函数最值和极值的解法及其在生活当中的应用
大学生就业培训-
摘要
编号
:
本科学生毕业设计（论文）
题
目
:
函数最值和极值的解法及其在生活当中的应用
系部名称
:
数学系
专业名称
:
数学与应用数学
年
级
: 2009
< br>级本科
2
班
学生姓名
: xxx
学
号
: xxx
指导教师
: xxx
职称
/
学历
:
副教授
成
绩
评
定
评价方式
及比例
成
绩
折算后成绩
指导教师
评阅人
答辩小组
最终
评定
评价（
60
％）
评价（
20
％）
< br>
评价（
20
％）
成绩
等级
●
评定等级标准
:
”
优
”
（
90
分
以上）
;
“
良
”
（
80
～
89
）
;
“
中
”
（
70
～
79
）
;
“
及格
”
（
60
～
69
）
;
“
不及格
”
（
60
以下）
.
年
月
日
数
学
系
I
摘要
四川民族学院本科学生毕业设计（论文）
摘
要
数学应用是数学教学中的一个重要任务
.
本
论文将通过函数最值和极值的相关定
义、
联系、
区别以及最值与极值的求解方法
,
并系统的阐述函数最
值和极值
,
这是及其重
要而且基础的函
数性质
,
使其让大家意识到函数最值和极值问题是与实际问题有
着密切
关系的
.
最后可以运用出函数最
值和极值的知识
,
解决实际生活中的相关的问题
.
首先提出函数最值和函数最值相关理论的定义
.<
/p>
又给出了函数极值的三个充分条件
(
即第
一充分条件、第二充分条件、第三充分条件
)
和函数最值与上（
下）确界的关系
;
其次给出了函数极值和函数最值的一些求解方
法
(
如极值的一般求法、
利用极值的第
一、
第二、第三的充分条件求极值和最值的导数一般求法、转换法、几何法、参数法、以
及
不等式的证明等
);
然后利用这些方
法对一些实际生活中的一些问题加以解决
(
如路程于
经费的问题、用固定的材料制作体积最大的容积、在物理学中变阻器消耗最大电功率、
凸函数的极小值等的一些问题
),
还有生活中的一些
关于最值和极值的一些现象
;
最后是
总
结了函数最值和极值对实际生活中起到了一定的影响
,
并对以后
函数最值和极值的进
一步发展和研究积极的重要作用
.
该论文中涉及到的实际应用主要可以分为有以下几点
:
1.
最值在实际生活路程与经费、一定材料制作出最大体积的容器
;
2.
极值在生活现象中
(
变阻器消耗最大电功率等
);
3.
最值与极值联系于区别
.
关键词
:
最值
;
极值
;
应用
.
II
摘要
ABSTRACT
Mathematics application mathematics
teaching is one of the important
paper
will be through the function the most value and
the extreme
values of the of the
related definition,contact,difference and the most
value
of
extremum
solution,and
systematically
discusses
the
function
value
and
extreme,this is and its
important and basic function properties,make its
let
everybody realize function is most
value and extreme value problem is with the
actual problem has the close y can use
the most value and
the function extreme
value knowledge,solve practical life related
problems.
First put forward the
function value and the value function of the
related
theory
of
definition,and
gives
the
function
extreme
three
sufficient
conditions
( first full condition,the second full
condition,the third sufficient
conditions) and the function value and
the upper(lower)supremum relations;We
present
the
function
extreme
value
and
function
of
the
most
value
of
some
solving
met
hods(such as the extreme values of the general
method,using the extreme
values of the
first,second,third sufficient conditions for
extreme value and
the value of the
derivative general method,conversion method,the
geometric
method,parameter method,and
inequality proof,etc.),Then use these methods to
some real life some of the problems
solved(such as the distance to the problem
of
funds,with
the
fixed
material
production
volume,the
largest
volume
in
physics
rheostat
consumption
maximum
power
and
convex
functions
such
as
minimum
problems),and some
of the life of the most value of some
phenomenon;Rinally
summarizes the most
value and extreme to real life have a certain
influence on
the
later
function
is
most
value
of
further
development
and
research
of
positive
important role.
