初中数学最值问题集锦
生日感谢词-
“最值问题”
集锦
<
/p>
●
平面几何中的最值问题…………………
01
●几何的定值与最值………………………
07
●最短路线问题……………………………
14
●对称问题…………………………………
18
●巧作“对称点”妙解最值题……………
22
●数学最值题的常用解法…………………
26
●求最值问题………………………………
29
●有理数的一题多解………………………
34
●
4
道
经典题………………………………
37
●
平面几何中的最值问题
在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，
有时它和不等式联系在
一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起
来，可以达到最经济、
最节约和最高效率．下面介绍几个简例．
在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几
何量（如线段的长度、
图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
最值问题的解决方法通常有两种：
（
1
）
应用几何性质：
①
三角形的三边关系：两边之和大于
第三边，两边之差小于第三边；
②
两点间线段最短；
③
连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④
定圆中的所有弦中，直径最长。
⑵运用代数证法：
①
运用配方法求二次三项式的最值；
②
运用一元二次方程根的判别式。
<
/p>
例
1
、
A
、
B
两点在直线
l<
/p>
的同侧，在直线
L
上取一点
P
，使
PA+PB
最小。<
/p>
1 / 1
分析：在直线
L
上任取一点
P’，连结
A P’，BP’，
在△ABP’中
AP’+BP’＞
AB
，如果
AP’+BP’＝
AB,
则
P’必在线段
AB
上，而线段
AB
与直线
L
无交点，所以这种思路错误。
取点
A
关于
直线
L
的对称点
A’，则
AP’＝
AP
，
在△A’BP
中
A’P’+B’P’＞A’B
,当
P’移到
A’B
与直线
L
的交点处
P
点时
A’P’+B’P’＝A’B，所以这时
PA+PB
< br>最小。
1
已知
AB
是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，<
/p>
ABDC
是内接半圆的梯形，试问
怎样剪
这个梯形，才能使梯形
ABDC
的周长最大
(
图
3
－
91)
？
分析
本例是求半圆
< br>AB
的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为
R
．由于
AB
∥
CD
，必
有
AC=BD
．若设
CD=2y
，
AC=x
，那么只须求梯形
ABDC
的半周长
u=x+y+R
的最大值即可．
解
作
DE
⊥
AB
于
E
，则
x
2
=BD
2
=AB
·
BE
＝
2R
·
(R-y)
＝
2R
2
-2Ry
，
所以
所以
求
u
的最大值，只须求
-x
+2Rx+2R
2
最大值即可．
< br>
-x
2
+2Rx+2R
2
=3R
2
-(x-
R)
2
≤
3R
2
，
上式只有当
x=R
时取等号，这时有
2
所以
2y=R=x
．
所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点
C
，
D
，
这时，梯形的底角
恰为
60
°和
120
< br>°．
1 / 1
2 .
如图
3
－
92
是半圆与矩形结合而成的窗户
，如果窗户的周长为
8
米
(m)
，怎样才能得出
最大面积，使得窗户透光最好？
分析与解
设
x
表示半圆半径，
y
表示矩形边长
AD
，则必有
2x+2y+
π
x=
8
，
若窗
户的最大面积为
S
，则
把①代入②有
即当窗户周长一定时，窗户下部矩
形宽恰为半径时，窗户面积最大．
3.
