不等式中最值问题全梳理
独奏曲-
不等式中最值问题全梳理
模块一、题型梳理
题型一
基本不等式与函数相结合的最值问题
例题
1
若方
程
2
ln
x
m
有两个不等的实根
x
1
和
x
2
，则
x
1
2
x
2
的取值范围是（
）
A
．
1,
B
．
2,
C
．
2,
D
．
0,1
【分析】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围
.
【解析】因为
ln
x
m
两个不等的实根是
x
1
和
x
2
，不妨令
x
1
< br>
0,1
< br>,
x
2
1
,
，
Inx
1
m
,
In
x
2
m
<
/p>
1
1
2
2
1
2
2
，则
x
1
x
2
=
x
1
< br>
2
2
x
1
2
2
，故选：
C.
x
1
x
1
x
1
故可得
In
x
1
x
2
0
，解得
x
2
【小结
】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题
.
例题
2
<
/p>
9
1
的最小值
为（
）
s
in
2
cos
2
A
．
2
B
．
16
C
．
8
D
．
12
【
分析】利用
sin
2
cos
2
1
将
9
1
变为积为定值的形式后，根据基本不等式可求得最小值
.
2
2
si
n
cos
9<
/p>
1
1
9
2
2
sin
cos
【解析】∵
si
n
cos
1
，∴
2
2
sin
2
cos
2
sin
cos
2
2
3
1
9
1
sin
2
9cos
2
2<
/p>
2
sin
<
/p>
cos
<
/p>
“=”
，
当且仅当
，
时
成立，
故
10
10
6
1
6
4
4
sin
2
cos
2
cos
2
sin
2
的最小值为
16.
【小结】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，解题关键是变形为
积为定值，才能用基本不等式求最
值，属于基础题
.
第
1
页
共
18
页
x
y
例题
3
已知函数
y
＝
log
a
x
＋
1(<
/p>
a
>0
且
a
≠1)
图象恒过定点
A
，若点
A
在直线
m
＋
n
－
4
＝
0(
m
>0
，
n
>0)
上，则
m
＋
n
的最小值为
________
．
x
y
1
1
【解析】由题意可知函数
y
＝
log
a
x
＋
1
的图象恒过定点
A
(1,
1)
，∵点
A
在直线
< br>＋
－
4
＝
0
上，∴
＋
＝
4
，
m
n
m
n
1
1
1
n
m
1
1
＋
＝
2
＋
＋
< br>≥
2
＋
2
∵
m
>0
，
n
>0
，
∴
m
＋
n
＝
(
m
＋
n
)
m
n
4
< br>m
n
4
4
∴
m
＋
n
的最小值为
1.
1
n
m
·
＝
1
，
当且仅当
m
＝
n
＝
2
时等号成立，
m
n
题型二
基本不等式与线性规划相结合的最值问题
x
2
y
3
0<
/p>
例题
4
已知
x
,
y
满足约束条件
2
x
3
y
4
0
，若目标函
数
z
mx
ny
2
的最
大值为
1
（其中
y
0
m
0,
n
0
）
，则
A<
/p>
．
3
1
1
的最小值为（
）
2
m
n
C
．
2
D
．
B
．
1
3
2
1
1
最小
2
m
n
【分析】画出可行域，根据目标函数
z
最大值求
m
,<
/p>
n
关系式
m
<
/p>
2
n
3
，再利用不等式求得
值
.
< br>【解析】画出可行域如下图所示，由于
m
0,
n
0
，所以基准直线
mx
ny<
/p>
0
的斜率为负数，故目标函
数在点
A
1,2
处取得最大值，即
m
2
n
2
1
，所以
m
2
n
3
.
1
1
1
1
1
1
5
n
m
1
5
n
m
1
9
3
<
/p>
m
2
n
2
<
/p>
3
2
2
，当且仅当<
/p>
2
m
n
3
2
m
n
3
2
m
n
3
2
m
n
n
m
1<
/p>
1
3
,
m
n
1
时等号成立，所以
的
最小值为
.
故选：
D
m
n
2
m
n
2
【小结】本小题主要考查根
据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想
第
2
页
共
18
页
方法，属于中档题
.
题型三
基本不等式与数列相结合的最值问题
例题
5
已知
递增等差数列
{
a
n
< br>}
中，
a
1
a
2
2
，则
a
3
的
（
）
A
．最大
值为
4
B
．最小值为
4
C
．最小值为
4
D
．最大值为
4
或
4
【分析】
根据等差数列的通项公式可用
a
1
表示出
d
.
由数列单调递增可得
a
1
0
.
用
a
1
表示出
a
3
,
结合基本不
等式即可求得最值
.
【解析】因为
a
1<
/p>
a
2
2
，由等差数列通项公式
,
< br>设公差为
d
,
可得
a
1
a
< br>1
d
2
，变形可得
< br>d
a
1
2
a
1
因为数列
{
a
n
}
为递增数列
,
所以
d
a
1
2
0
，即
a<
/p>
1
0
，而由等
差数列通项公式可知
a
3
a
1
2
d
a
1
4
4
2
0<
/p>
结合基本不等式可得
a
0
,
a
1
2
a
1<
/p>
a
1
，由
1
a
< br>1
a
1
a
1
4
a
3
a
1
< br>2
a
1
4
a
1
4
，当且仅当
a
1
2
时取得等号，所以
a
3
的最小值为
4
。
a
1
【小结】本题考查了等差数列通项公式与单调性的应用
,
基本不
等式在求最值中的用法
,
属于中档题
.