This paper involves the actual
application of the main can be divided into
the following:
most value
in the real life journey and funds,certain produce
the
largest volume of container;
e
in
life
phenomenon(rheostat
consumption
maximum
electric
power,etc.);
most value and extreme link in
difference.
Keywords:
the
most value;extreme;application.
III
ABSTRACT
目录
第一章
引言
.<
/p>
........................................
..................................................
..................................................
....
1
1.1
数学及其数学史的发展
......
..................................................
..................................................
........
1
1.2
数学函数极值和最值的用途
....
..................................................
..................................................
..
2
1.3
函数极值和最值的作用
......
..................................................
..................................................
........
2
第二章
函数极值的相关理论
.............................................
..................................................
......................
3
2.1
函数极值的定义
.
.................................
..................................................
...........................................
3
2.2
极值的充分条件
.
.................................
..................................................
...........................................
3
2.3
函数极值的求解方法
...........................................
..................................................
..........................
4
第三章
.
函数最值的相关理论
.........................................
..................................................
.............................
7
3.1
函数最值的定义
.
.................................
..................................................
...........................................
7
3.2
函数最值的求解方法
...........................................
..................................................
..........................
8
第四章
函数极值和函数最值的区别和联系
............
..................................................
...............................
12
4.1
区别
.
......................................
..................................................
..................................................
......
12
4.2
联系
.
......................................
..................................................
..................................................
......
12
4.3
最值和极值的联系与区别
.........................................
..................................................
..................
13
第五章
极值的应用
.
.................................................
..................................................
.................................
13
5.1
极值在生活方面的常识
.........................................
..................................................
.....................
13
5.2
利用最优条件解最值
.......
..................................................
..................................................
.........
13
5.3
数学极值问题在物理中的应用
..............
..................................................
..................................
14
第六章
最值的应用
.
.................................................
..................................................
.................................
15
6.1
实际生活路程与经费的问题
<
/p>
........................................
..................................................
...............
15
6.2
极值和最值在生活中的运用
<
/p>
........................................
..................................................
...............
17
6.3
最值用于实际生活中
...........................................
..................................................
........................
18
第七章
结论
.
...........................
..................................................
..................................................
.................
20
参考文献
.
..................................................
..................................................
..................................................
21
致谢
.
......................................
..................................................
..................................................
....................
22
IV
第一章
引言
第一章
引言
1.1
数学及其数学史的发展
数学方法和数
学思想的起源与发展
,
及其与社会
,<
/p>
经济和一般文化的联系
.
对于深刻
认识作为科学的数学本身
,
即全面了解整个人
类文明的发展都具有重要的意义
.
数学由
早期公元前
6
世纪的起源到公元前
6
世纪——
16
世纪的初等数学时期
,
经历一个世纪到
17
世纪——
18
世纪的近代数学时期
,
直到
1820
年——现在的现在数学
时期
.
从历史上
看
,
数学中的原始概念——物品数和量及几何图形的概念—
—只是人在现实世界中
,
通
过实际运用
而后抽象的结果
,
而决不是在人脑里从纯粹思维中产生出来的<
/p>
.
几何学主要
是起源于计算物体的面积与体积、测量高度与距离
.
几何图形也
主要产生于人类生活中
的仿造物体的形状而制造工具的实践活动
,
即模仿自然界物题的形状来制造人们发展和
生存所必然的生活
器具和生产用具
.
在十七世纪
,
欧洲航海业与工业的迅速发展
,
以前创
建的几何方法已不能满足实际需要
,
笛卡尔等
将代数法与几何法进行了一系列有机地结
合
,
< br>从中发现了可以将代数方法应用到几何问题的研究
,
从而
一种新的数学学说就—
—”解析几何”地产生了
.
在十八、十九世纪
,
由于大地测量、力学和工程等方
面的需
要
;
随之产生了几何画法、微分
几何和射影几何
.
在十九世纪二十年代产生的非洲和欧
洲的几何学
,
虽然是从纯理论中产生的
,
但进一步发展是在找到实际应用之后的
.
从几何
学的起源和发展来看
:
数学是以完全确定的现实的基本量的代表物和自然物形状的代表
物作为研究的
对象
,
在研究时又完全舍其具体内容和质的特点
,
仅保留其纯粹形态量的
关系和空间形式的特点
.