已知
P
点是半圆上一个动点，试问
P
在什么位置时，
< br>PA+PB
最大
(
图
3
－
93)
？
分析与解
因为
P
点是半圆上的动点，当
P
< br>近于
A
或
B
时，显然
PA+PB
渐小，在极限
状况
(P
与
A
重合时
)
等于
AB
．因此，猜想
P
在半圆弧中点时，
PA+PB
取最大值．
设
P
为半圆弧中点，连
PB
，
< br>PA
，延长
AP
到
C
，使
PC=PA
，连
CB
，则
CB
是切
线．
为了证
PA+PB
最大，我们在半圆弧上另取一点
P
′，连
P
′
A
，
P
′
B
，延长
AP
′到
C
′，
使
P
′
< br>C
′
=BP
′，连
C
′
B
，
< br>CC
′，则∠
P
′
C
′
B=
∠
P
′
BC=
∠
PCB=45
°，
所以
A
，
B
，
C
′，
C
四点共圆，所
以∠
CC
′
A=
∠
CBA=90
°，
所以在△
ACC
′中，
AC
＞
AC
′，即
PA+PB
＞
P
′
A+P
′
B
．
1 / 1
4
如图
3
－
94
，在直角△
ABC
中，
AD
是斜边上的高，
M<
/p>
，
N
分别是△
A
BD
，△
ACD
的内心，直
线
MN
交
AB
，
AC
于
K
，
L
．求证：
S
△
ABC
≥
2S
△
AKL
．
证
连结
AM
，
BM<
/p>
，
DM
，
AN<
/p>
，
DN
，
CN<
/p>
．
因为在△
A
BC
中，∠
A=90
°，
AD
⊥
BC
于
D
，
所以
∠
AB
D=
∠
DAC
，∠
ADB=
∠
ADC=90
°．
因为
M
，
N
分别是△
ABD
和
△
ACD
的内心，所以
∠
1=
∠
2=45
°，∠
3=
∠
4
，
所以
△
ADN
∽
△
BDM
，
又因为∠
MDN=90
°
=
∠
ADB
，所以
△
MDN
∽
△
BDA
，
所以
∠
BAD
=
∠
MND
．
由于∠
BAD=
∠
LCD
，所以
∠
MND=
∠
LCD
，
所以
D
，
C
，
L
，
N
四点
共圆，所以
∠
ALK=
∠
NDC=45
°．
同理，∠
AKL=
< br>∠
1=45
°，所以
AK=AL
．因为
△
AKM
≌△
ADM
，
< br>
所以
AK=AD=AL
．而
而
从而
所以
S
△
A
BC
≥
S
△
A
KL
．
5.
如图
3
－
95
．已知在正三角形
ABC
内
(
包括边上
)
有两点
P
，
Q
．求证：
PQ
≤
A
B
．
证
设过
P<
/p>
，
Q
的直线与
A
B
，
AC
分别交于
P
1
，
Q
1
，连结
P
1
C
，显然，
PQ
≤
P
1
Q
1
．
因为∠
AQ
1
P
1
+
∠
P
1
Q
1
C=180
°，
所以∠
AQ
1
P
1
和∠
P
1
Q
1
C
中至少有一个直角或钝角．
若∠
AQ
1
P
1
≥
90
°，则
PQ
≤
P
1
Q
1
≤<
/p>
AP
1
≤
AB<
/p>
；
若∠
P
1
Q
1
C
≥
90
°，则
P
Q
≤
P
1
Q<
/p>
1
≤
P
1
C
．
同理，∠
AP
1
C
和∠
BP
1
C
中也至少
有一个直角或钝角，不妨设∠
BP
1
C
≥
90
°，
则
P
1
C
≤
BC=AB
．
< br>
< br>对于
P
，
Q
两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，
PQ
≤
AB
．
1 / 1
6.
设
△
ABC
是边长为
6
< br>的正三角形，过顶点
A
引直线
l
，顶点
B
，
C
到
l
的距离设为
d
1
，
d
2
，求
d
1
+d
2
的最大值
(1992
年上海初中赛题
)
．
解
如图
3<
/p>
－
96
，延长
B
A
到
B
′，使
AB
′
=AB
，连
B
′
C
，则过顶点
A
的直线
l
或者与
BC
相交，或者与
B
′<
/p>
C
相交．以下分两种情况讨论．
(1)
若
l
与
BC
相交于
D
，则<
/p>
所以
只有当
l
⊥
BC
时，取等号．
(
2)
若
l
′与
B
′
C
相交于
D
′，则
所以
上
式只有
l
′⊥
B
′
C
时，等号成立．
7.
