
x
)
在
(0
，＋
∞
)
上有两个不
同的零点，令
f
′
(
< br>x
)
ln
x
＋
1
ln
x
＋
1
－
ln
x
＝
0
，则
2
a
＝
，设
g
(
x
)
＝
，则
g
′
(
x
)
＝
2
，∴
g
< br>(
x
)
在
(0,1)
上单调递增，在
(1
，＋
∞
)
上单调
x
x
x
递减，又∵当
x
→
0
时，
g
(
x
)
→
－
∞
，当
x<
/p>
→
＋
∞
时，
g
(
x
)
→
0
，而
g
(
x
)
max
＝
g
(1)
＝
1
，∴只需
0
＜
2
a
＜
1
⇒
0
＜
a
< br>1
＜
.
故选
B.
2
题型四
求函数的最值
4.(2018·
大连高三试题
)
已知函数
< br>f
(
x
)
＝
x
－
e
a
x
(
a
＞
0)
．
(1)
求
函数
f
(
x
)
的单调区间；
(2)
求函数
f
(
x
)
在
[
,
]
上的最大值．
1
1
解：
(1)
f
(
x
)
＝
x
－
e
ax
< br>(
a
＞
0)
，则
f
′
(
x
)
＝
1
－
a
e
ax
，令
f
′
(
x
)
＝
1
－
a
e
ax
＝
0
，则
x
＝
ln
.
a
a
当
x
变化时，
f
′
(
x
)
，
f
(
x
)
的变化情况如下表：
x
f
′
(
x
)
1
2
a
a
1
< br>1
(
,
ln
)
a
a
＋
2
1
1
ln
a
a
0
1
1
(
ln
，
)
a
a
－
f
(
x
)
故函数
f
(
x
)
的增区间为
(
,
极大值
1
1
1
1
ln<
/p>
)
；减区间为
(
ln
，
)
.
a
a
a<
/p>
a
2
2
1
1
2
1
(2)
当
ln
≥
，即
0
＜
a
≤
2
时，
f
(
x
)
max
＝
f
(
)
＝
－
e
2
；
a
a
a
e
a
a
1
1<
/p>
1
1
1
2
1
1
1
1
1
当
＜
ln
＜
，即
2
＜
a
＜
时，
f
< br>(
x
)
max
< br>＝
f
(
ln
)
＝
ln
－
；
a
a
a
a
e
e
a
a
a
a
a
1
1
1
1
1
1
当
< br>ln
≤
，即
a
< br>≥
时，
f
(
x
)
max
＝
f
(
)
＝
－
e.
a
a
a
e
a
a
题
型五
已知最值求参数的范围
5.
（
2011
湖南）设直线
x
t
与
函数
f
(
x
)
x
，
g
(
x
)
ln
x
的图像分别交
于点
M
,
N
，
则当
MN
达到
最小时
< br>t
的值为
A
．
1
2
2
B
．
5
2
1
C
．
D
．
2
2
2
2
解
由题
|
MN
|
x
ln
x
，
(
x
0)
不妨令
h
(
x
)
< br>
x
ln
x
，
则
h
'(
x
)
2
x
2
2
1
)
时，
h
'(
x
)
0
，
，令
h
'(
x
)
0
解得
x
，因
x
< br>
(0,
2
2
< br>x
当
x
(
2
2
2
,
)
时，
h
'(
x
)
<
/p>
0
，所以当
x
时，
|
MN
|
达到最小．即
t
．
2
2
2
方法归纳
函数的最值
(2)
< br>若函数
f
(
x
< br>)
在
[
a
，
b
]
上单调递增，则
f
(
a
)
< br>为函数的最小值，
f
(
b
)
为函数的最大值；若函数
f
(
x
)
在
[
a
，
b
]
上单
调递减，则
f
< br>(
a
)
为函数的最大值，
f
(
b
)
为函数的最小值．
(3)
求函数
y
＝
f
(
x
)
在
[
a
，
b
]
上的最大值与最小值的步骤为
①求函数<
/p>
y
＝
f
(
x
)
在
(
a
，
b
)
内的极值；
②将函数
y
＝
f
(
x
)
的各极值与端点处的
f
(
a
)
、
f
(
b
)
比较，
其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得
出函数
f<
/p>
(
x
)
在
[
a
，
b
]
上的最值．
1.
求函数
f
(
x
)
在
[
a
，
b
]
上的最大值和最
小值
3
步骤
(1)
求函数在
(
a
< br>，
b
)
内的极值；
(2)
求函数在区间端点的函数值
f
(
a
)
，
f
(
b
)
；
(3)
将函数
f
(
x
)
的极值与
f
(
a
)
，
f
(
b
)
比较，其中最大的一个为最大值，
最小的一个为最小值．
2.
求函数在
无穷区间
(
或开区间
)
上的最值的方法
求函数在无穷区间
< br>(
或开区间
)
上的最值，不仅要
研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极
值情况，画出函数的大致图象，
然后借助图象观察得到函数的最值．
3
高考链接：
1.