由此可见
:
数学的
起源和发展是建立在实际需要基础之上的
,
是
< br>在实践中逐步被发现
,
并随着实践的深入而发展、完善的
.
数学大师陈省身认为
:
一个数学家的目的
,
是要了解数学
.
历史上数学的进展不外两
途
:
增加对于已知材料的了解和推广范围
.
即以下两种发展规律
:
从已知概念、定理出发
,
把已知的数学知识作为特殊情况
,
并以此来建立更广泛的
数学概念和定理的方法
.
从函数概念的形成和发展来看
:
由于罗马时代
的丢番图对代数
学中的不定方程对已有相当的研究
,
函数概念至少在那是已经萌芽
.
自哥白尼的天文学
革命以后
,
运动就成了文艺复兴时期科
学家共同感兴趣的问题
,
函数概念有了力学来源
.
1
四川民族学院本科学
生毕业设计
(
论文
)
然后由莱布尼茨、达朗贝尔、欧拉、柯西
,
一直到黎曼
,
经过一步一步地扩充
,
才发展为
以集合论为基础的一般性概念
,
成为应用广泛的一般理论
.
在已知的数学概念的
基础上
,
发现独立的、新的理论的方法
.
如牛顿、莱布尼兹以
无限小的极限作为基础建立了微积分学<
/p>
;
康托尔着眼超越数建立了集合理论
;<
/p>
鲍耶、罗
巴切夫斯基建立了与欧几里得几何学性质截然不同的非欧
几里得几何学
.
1.2
数学函数极值和最值的用途
作为函数
性质的一个重要分支和基本工具
,
函数极值和最值在数学与其它
科学技术
领域
,
诸如数学建模、路程与
经费、物理电路中电器消耗的功率、最优化问题、最优化
方案的问题等学科都有广泛的应
用
.
不仅如此
,
函数极值理论在保险、价格策划、航
海、航空和航天等众多领域中也是最富表现性和灵
活性
,
并起着不可替代的数学工具的
作
用
.
1.3
函数极值和最值的作用
许多实际问题
最终都归结为函数极值或最值问题
,
生活中遇到的实际问题
,
可以通
过数学的知识建立一些函数模型和
数学几何模型的形式
,
表示为函数形式
.
而在求解具
体问题时往往需要应用到极值和最值的求解
,
来为我们的生活生产做保证
!
由此可见
,
研
究函数极值和
最值
,
是学习数学与其它学科的理论基础
,
是生活生产中的必备工具
.
它为<
/p>
我们对于数学的进一步学习和研究起到了很大的帮助
;
同时
,
它对于其它相关学科的理
< br>解、学习与应用也起着十分重要的作用
,
更对其他学科领
域的展开有很大的促进作用
.
函数的极值和最值不仅是函数重
要的基础性质
,
在实际经济活动中也有着重要的应
用
,
对于不同类型的问题
,
我们应有一个系统而简便的方法
,
巧妙
地运用进而达到熟练地
掌握这些方法
.
而恰恰这些方法的终极解决
,
都归结于对函数极值和最值的求解
.
下面
,
就让
我们系统的归纳和展示
,
函数极值和最值的相关问题及在生活实
际中的各种应用
!
2
第二章
函数极值的相关理论
第二章
函数极值的相关理论
2.1
函数极值的定义
设函数
f
(
x
)
在
x
0
< br>附近有定义
,
如果对
x
0
附近的所有的点
,
都
有
f
(
x
)<
/p>
f
(
x
0
)
,
则
f
(
x
0
)
是函数
f
(
x
)
的一个极大值
.
如果附近所有的点
,
都有
f
(
x
)
f
(
x
0
)
,
则
f
(
x
0
)
是函
数
f
(
x
)
的一个极小值
,
极大值与极小值统称为极值
.
费马定理
[3]
(
设函数
f<
/p>
在点
x
0
的某领
域内有定义
,
且在点
x
0
可导
.
若点
x
0
为
f
的极值
点则必有
:
f
'
(
x
)
< br>
0
):
可导的极值点一定是稳
定点
,
稳定点不一定是极值点
,
极值点也不
一定是稳定点或不可导点
.