如
图
3
－
97
．
已知直角△
AOB
中，直角顶点
O
在单位圆心上，斜边与单位圆相切，延长
AO
，
BO
分别与单位圆交于
C
，
D
．试求四边形
AB
CD
面积的最小值．
1 / 1
解
设⊙
O<
/p>
与
AB
相切于
E
，有
OE=1
，从而
< br>
即
AB<
/p>
≥
2
．
当
AO=BO
时，
AB
有最小值
2
．从而
所以，当
AO=OB
时，四边形
ABCD
面积的最小值为
< br>
1 /
1
●几何的定值与最值
几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量
保持不变，或几何元素
间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的
基本方法是：分清问题
的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探
求出定值，再给出证明．
几何中的
最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量
(
如线段长
度、角度大小、图形面积
)
等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：
1
．特殊位置与极端位置法；
2
．几何定理
(
公理
)
法；
3
．数形结合法等．
注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这
类问题具有很强的探索性
(
目标不明确
)
，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一
般相结
合、
逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．
【例题就解】
【例
1
】
<
/p>
如图，已知
AB=10
，
P
是线段
AB
上任意一点，在
AB
的同侧分别以
AP
和
PB
为边作等边△
APC<
/p>
和等边△
BPD
，则
CD
长度的最小值为
．
思路点拨
如图，作
CC
′⊥
AB
于
C
，
DD
′⊥
AB
于
D
′，
DQ
⊥
CC
′，
CD
< br>2
=DQ
2
+CQ
2
，
DQ=
AB
一常数，当
CQ
越小，
C
D
越小，
本例也可设
AP=
x
，则
PB=
10
x
，从代数角度
探求
CD
的最小值．
注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解
题突破口，特殊位置与
极端位置是指：
(1)
中点处、垂直位置关系等；
(2)
端点处、临界位置等．
【例
2
】
<
/p>
如图，圆的半径等于正三角形
ABC
的高
，此圆在沿底边
AB
滚动，切点为
T<
/p>
，
⌒
圆交
AC
、
BC
于
M<
/p>
、
N
，则对于所有可能的圆的位置而言，
MTN
为的度数（
）
A
．从
30
°到
60
< br>°变动
B
．从
60
°到
90
°变动
C
．保持
30
°不变
D
．保持
6
0
°不变
思路点拨
先考虑当圆心在正三角形
的顶点
C
时，
其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断．
注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，
动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变
化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，
1 / 1
1
2
研究的量取得定值与最值．
【例
3
】
如图，已知平行四边形
ABCD
，
AB=
a
，
BC=
b
(
a
>
b
)
，
P
为
AB
边上的一动点，
直线
DP
交
C
B
的延长线于
Q
，求
< br>AP+BQ
的最小值．
思路点拨
设
AP=
x
，把
AP
、
BQ
分别用
x
的代数式表示，运用不等式
a
2
b
2
2
ab
(
当
且仅当
a
b
时取等号
)
来求最小值．
【例
4
】
<
/p>
如图，已知等边△
ABC
内接于圆，在劣
弧
AB
上取异于
A
、
B
的点
M
，设直线
⌒
AC
与
BM
相交于
K
，直线
CB
与
AM
相交于点
N
，证明：线段
AK
和
BN
的乘积与
M
点的选择无
关．
思路点拨
即要证
< br>AK
·
BN
是一个定值，在图形
中△
ABC
的边长是一个定值，说明
AK
·
BN
与
AB
有关，从图知
AB
为
△
ABM
与△
ANB
的公共边，作一个大胆的猜想，
AK
·
BN=AB
2
，<
/p>
从而我们的证明目标更加明确．
注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为
一般的几何证明问题．
【例
5
】
已知△
XYZ
是直角边长为
1
的等腰直角三角形
(
∠
Z=90
°
)
，它的三个顶点
分别在等腰
Rt
△
ABC(
∠
C=90
°
)
的三边上，求△
ABC
直角边长的最大可能值．
思路点拨
顶点
Z
在斜边上或直角边
CA(
或
CB)
上，当顶点
Z
在斜边
AB
上时，取
xy
的
中点，
