函数的极值和最值及其应用
可爱歌词-
函数的极值和最值及其应用
函数极值的定义
设函数
f
(
x
)
< br>在
x
0
附近有定义，如果对
x
0
附近的所有的点，都有
f
x
f
x
0
，则
f
x
0
是函<
/p>
数
f
x
的一个极大值。如果附近所有的点，都有
f
x
f
x
0
，则
f
x
0
是函数
f
x
的一
个极小值，极大值与极小值统称为极值。
极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得。
若函数
f
在点
x
0
处可导，且
x
0
为
f
的极值点，则
f
x
0
0
.<
/p>
这就是说可导函数在点取极
值的必要条件是
f
x
0
0
.
函数最值的定义
设函数
f
x
< br>在
X
区间上有定义，如果存在一点
x
0
X
，
使得
f
x
0
不小于其他所有的
f
x
，亦即
f
x
0
f
x
,
x<
/p>
X
，
则称
f<
/p>
x
0
是在
X
上的最大值，又可记为
f
x
0
max
f
x
< br>
；
同样使得
f
x
0
<
/p>
不大于其他所有的
f
< br>x
，亦即
f
x
o
f
x
,
x
<
/p>
X
，
则称
f
x
0
是在
X
上的最小值，又可记为
f
x
0
< br>
min
f
< br>
x
.
注意
：函数
f
x
在
< br>X
上未必一定有最大（小）值。
最值和极值的联系与区别
（
1
）极值一定是函数在某个区间内的最值；
<
/p>
（
2
）极值未必是最值；
（
3
）如果函数的最值在某
个区间内取得，那么该点一定是极值点。
函数极值、最值的求解方法
1
、降元法
求多元函数极值的基本方法之一就是选择两个变量作为主元，而消去其他变量，化为二
元
函数求解。
1 / 1
例
1
：已知
x
y
2
，求函数
z
y
2
2
x
2
的极值。
解：由题设得<
/p>
y
2
x
，代人
y
2
2
x
2
得
z
2
< br>x
2
2
2
x
2
x
2
8
2
x
2
< br>
8
0
2
2
2
x
2
2<
/p>
2
即函数的
定义域为：
2
2
2,
2
2
2
当
x
2
时，
z
max
2
2
当
x
2
2
2
时，
z
min
0
2
、转化法
在函数极值法不易直接求解的情况下，应注意观察题型结构，分析题设特点，把复杂的
问
题转化为熟知的、易解的问题，通过其他途径求解。下面二例的解法作为参考。
例
2
：求函
数
x
2
10
x
50
<
/p>
x
2
25
的极小值
.
解：设
y
5
x
2
25
x
2
25
令
z
1
5
x
5
< br>i
,
z
2
x
5
i
则：
y
<
/p>
z
1
z
2
z
1
z
2
5
10
i
< br>
5
5
y
min
5
5
例
3
：求函数
y
1
sin
x
的极值
2
cos
x
解：原函数化为：
2
y
y
cos
x
1
sin
x
<
/p>
2
y
1
sin
x
y
cos
x
1
y
2
sin
x
，其中
tan
y
2
y
1
1
y
2
解得：
0
y
3
、换元法
4
4
y
min
0
,
y
max
3
3
换元法是把问题进行转化的一种常
用方法。
例
4
：已知
x
2
2
y
2
1
，求
z
3<
/p>
x
4
y
的极值
.
解：
y<
/p>
2
x
2
y
1,
x
1
1
2
2
< br>2
2
令
x
cos
,
y
2
s
in
/
2
0
2
则
z
3cos
2
2
sin
17
cos
（其中
tan
2
2
）
3
cos
< br>1
z
17,
z
min
17,
z
max
17
例
5
：求函数
y
sin
2
x
3sin
x
<
/p>
1
的极值
分析
：本例可通过辅助元
T
sin
x
把所给函数化为二次函数：
y
T
2
3
T
1
，
即把上述极值问题转化为抛
物线
y
T
2
3
T
1
在
1,1
范围内求最高点和最低点的问
题。此处不予以细致解答。
4
、判别式法
若所给函数式（可加约束条件）如能转化为以某个变量为主元的二次方程，则可用判别
式法求函数的极值。
例
6
：已知
x
,
y
满足
x
2
2
xy
y
2
2
x
2
y
6
0
，求
z
x
y
的最小值
.
解：由
z
x
y
得
y
z
x
代人约束条件并以
x
为主元整理得：
4
x
2
4
zx
z
2
< br>
2
z
6
0
x
R
,
<
/p>
16
z
2
16
z
2
2
z
6
0
解得
:
z
3
2
（
1
）
当且仅当
x
4
*3
2
3
2
时（
1
）式取等号。
2
*
4
2
3
2
时，
z
min
3
2
.
2
由
x
,
y
的对称性知当
x
y
6
x
2
4
x
3
7
或求函数
y
2
的最大值
2
y
3
x
< br>2
x
1
2
5
、不等式法
< br>例
7
：已知
x
< br>,
y
满足
x
2
4
y
2
2
x
<
/p>
16
y
9
0
，求函数
z<
/p>
x
2
y
的极值。
解：由已知式配方得：
x
1
4
y
< br>
2
8
（
1
）
2
2<
/p>
x
1
2
4
y
2
2
x
1
*2
y
2
2