数学函数的一种稳定值
,
即一个极大值或一个
极小值
,
极值点
只能在函数不可导的点
或导数为零的点中取得
.
若函数
f<
/p>
在点
x
0
处可导
,
且
x
0
为
f
的极值点
,<
/p>
则
f
(
x
0
)
0
,
这就是说可导函数在点
取极值的必要条件是
f
(
x
0
)
0
.
2.2
极值的充分条件
定理
1
（极
值的第一充分条件）
[1]
设
f
在点
x
0
连续
,
在某邻域
U
0<
/p>
(
x
0
;
)
内可导
.
(1
）
若当
x
(
x
0
,
x
0
)
时
f
< br>
(
x
)
0
,
当
x
(
x
0
,
x
0
)
时
f
(
x
)
< br>
0
,
则
f
在点
x
0
取得
极小值
.
（
< br>2
）若当
x
< br>(
x
0
,
x
0
)
时
f
(
x
)
0
,
当
x
(
x
0
,
< br>x
0
)
时
f
(
x
)
0
,
则
f
在点
x
0
取
得极大值<
/p>
.
定理
2
（极
值的第二充分条件）
设
f
在
x
0
的某邻域
U
0
(
x
0
,
)
< br>内一阶可导
,
在
x
x
0
处二阶可导
,
且
3
四川民族学院本科学生毕业设计
(
论文
)
f
(
x
0
)
0
,
f
'
'
(
x
0
)
0
< br>.
（
1
）若
< br>f
'
'
(
x
0
)
0
,
则
f
在
x
0
取得极大值
;
（
2
）若
f<
/p>
'
'
(
x
0
)
0
,
则
f
在
x
0
取得极小值
.
定理
3
（极值的第三充分条件）
设
f
在
x
0
的
某
个
邻
域
内
,<
/p>
存
在
直
到
n
1
阶
导
函
数
,
在
x
0
处
n
阶
可
导
,
且
,
则
f<
/p>
(
k
)
(
x
0
)
0
(
k
1
,
2
,
,
n
1
),
f
(
k
)
(
x
0
)
0
,
则
（
i
）
当
n
为偶数时
,
f
在
x
0
取得极值
,
且当
f
(
n
)
(
x
0
)
0
时取极大值
,
f
(
n
)
(
x
0
)
0
时取
极小值
;
（
ii
）当
n
为奇数时
,
f
< br>在
x
0
处不取极值
.
2.3
函数极值的求解方法
函数极值的求解方法有很多
,
根据定义我们可以
用导数法进行求解
,
但当函数较为复杂
,
导及不可
导点不好数与驻点求或函数较为复杂时
,
我们可以采用以下方法进行求解
.
2.3.1
极值的一般求法（利用区
间的单调性或者定义）
例
1
求函
数
f
(
x
)<
/p>
x
3
6
x
2
15
x
5
的极值
[4]
.
解
∵
f
(
x
)
x
3
6
x
2
15
x
5
,
∴
f
'
(
x
)
3
x
2
12
x
15
令
f
'
(
x
)
3
x
2
12
x
15
=3
(
x
1
)(
x
5
< br>)
=0
解得
x
1<
/p>
1
,
x
2
5
当
x
变化时
,
f
(
x
),
f
'
(
< br>x
)
的变化情况如下表
:
x
f
'
(
x
)
f
(
x
)
(
,
5
)
-5
0
105
4
（
-5,1
）
-
↘
1
0
-3
（
1,+
）
+
↗
+
↗
第二章
函数极值的相关理论
因此
,
当
x
=-5
时
,
f
(
x
)
有极大值
,
并且
极大值为
f
(
5
)
105,
当
x
=1
时
,
f
(
x
)
有极小值
,
并且极小值为
f
(
1
)
<
/p>
3
.
函数
f<
/p>
(
x
)
x
3
6
x
2
15
x
5
< br>的图像
(
如右图
2
—
1).
图
2
—
1
2.3.2
利用极值的第一、第二、第三的充分条件求极值
例
2
求<
/p>
f
(
x
)
(
2
x
5
)
3
x
2
的极值点与极值
(
由极值的第一充分条件
)
[1]
.