通过几何不等关系求出直角边的最大值，<
/p>
当顶点
Z
在
(A
C
或
CB)
上时，
设
CX=
x
，
CZ=
y
，
建立
< br>x
，
y
的关系式，运用代数的方
法求直角边的最大值．
注：<
/p>
数形结合法解几何最值问题，
即适当地选取变量，
建立几何元素间的函数、
方程、
不等式等关系，再运用
相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是：
(1)
利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；
(2)
构造二次函数求几何最值．
学力训练
1
．如图，正方形
ABCD
的边长为<
/p>
1
，点
P
为边<
/p>
BC
上任意一点（可与
B
点或
C
点重合）
，
分别过
B
、
C
、
D
作射线
AP
的垂线，垂足分别是
B
′、
C
′、
D
′，则
< br>BB
′
+CC
′
+DD
′的最
大值为
，最小值为
．
2<
/p>
．如图，∠
AOB=45
°，角内有一点
P
，
PO=10
，在角的两边上有两点
Q
，
R(
均不同于
点
O)
，
则△
PQR
的周长的最小值为
．
1 / 1
3
．如图，两点
A
、
B
在直线
MN
外的同侧，
A
到
MN
的距离
AC=8
，
B
到
MN
的距离<
/p>
BD=5
，
CD=4
，
P
在直线
MN
< br>上运动，则
PA
PB
的最大值等于
．
4
．如图
，
A
点是半圆上一个三等分点，
B
点是弧
AN
的中点，
P
点是直径
MN
上一动点，
⊙
O
的半径为
1
，则
AP+BP
的最小值为
< br>( )
A
．
1
B
．
2
C
．
2
D
．
3
1
2
5
．如图，圆柱的轴截
面
ABCD
是边长为
4
的正方形，动点
P
从
A
点出发，沿看圆柱的
侧面移动到
BC
的中点
S
的最短距离是
( )
A
．
2
1
2
B
．
2
1
4
2
C
．
4
1
2
D
．
2
4
2
6
．如图、已知矩形
ABCD
，
R<
/p>
，
P
户分别是
D
C
、
BC
上的点，
E
，
F
分别是
AP
、
RP
的中点，
当
P
在
BC
上从
B
向
C
< br>移动而
R
不动时，那么下列结论成立的是
( )
A
．线段
< br>EF
的长逐渐增大
B
．线段
EF
的长逐渐减小
C
．线段
EF
的长不改变
D
．线段
EF
的长不能确定
7
．如图，点
C
是
线段
AB
上的任意一点
(C
点不与
A
、
B
点重合
)
，分别以
AC<
/p>
、
BC
为边
在直
线
AB
的同侧作等边三角形
ACD
和等边三角形
BCE
，
AE
与
CD
相交于点
M
，
BD
与
CE
相
交于点
N
．
(1)
求证：
MN
∥
AB
；
(2)
若
AB
的长为
l0cm
，当点
C
在线段
AB
上移动时，是否存在这
样的一点
C
，使线段
MN
的长度最长
?
若存在，请确定
C
点的位置并求出
MN
的长；若不存
在，请说明理由．
(2002
年云南省中考题
)
8
．如图，定长的弦
ST
在一个以
AB
为直径的半
圆上滑动，
M
是
ST
< br>的中点，
P
是
S
对
AB
作垂线的垂足，求证：不管
ST
滑到什么位置，∠
SPM
是一
定角．
9
．
已知△
ABC
是⊙
O
的内接三角形，
BT
为⊙
O
的切线，
B
为切点，<
/p>
P
为直线
AB
上
一点，
1 / 1
过点
P
作
BC
的平行线交直线
BT
于点
E
，
交直线
AC
于点
F
．
(1)
当点
< br>P
在线段
AB
上时
(
如图
)
，求证：
PA
·
PB=PE
·<
/p>
PF
；
(2)
当点
P
为线段
BA
延长线上一点时，第
(1)
题的结
论还成立吗
?
如果成立，请证明，
如果
不成立，请说明理由．
10<
/p>
．如图，已知；边长为
4
的正方形截去一
角成为五边形
ABCDE
，其中
AF=
2
，
BF=l
，
在
AB
上的一点
P
< br>，使矩形
PNDM
有最大面积，则矩形
< br>PNDM
的面积最大值是
( )
A
．
8
B
．
12
C
．
25
2
D
．
14
11
．
如图，
AB
是半圆的直径，
线段
CA
上
AB
于点
A
，
线段
DB
上
AB
于点
B
，
AB=2
；
AC=1
，
BD=3
，
P
是半
圆上的一个动点，则封闭图形
ACPDB
的最大面积是
( )
A
．
< br>2
2
B
．
1
2
< br> C
．
3
2
D
．
3
2
12
．如图，在△
ABC
中，
BC=5
，
AC=12
，
AB=13
，在边
AB
、<
/p>
AC
上分别取点
D
、
E
，使线
段
DE
将△
ABC
分成面积相等的两部
分，试求这样线段的最小长度．
13
．如图，
ABCD
是一个边长为
1
的正方形，
U
、
V
分别是
AB
、
CD
上
的点，
AV
与
DU
相
交于点
P
，
BV
与
CU
相交于点
Q
．求四边形
PUQV
面积
的最大值．
14
．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部
都能喷到水．已知每个
喷水器的喷水区域是半径为
l0
米的圆，
问如何设计
(
求出两喷水器之间的距离和矩形的长、
宽
)
，才能使矩形花坛的面积最大
?