（
2017
新课标Ⅱ）若
x
2
是函数
f
(
x
)
(
x
ax
1)
e
2
x
1
的极值点，则
f
(
x
)
< br>(
x
2
ax
1)
e
x
1
的极小值为
< br>
A
．
1
B
．
2
e
C
．
5
e
D
．
1
2<
/p>
x
1
解∵
f
(
x
)
[
x
(
a
< br>2)
x
a
1]
e
，∵
f
(
2)
0
，∴
a
1
，<
/p>
3
3
所以
f
(
x
)
(
x
x
< br>1)
e
2
x
1
，
f
(
x
)
<
/p>
(
x
x
2)
e
2
x
1
，
令
f
< br>(
x
)
0
，
解得
x
2
或
x<
/p>
1
，
所以当<
/p>
x
(
,
2)
，
f
(
x
)
0
，
f
(
x
)
单调递增；
当
x
(
2,1)
时，
f
(
x
)
0
，
f
(
x
)
单调递减；当
x
(1,
)
，
f
(
x
)
0
，
f
(
x
)
单调递增，所以
f
(
x
)
的极小值
为
f
(1)
(1
1
1)
e
1
< br>
1
1
，选
A
．
2.
（
2014
新课标Ⅱ）设函数
f
x
3
sin
x
．若存在
f
x
的极值点
x
0
满足
m
2
x
0
2
< br>f
x
0
m
，则
m
的取值范围是
< br>
2
A
．
,
6
6,
B
．
,
4
4,
C
．
,
< br>2
2,
D
．
,
1
1
,
【解析】由正弦型函数的图象可知：
f
x
的极值点
x
0
满足
f
(
x
0
)
3
，
1
2
k
(
k
Z<
/p>
)
，从而得
x
0
(
k
)
m
(
k
Z
)
．所以不等式<
/p>
m
2
2
1
1
2
x
0
[
f
x
0
]
2
m
2
，即为
(
k
)
2
m
2<
/p>
3
m
2
，变形得
m
2
[1
(
k
)]
3
，
2
2
1
2
其中
k
Z
．由题意，存在整数
k<
/p>
使得不等式
m
[1
(
k
)
]
3
成立．
2
1
2
当
k
1
且
k
0
时，必有
(
k
)
1
，此时不等式显然
不能成立，
2
3
2
故
k
1
或
k
<
/p>
0
，此时，不等式即为
m
3
，解得
m
2
或
m
2
4
则
x
0<
/p>
3.
（
2013
福建）设函数
f
< br>(
x
)
的定义域为
R
，
x
0
< br>(
x
0
0)
是
f
(
x
)
的极大值点，以下结论一定正确的是
A
．
x
R
,
f
(
x
)
f
(
x
0
)
B
．
x
0
是
f
(
x
)
的极小值点
C
．
x
0
是
f
(
< br>x
)
的极小值点
D
．
x
0
是
f
(
x
)
的极小值点
4
解
<
/p>
x
R
,
f
(
x
)
f
(
x
0
)
，错误．
x
0
(
x
0
< br>
0)
是
f
(
x
)
的极大值点，并不是最大值
点；
B
．
x
0
是
f
(
x
)
的
极小值点．错误．
f
(
x
)
相当于
f
(
x
)
关于
y
轴的对称图像，故
x
0
应是
f
< br>(
x
)
的极大值点；
C
．
x
0
是
f
(
x
)
的极小值点．错误．
f
(
x
)
相当于
f
(
x
)
关于
x
轴的对称图像，故
x
0<
/p>
应是
f
(
x
)
的极小值
点．
跟
x
0
没有
关系；
D
．
x
0
是
f<
/p>
(
x
)
的极小值点．正确．
f
(
x
)
相当于
f
(
x
)
先关于
y
轴的对
称，再关于
x
轴的对称图像．故
D
正确．
4.(2015·
陕西
)
对二次函数
f
(
x
)
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
为非零整数
)
，四位同学分别给出下列结论，其中有
且只有一
个结论是错误的，则错误的结论是
(
< br>
)
A.
< br>－
1
是
f
(
x
)
的零点
B.1
是
f
(
x
)
的极值点
C.3
是
f
(
x
)
的极值
D.
点<
/p>
(2
，
8)
在曲
线
y
＝
f
(<
/p>
x
)
上
答案：
A
A
正确等价于
a
－
b
＋
c
＝
0
，
①
B
正确等价于
b
＝－
2
a
，
②
4
ac
－
b<
/p>
2
C
正确等价于
＝
3
，
③
D
正确等价于
4
a
＋
2
b
＋
c
＝
8.
④<
/p>
4
a
下面分情
况验证，
a
＝
5
，
若
A
错，由
②
、
③
、
④
组成的
方程组的解为
b
＝－
10
，
符合题意；
c
＝
8.