解
f
(
x
)
(
2
x
5
)
3
x
2
< br>2
x
5
x
在
(
,
)
上连续
,
且当
x
0
时
,
有
<
/p>
5
3
2
3
10
3
10
3
10
x
1
f
(
x
)
x
x
<
/p>
.
3
3
3
3
x
易见
,
x
1
为
f
的稳定点
,
x
0
为
f
的不可导点
.
这两点是否是极值点
< br>,
需作进一步
讨论
.
现列表如下（表中↗表示递增
,
↘表示递减）
:
x
2
1
（
,
0
）
+
↗
0
不存在
0
（
0,1
）
1
（
1,+
）
—
↘
0
-3
+
↗
y
'
y
由上表可见
:
点
x
0
为
f
的极大值点
,
极大值
f
(
0
)
< br>
0
;
x
1
为
f
的极小值点
,
极小值
f
(
1
)
< br>
3
（如右图
2
—
2
）
图
2
—
2
8
例
3
<
/p>
求
f
(
x
)
=
2
x
4
的极值点与极值
[1
]
.
x
5
四川民族学院本科学生毕业设计
(
论文
)
（由极值的第二充分条件）
.
3
解
当
x
0
时
,
f
'
(
x
)
8
< br>x
8
.
x
2
3
令
f
'
(
x
)<
/p>
8
x
8
=0,
求得稳定点
x
1.
x
2
16
3
,
即
f
'
'
(
1
)
40
0.
x
2
又因为
f
'
'
(
x
)
24
x
由
定理
2
（极值的第
二充分条件）得
,
故
x
1
为
f
的极小值点
,
极小值
f
(
1
)
10.
2.3.3
三元函数求极值
例
4
讨论三元函数
u
f
(
x
,
y
,
z
)
x
2<
/p>
y
2
z
2
2
x
4
y
6
z
的极值
[12]
.
解
先求出三个一阶偏导数令它们为
0.
u
x
2
x
2
0
x
1
< br>
即
u
y
2
y
4
0
求出的稳定点
< br>y
2
.
u
2
z
6
<
/p>
0
z
3
z
因为
(
x
1
)(
2
x
2
)
< br>
(
2
y
4
)(
y
2
)
(<
/p>
2
z
6
)(
z
3
)
=
2<
/p>
(
x
1
)
2
2
(
y
2
)
2
2
(
z
3
)
2
由推论知
u
f
(
x
,
y
,
z
)
x
2
y
2
z
2
2
< br>x
4
y
6
z
在点
(-1,-2,3)
处得极小值
.
u
极小
值
<
/p>
f
(
1
,
2
,
3
)
(
1
)
2
(
2
)
2
3
2<
/p>
2
(
1
)
4
(
2
)
6
3
14
故
u
的最小值为
14.
6
第三章
函数最值的相关理论
第三章
.
函数最值的相关理论
3.1
函数最值的定义
3.1.1
函数最值
设函数
f
(
x
)
在
X
区间上有定义
,
如果存在一点
x
0
X
< br>,
使得
f
(
x
0
)
不小于其他所有
的
f
(
x
)
,
亦即
f
(
x
0
)
f
(
x
)
,
x
X
,
则称
f
(
x
0
)
是在
X
上的最大值
,
又可记为
f
(
x
0
)
=
max{
f
(
x
)}
;
同样使得
f
(
x
0
)
不大于其他所有的
f
(
x
)
,
亦即
f
(
x
0
)
f
(
x
)
,
x
X
,
则称
f
(
x
0
< br>)
是在
X
上的最小值
,
又可
f
(
x
0
)
=
min{
f<
/p>
(
x
)}
.
注意
函数
f
(
x
)
在<
/p>
X
上未必一定有最大（小）值
.
例如函数
f
(
x
)
x
[
x
]
在区间
0
,
1
上无最大值但有最小值
,
最小值为
0;
又如函数
f
(
x
)
< br>[
x
]
x
在区间
0
,
1
上有最大值为
0,
但无最小值
;
而函数
y
1
在
(
0
,
1
)
内既无最大
x
值又无最小
值
.