15
．某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场
(
平面
图如图所示
)
．其中，正方形
MNPQ
与四个相同矩
形
(
图中阴影部分
)
< br>的面积的和为
800
平方
米．<
/p>
(1)
设矩形的边
AB=
x
(
米
)
，
AM=
y
(
米
)
，用含
x
的代数式表示
y
为
．
(
2)
现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为
2100
元；在四个相同
的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每
平方米造价为
105
元；在四个三角形区域上铺设草
坪，平均每平方米造价为
40
元．
①设该工程的总造价为
S
(
元
)
，求
S
关于工的函数关系式．
1 / 1
②若该工程的银行贷款为
235000
元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务
?
若
能，请列出设计方案；若不能，请说明理由．<
/p>
③若该工程在银行贷款的基础上，又
增加资金
73000
元，问能否完成该工程的建设
任务
?
若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，
请说明理由．
(
镇江市中考题
)
16
．某房地产公司拥有一块“缺角
矩形”荒地
ABCDE
，边长和方向如图，欲在这块地
上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积
< br>(
精确到
2
1m
)
．
参考答案
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1 / 1
●最短路线问题
通常最短路线问题是以
“平面内连结两点的线中，
直线段最短”
为原则引
申出来的．
人
们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条
件的最近路线即最短路线问题．
在
本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所
求的最
短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面
体表面
，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短
路线是
曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究曲面仅限于可展开为
平面的
曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最
短路线
则是连结两点的直线段．
这里还想
指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的．例如，在地球（近似
看成圆球）上
A
、
B
二点之
间的最短路线如何求呢？我们用过
A
、
B
两点及地球球心
O
的平
面截地球，在地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上
A
、
B
两点之间不
超
过半个圆周的弧线就是所求的
A
、
B<
/p>
两点间的最短路线，航海上叫短程线．关于这个问
题本讲不做研究
，以后中学会详讲．
在求最短路线
时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两
点之间直线段最短
，从而找到所需的最短路线．像这样将一个问题转变为一个和它等价的
问题，再设法解决
，是数学中一种常用的重要思想方法．
例
1
如下图，
侦察员骑马从
A
地出发，
去
B
地取情报．
在去
B<
/p>
地之前需要先饮一次马，
如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选
择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来．
解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线．
作点
A
关于河岸的对称点
A
′，
即作
AA
′垂直于河岸，
与河岸交于点
C
，
且使
AC=A
′
< br>C
，连接
A
′
< br>B
交河岸于一点
P
，这时
P
点就是饮马的最好位置，连接
PA
，此时
PA
＋
< br>PB
就
是侦察员应选择的最短路线．
证明：设河岸上还有异于
P
点的
另一点
P
′，连接
P
< br>′
A
，
P
′
B
，
P
′
A
′．
∵
P
′
A+P
′
B
＝
P
′
A
′
+P
′
B
＞
A
′
B=PA
′
+PB=PA+PB
，
而这里不等式