若
B
错，由
①
、
③
、
④
组成的方程组消元转化为关于
a
的方程后无实数解；
若
C
错，由
①
、
②
、
④
组成方程组，经验证
a
无整数解；
3
若
D
错，由
①
、
②
、
③
组成的方程组
a
的解为－
也不是整
数
.
综上，故选
A.]
4
5.(2014·
新课标全国
Ⅱ
)
函数
f
(
x
)
在
x
＝
x
0
处导数
存在
.
若
p
：
f
′
(
x
0
)
＝
0
；
q
：
x
＝
x
0
是
< br>f
(
x
)
的极值点，则
(
)
A.
p
是
q
的充分必要条件
< br>B.
p
是
q
的充分条件，但不是
q
的必要条件
C.
p
是
q<
/p>
的必要条件，但不是
q
的充分条件
D.
p
既不是
q
的充分条件，也不是
q
< br>的必要条件
答案：
C
设
f
(
x
)
＝
x
3
，
f
′
(0)
＝
0
，
但是
f
(
x
)
是单调增函数，<
/p>
在
x
＝
0
处不存在极值，
故若
p
则
q
是一个假命题，
由极值的定义可
得若
q
则
p
是
一个真命题
.
故选
C
6.(2015·
新课标全国
Ⅱ
)
已知函数
f
(
x
)
＝
ln
x
＋
a
(1
－
x
).
(1)
< br>讨论
f
(
x
)
的单调性；
(2)
当
f
(
x
)
有最大值，且最大值大于
2
a
－
2
时，求
a
的取值范围
.
1
解
(1)
f
(
x
)
的定义域为
(0
，＋
∞
)
，
f
′
(
x
)
＝
－
a
.
x
若
a
≤
0
，则
f
′
(
x
)
＞
0
< br>，所以
f
(
x
< br>)
在
(0
，＋
< br>∞
)
上单调递增
.
若
a
＞
0
，
则当
x
∈
< br>(
0
,
)
时，
f
′
(
x
)
＞
0
；<
/p>
当
x
∈
(
,
)
时，
f
′
(
x
)
＜
0.
所以
f
(
x
)
在
(
0
,
)
上单调递增，
在
(
,
)
5
1
a
1<
/p>
a
1
a
1
a
上单调递减
.
(
2)
由
(1)
知，当
< br>a
≤
0
时，
f
(
x
)
在
(0
，＋
∞
)
无最大值；
1
1
1
1
当
a
＞
0
时，
f
(
x
)
在
x
＝
取得最大值，最大值为
f
(
)
＝
ln
(
)
＋
a
(
1
)
＝－
ln
a
＋
a
－
1.
a
a
a
a
因此
f
(
)
＞
2
a
－
2
等价于
ln
a
＋
a
－
1
＜
0.
令
g
(
a
)
＝
ln
a
＋
a
－
1
，则
g
(
a
)
在
(0
< br>，＋
∞
)
上单调递增，
g
(1)
＝
0.
于是，当
0
＜
a<
/p>
＜
1
时，
g
(
a
)
＜
0
；当
a
＞
1
时，
g
(
a
)
＞
0.
因此，
a
的取值范围是
(0
，
1).
7.
（
2013
新课标Ⅱ）已知函数
f<
/p>
(
x
)
x
e
．
（
Ⅰ
）求
f
(
x
)
的极小值和极大值；
（
Ⅱ
）当曲线
y
f<
/p>
(
x
)
的切线<
/p>
l
的斜率为负数时，求
l
在
x
轴上截距的取值范围．
【解析】
（
Ⅰ
）
f
x
<
/p>
的定义域为
,
，
f
x
<
/p>
e
x
x
x
2
①
当
x
,0
或
x
2,
时，
f
x
0
；当
x
< br>
0,2
时，
f
x
0
所以
f
x
在
,0
，
2,<
/p>
单调递减，在
0,2
单调递增．
故当
x
0
时，
f
x
取得极小值，极小值为
f
0
0
；当
x
2
时，
f
x
取得极大值，极大值为
2
x
1
a
f
2
<
/p>
4
e
2
．
（
Ⅱ
）设切点为
t
,
f
t
，则
l
的方程为
y
f
t
x
t
f
< br>
t
所以
l
在
x
轴上的截距为
m
t
< br>
t
由已知和①得
t
,0
U
2,
令
h
x
x
f
<
/p>
t
t
2
t
t
2
3
f
t
t
2
t
<
/p>
2
2
x
0
，则当
x
0,
时，
h
x
的取值范围为<
/p>
[2
2,
)
；
x
当
x
,
2
时，
h
x
的取值范围是
,
3
．
所以当
t
,0
U
2,
时，
m
t
的取值范围是
,0
U
[2
2
3,
)
．
综上，
l
在
x
轴上截距的取值范围
,0
U
[2
2
3,
)
．
8.
（
2012
全国新课标）已知函
数
f
(
x
)<
/p>
满足
f
(
x
)
f
'
(
1
)
e
(1)
求
f
(
x
)
的解析式及单调区间；
6
x
<
/p>
1
f
(
0
)
x
1
2
x
2