3.1.2
函数最值与上（下）
确界的关系
设函数
f
(
x
)
在
X
上有定义
,
则它的所有函数值组
成一个数集
,
这个数集有它的上确
界<
/p>
和下确界
,
即
7 <
/p>
四川民族学院本科学生毕业设计
(
论文<
/p>
)
sup
f
(
x
)
,
inf
f
(
x
)
,
x
X
x
X
例如同样的函数
f
(
x
)
x
[
x
]
在
0
,
1
的上确界为
1,
下确界为
0.
容易知道
,
函数
f<
/p>
(
x
)
在
X
上的最大（小）值一定是它在区间上的上（下）确界
,
但反
过来
,
上（下）确界未必是最大（小）值
,
这是因为函数可能
不存在最大（小）值
.
例如
函数
f
(
x
)
x
[
x
]
在
0
,
1
内有上确界
1,
但无最大值
.
3.2
函数最值的求解方法
3.2.1
导数法
< br>闭区间上可导函数的最值来源于区间端点的函数值和函数在这个区间上的极值
,<
/p>
而
极值又来源于
f
'
(
x
)
0
的根处的函数值
.
< br>所以建议求可导函数在闭区间
[a,b]
上的最值
可分以下两步步骤进行
:
1.
求函数的导数
;
2.
求函数在
[a,b]
内令
f
'
(
x
)
0
的
x
的值（称之为”驻点”
);
3.
判断驻点左右两侧
f
'<
/p>
(
x
)
的正负<
/p>
,
以此判断函数曲线的走向（
f
'
(
x
)
0
为上
升
,
f
'
(
x
)
0
为下降）
,
左边上升、
右边下降的驻点
处的函数值为极大值
,
反之为极小值
;
4.
如果函数驻点较多
,
分段讨论
,
并可以列表、画图表达
< br>;
5.
求最大值
,
将所有极大值和函数定义域区间端点的函数值一起比较
,
< br>取最大的
,
则
为最大值
.
最小值亦然
.
3.2.2
一般的求导数的方法
例
1
求函
数
f
(
x
)<
/p>
x
3
2
x
2
x
4
在闭区间
[-3,3]
上的最大值和最小值
[10]
.
解
先求导数得
:
f
'<
/p>
(
x
)
3
x
2
4
x
1
.
令
f
'
(
x
)
3
x
2
4<
/p>
x
1
=0
解得
1
x<
/p>
1
,
x
2
1
3
8
第三章
函数最值的相关理论
计算得
1
1
f
(
3
)
34
,
f
(
3
)
16
,
f
(
)
< br>5
,
f
(
1
)
4
27
3
可知
1
1
f
极大值
（
）
5
,
f
极小值
（
1
）
4
3
27
比较得
f
min
(
x
)
34<
/p>
,
f
max
(<
/p>
x
)
16
故函数
f
(
x
)
x
3
2
x
2
x
< br>4
在闭区间
3
,
3
上的最大值是
16,
最小值是
-3
4.
3.2.3
转化法
在函数最值法不易直接求解的情况下
,
应注意观察
题型结构
,
分析题设特点
,
把复杂
的问题转化为熟知的、易解的问题
,
通过其他途径求解
.
下面二例的解法作为参考
.
例
2
求函数
y
2
sin
x
1
的最值
.
2
cos
x
2
解
原函数可化为
:
1
< br>
2
y
2
1
y
2
sin(
x
arctan
y
)
则有
(
1
2
y
)
2
1
<
/p>
y
sin(
x
arctan
y
)
又由于
0
sin(
x
arctan
y
)
1
2
2
2
2
所以有
(
1
2
y
)
2
(
2
1
y
2
)
2
解得
3
y<
/p>
4
3
故<
/p>
y
有最小值
,
即
y
min
.
4
3.2.4
几何法求最值（主要是运用几点间的距离求最大和最小）
例
3
已
知直线
x
y
3
0
,<
/p>
求函数
S
(<
/p>
x
1
)
2
y
2
+
(
x
1
)
2
y
2
的最值
.
解
此题的几何意义是在直线
x
y
3
0
上求一点
M
,
使得
M
到点
(
1
,
0
)
,
< br>(
1
,
0
)
的
距离之和最小
.(
如下图
3
—
1
）
9