P
′
A
′＋
P
′
B
＞
A
′
B
成立的理由是连接两点的折线段大于直线段，
所以
PA+PB
是最短路线．
< br>
此例利用对称性把折线
APB
化成了易求的另一条最短路线即
直线段
A
′
B
，
所以这种方
法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等．看
下面例题．
例
2
如图
一只壁虎要从一面墙壁α上
A
点，爬到邻近的另一面墙壁β上的
B
点捕蛾，
它可以沿许多路径到达，但
哪一条是最近的路线呢？
1 / 1
解：我们假想把含
B
点的墙β顺时针旋转
90
°（如下页右图），使它和含
A
点的墙α
处在同一平面上，此时β转
过来的位置记为β′，
B
点的位置记为
B
′，则
A
、
B
′之间最
短路线应该是线段
AB
′，设这条线段与墙棱线交于一点
P
，那么
，折线
4PB
就是从
A
点沿
着两扇墙面走到
B
点的最
短路线．
证明：在墙棱上任取异于
P
点的
P<
/p>
′点，若沿折线
AP
′
< br>B
走，也就是沿在墙转
90
°后
的路线
AP
′
B
′走都比直线段
APB
′长，所以折
线
APB
是壁虎捕蛾的最短路线．
<
/p>
由此例可以推广到一般性的结论：想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可
以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原
到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线．
例
3
长方体
ABCD
—
A
′
B
′
C
′
D
′中，
AB=4
，
A
′
A=2
′，
< br>AD=1
，有一只小虫从顶点
D
′
出发，沿长方体表面爬到
B
点，问这
只小虫怎样爬距离最短？（见图（
1
））
解：因为小虫是在长方体的表
面上爬行的，所以必需把含
D
′、
B<
/p>
两点的两个相邻的
面“展开”在同一平面上，在这个“展开”后的
平面上
D
′
B
间的最短路线就是连结这两
点的直线段，这样，从
D
′点出发，到
B
点共有六条路线供选择．
①从
D
′点出发，
经过上底面然后进入前侧面到达
B
点，将这两个面摊开在一个平
面
上（上页图（
2
）），这时在这个平
面上
D
′、
B
间的最短路线距离就是连接
D
′、
B<
/p>
两点
的直线段，它是直角三角形
ABD<
/p>
′的斜边，根据勾股定理，
D
′
B
2
=D
′
A
2
+AB
2
=
（
1+2
）
2
＋
4
2
=25
，∴
D
′
B=5
．
②容易知道
，从
D
′出发经过后侧面再进入下底面到达
B
点的最短距离也是
5
．
③从
D
′点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达
B
点
．将这两个面摊开在同一平
面上，同理求得在这个平面上
D
′、
B
两点间的最短路线（上页图（
3
）），有：
D
′
B
2
＝
2
2
+
（
1+4
）
2
=29
．
④容易知道，
从
D
′出发经过后侧面再进入右侧面到达
B
< br>点的最短距离的平方也是
29
．
⑤从
D
′点
出发，经过左侧面，然后进入下底面到达
B
点，将这两个平面摊
开在同一
平面上，同理可求得在这个平面上
D
< br>′、
B
两点间的最短路线（见图），
1 / 1
D
′
B
=
（
2+4
）
+1
=37
．
<
/p>
⑥容易知道，
从
D
′出发经过上侧面再进入右侧面到达
B
点的最短距离的平方也
是
37
．
比较六条路线，显然情形①、②中的路线最短，所以小虫从
D<
/p>
′点出发，经过上底面
然后进入前侧面到达
B
点（上页图（
2
）），或者经过后
侧面然后进入下底面到达
B
点的
路线是
最短路线，它的长度是
5
个单位长度．
利用例
2
、
例
3
中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法，
可以解决
一些类似的问题，例如求六棱柱两个不相邻的侧面上
A
和
B
两点之间的最短路线问题（下
左图），同样可以把
A
、
< br>B
两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面
< br>（下右图），连接
A
、
B
成线段
AP1P2B
，
P1
、
P2
是线段
< br>AB
与两条侧棱线的交点，则折线
AP1P2B
就是
AB
间的最短路线．
2
2
2
圆柱表面的最短路线是一条曲线，
“展开”后也是直线，这条曲线称为螺旋线．因为
它具有最短的性质，所以在生产和生活
中有着很广泛的应用．如：螺钉上的螺纹，螺旋输
粉机的螺旋道，旋风除尘器的导灰槽，
枪膛里的螺纹等都是螺旋线，看下面例题．
例
4 <
/p>
景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，
