圆、扇形、弓形的面积
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圆、扇形、弓形的面积
【重点难点解析】
重点是圆面积，扇
形面积、弓形面积公式，要能运用它们解决有关圆的面积、扇形面积、弓形
面积的计算与
证明问题
.
难点是扇形面积公式的推导，要理解圆心角为
1°的扇形的面积等于圆面积的
，圆心角
为
n°的扇形面积及于圆面积的
【基础知识精讲】
一、基本公式
1.
< br>圆的面积：
S
＝πR
2
即
，注意
：公式中的
n
没有单位
.
2.
扇形面积：
S
扇形<
/p>
＝
3.
弓形面积：
＝
lR
①弓形所含弧为劣弧时
S
弓
＝
S
扇
-S
△
②弓形所含弧为优弧时
S
弓
＝
S
扇
+S
△
③弓形所含弧为串圆时
S
弓
＝
二、值得注意的问题
S
圆
1.<
/p>
扇形面积公式中的
n
与弧长公式中的一样
，不带单位
.
2.
对于一些没有面积
计算公式的几何图形，可采用割补法，转化为学过的几何图形的面积和或
差
.
对于弧形部分，一定要分清圆心和半径
.
典型例题
〔例
1
〕已知如图
7-65
，
PA
切⊙O
于
A
，
PO
交⊙O
于
C
，且
CP
＝
CO
，弦
AB∥O
P，⊙O
的半径为
2
，
求阴影部分的面积
.
图
7-65
解：连
< br>OA
，
OB
∵PA
为⊙O
切线，∴OA⊥AP
∵OA＝
OC
＝
CP
＝
OP
∴∠OPA＝30°，∴∠AOP＝60°
∵AB∥OP，∴∠OAB＝∠AOPB＝60°
∵OA＝
OB
，∴△AOB
为等边三角形
∴∠AOB＝60°
∴S
扇形
OAB
＝
＝
∵AB∥OP，∴S
△ABP
＝
S
△AOB
∴S<
/p>
阴影
＝
S
扇形<
/p>
OAB
＝
〔例
2<
/p>
〕
已知：
如图
7
-
66⊙O
的半径为
R
，
直径
AB
垂直于弦
CD
，
以
B
为圆心，
以
BC
为半径作
⊙B
交
AB
于点
E
，交
AB
的延长线于
F
，连结
CB
并延长交⊙B
于点
M
，连结
AM
交⊙O
于
N
，
(1)
求两
圆公共部分的面积
S.(2)
求证
AM·AN＝2AE·AF
图
7-66
(1)
解：连结
BD
∵CD
为⊙O
直径
∴∠CBD＝90°
∵CD⊥AB，
OC
＝
OD
∴CB＝
DB
在
Rt△CBD
中，
CD
＝
2R
∴BC＝CDcos45°＝2R·
＝
R
∴S＝
S
⊙
O
+S
弓形
CDE
＝
πR
+
〔
2
2
π(
R)
-
2
(
R)
〕
2<
/p>
＝(π
-1)R
(2)
证明连
AC
∵
AB
为直径
∴∠ACB＝90°
∵BC
为⊙B
半径
∴AC
为⊙B
的切线
∴AC
＝AE·AF
∵OA＝
OB
∴CA＝
CB
∵MN·MA＝MB·
MC＝BC·2BC＝
2BC
＝
2AC
∴AM·MN＝2AE·AF
2
2
2
〔例
3
〕
已知：
如图
7-67
，
⊙O
的
长
l
是半径
R
的
π
倍，
AC
，
BC<
/p>
是方程
-2x
-(m-1)x+m+1<
/p>
2
＝
0
的根，<
/p>
OC
＝
1
，求弓
形
AmB
的面积
.
图
7-67
〔解〕延长线段
OC
交⊙O
于
E
，
F
，作
OG⊥AB
于
G
，
∴GB＝
AB
l
＝
＝
R
，∴n
=130,∴∠AOB＝120°∴∠GOB＝60°
在
Rt△OGB
中，sin∠GOB＝
，
∴GB＝R·sin60°＝
R
∴AB＝
R
，又
cos∠GOB＝
，∴OG＝
R
，
∴S<
/p>
△ABD
＝
AB·OG＝
×
R×
R
＝
R
2
.
∵A
C、
BC
是方程
-2x
2
-(m-1)x+m+1
＝
0
的根，
∴AC·BC＝
-
AC+BC
＝
.
又∵AC·BC＝CE·CF＝
(R-OC)(R+OC) <
/p>
＝
R
2
-OC<
/p>
2
＝
R
2
-1
③
AC+
BC
＝
AB
＝
R
∴由②，④得
R
＝
由①，③得
R
2
-1
＝
-
解方程组
R
＝
R
2
-1
＝
-
得
R
＝
∴S
△ABC
＝
R
2
＝
·S
扇形
OAmB
＝
＝π
∴
弓形
AmB
的面积＝
S
扇形
OAmB
-S
△OAB<
/p>
＝π
-
(
平方单位
).
①
②
④