如下左图，<
/p>
如果将金线的起
点固定在
A
点，绕一周之后终点为
B
点，问沿什么线路嵌金线才
能使金线的用量最少？
解：将上左
图中圆柱面沿母线
AB
剪开，展开成平面图形如上页右图（把图
中的长方
形卷成上页左图中的圆柱面时，
A
′、
B
′分别与
A
、
B
重合），连接
AB
′，再将上页右图
还原成上页左图的形状，
则
AB
′在圆柱面上形成的曲线就是连接
AB
且绕一周的最短线路．
圆锥表面
的最短路线也是一条曲线，展开后也是直线．请看下面例题．
例
5
有一圆锥如下图，
A
、
B
在同一母线上，
B
为
AO
的中点，
试求以
A
为起点，以
B
为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线．
1 / 1
解：将圆锥面沿母线
AO
剪开，展开如上右图（把右图中的
扇形卷成上图中的圆锥面
时，
A
′、<
/p>
B
′分别与
A
、
B
重合），在扇形中连
AB
′，则将扇形还原成圆锥之后，
AB
′所
成的曲线为所求．
例
6
如下图，在圆柱形的桶外，有
一只蚂蚁要从桶外的
A
点爬到桶内的
B
点去寻找
食物，已知
A
点沿母线到桶口
C
点的距离是
12
厘米，
B
点沿母线到桶口
D
点的距离是
8
厘米，而
C
、<
/p>
D
两点之间的（桶口）弧长是
15
厘米．如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎
么走？路程总长是多少？<
/p>
分析
我们首先想到将桶的圆柱面展开
成矩形平面图（下图），由于
B
点在里面，不
< br>便于作图，设想将
BD
延长到
F
，使
DF
＝
B
D
，即以直线
CD
为对称轴，作出点<
/p>
B
的对称点
F
，
用
F
代替
B<
/p>
，即可找出最短路线了．
解：将圆柱面展成平面图形（上图），延长
< br>BD
到
F
，使
< br>DF=BD
，即作点
B
关于直线
CD
的对称点
F
，连结
AF
，交桶口沿线
CD
于
O
．
因为桶口沿线
CD
是
B
、
F
的对称轴，所以
< br>OB
＝
OF
，而
A
、
F
之间的最短线路是直线
段
AF
，又
AF=AO
＋
OF
，那么
A
、
B
之间的最短距离就是
A
O
＋
OB
，故蚂蚁应该在桶外爬到
O
点
后，转向桶内
B
点爬去．
延长
AC
到
E
，使
CE=DF
，易知△
AEF
是直角
三角形，
AF
是斜边，
EF=CD
，根据勾股定
理，
AF
2
=<
/p>
（
AC+CE
）
2
+EF
2
＝（
12
＋
8
）
2
＋
15
2
＝
625=25
2
，解得
AF=25
．
即蚂蚁爬行
的最短路程是
25
厘米．
例
7 A
、
B
两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小
河上架一座小木
桥，使它垂直于河岸．请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使
A
、
B
两个村子之间路
程
最短．
分析
因为
桥垂直于河岸，所以最短路线必然是条折线，直接找出这条折线很困难，
于是想到要把折
线化为直线．由于桥的长度相当于河宽，而河宽是定值，所以桥长是定
值．因此，从
A
点作河岸的垂线，并在垂线上取
AC
等于河宽，就相当于把河宽预先扣除，
找出
B
、
C
两点之间的最短路线，问题就可
以解决．
1 / 1
解：如上图，过
A
< br>点作河岸的垂线，在垂线上截取
AC
的长为河宽，连结<
/p>
BC
交河岸于
D
点，作
DE
垂直于河岸，交对岸于
E<
/p>
点，
D
、
E
两点就是使两村行程最短的架桥地点．即
两村的最短路程是
AE
＋
ED
＋
DB
．
例
8
在河中有
A
、
B
两岛（如下图），六年级一班
组织一次划船比赛，规则要求船从
A
岛出发，必须先划到甲岸，
又到乙岸，再到
B
岛，最后回到
A
岛，试问应选择怎样的路
线才能使路程最短？
解
：
如上图，
分别作
A
< br>、
B
关于甲岸线、
乙岸线的对称
点
A
′和
B
′
，
连结
A
′、
B
′
分别交甲岸线、乙岸线于
E
、
F
两点，则
A
→
E
→
F
→
B
→
A
是最短路线，即最短路程为：
AE
＋
EF
＋
FB
＋
BA
．
证明：由对称性可知
路线
A
→
E
→
F
→
B
的长度
恰等于线段
A
′
B
′的长度．而从
A
岛到
甲岸，又到
乙岸，再到
B
岛的任意的另一条路线，利用对称方法都可以化成
一条连接
A
′、
B
′之间的折线，它们的长度都大于线段
A
′
B
′，例如上图中用“·—·—·”表示的路
线
A
→
E
′→
F
′→
B
的长度等于
折线
AE
′
F
′
B
的长度，它大于
A
′
B
′的长度，所以
A
→
E
→
F
→
B
→
A
是最短路线．
1 / 1