1
例题
6
<
/p>
已知
a
，
b
均为正数，且
2
是
2
a
，
b
的等
差中项，则
ab
的最小值为
_____
___
．
【解析】由于
2
是
2
a
< br>，
b
的等差中项，故
2
a
＋
b
＝
4
，又
a
，
b
均为正数，故
2
ab
≤
1
1
当且仅当
2
a
＝
b
＝
2
，即
a
＝
1
，
b
＝
2
时取等号，所以
的最小值为
.
ab
2
2
a
＋
b
2
2
＝
4
，
第
3
页
共
18
页
题型四
基本不等式与向量相结合的最值问题
例题
7
如图
所示
,
已知点
G
是
ABC
的重心
,
< br>过点
G
作直线分别交
AB
，
AC
两边于
M
，
N
两点，且
AM
xAB
，
A
N
yAC
，则
3
x
y
的
最小值为
______.
【分析】
根据重心的性质有
AG
1
1
AB
AC
,
再表达成
AM
,
AN
的关系式
,
再根
据
M
,
G
,<
/p>
N
三点共线可
3
3
得系数和为
1,
再利用基本不等式求
解即可
.
【解析】根据条件：
AC<
/p>
1
1
1
1
1
1
AN
,
AB
AM
,
又
AG
AB
AC
,
AG
AM
A
N
.
y
3
x
3
< br>y
x
3
3
又
M
,
G
,
N
三点共线
,
1
1
<
/p>
1
.
3
y
3
x
x
0
,
y
0
,
1
1
4
x
y
4
x
y
4+2
3
.
3
x
y
3
x
y
< br>
2
3
x
3
y
3
y
3
x
3
y
3
x
3
3
x
y
的最小值为
x
y
4+2
3
4+2
3
,
当且仅当<
/p>
.
时
“
”
成立
.
故答案为：
y
3
x<
/p>
3
3
【小结】
本
题主要考查了基底向量与向量的共线定理性质运用
,
同时也考查
了基本不等式应用
,
属于中等题型
.
第
4
页
共
18
页
题型五
基本不等式与圆锥曲线相结合的最值问题
例题
8
在平
面直角坐标系
xoy
中，
已知点
A
(0,
1)
，
B
点在直线<
/p>
y
3
上，
M
点满足
MB<
/p>
/
/
OA
，
MA
AB
MB<
/p>
BA
，
M
点的轨
迹为曲线
C
．
（Ⅰ）求
C
的方程；
（Ⅱ）
P
为
C
上动点，
l
为
C
在点
P
处的切线，求
O
点到
l
距离的最小值．
< br>【解析】
（Ⅰ）设
M
(
x
,
y
)
，由已知得
B
(
x
,
3)
，
A
(0,
1)
．所以
MA
=
(
x
,
1
y
)
，
MB
=(0
，
3
< br>y
)
，
AB
=(
x
，
-2).
再由题意可知（
MA
+
MB
）
•
AB
=0
，
即（
x
，<
/p>
4
2
y
）
•
(
x
，－
2)=0
．
1
2
x
2
．
4
1
1
1
< br>（Ⅱ）设
P
(
x
0
,
y
0
)
为曲线
C
：
y
x
2
2
上一点，因为
y
< br>
x
，所以
< br>l
的斜率为
x
0
，
4
2
2
1
2
因此直线
< br>l
的方程为
y
y
0
x
0
(
x
x
0
)
，即
x
0
x
2
y
2
y
0
x
0
0
．
< br>2
所以曲线
C
的方程式为
y
1
2
x
0
4
|
2
y
0
x
|
1
4
1
2
2
则<
/p>
O
点到
l
的距离
d
．又
y<
/p>
0
x
0
2
，所以
d
2
(
x
0
4
)
2,
< br>
2
2
2
4
x
0
4
x
0
4
2
x
0
4
2
0
2
当
x
0
=0
时取等号，所以
O
点到
l
距离的最小值为
2
．
第
5
页
共
18
页
x
2
y
2
例题
9
在平面直
角坐标系
xOy
中，已知椭圆
C
：
2
2
1(
a
b
0)
的离心率
e
a
b
的点到
Q
(0,
2)
的距离的最大值为
3
．
（Ⅰ）求椭圆
C
的方程；
2
，且椭圆
C
上
3
2
2
（Ⅱ）在椭圆
C
上，是否存在点
< br>M
(
m
,
n
)
使得直线
l
：
mx
ny
1
与圆
O
：
x
y
1
相交于不同的
两点
< br>A
,
B
，
且
OAB
面积最大？若存在，
求出点
M
坐标及相对应的
< br>
OAB
面积；
若不存在，
请说明理由．
【解析】
< br>（Ⅰ）由
e
c
2
2
1
c
2
a
2
，所以
b
2
a
2
<
/p>
c
2
a
2
，设
P
(
x
,
y
)
是椭圆
C
上任意一点，
<
/p>
a
3
3
3
，
∴
则
x
2
y
2
2
1
2
a
b
y
2
x
a
(1
2
)
a
2
3
y
2
b
2
2
，
|
PQ
|
x
2
(
y
2)
2
a
2
3
y
2
(
y
2)
2
2(
y
1)
2
a
2
6
所以，当
y
1
时，
|
PQ
|
有最大值
a
2
6
3
，可得
a
3
，所以
b
1,
c
< br>2
x
2
y
2
1
故椭圆
C
的
方程为：
3
2
2
（Ⅱ）存在点
M
满足要求，使
OAB
得面积最大．假设直线
l
:
mx
ny
1
与圆
O
:
x
y
< br>
1
相交于不同两点
A
,
B
,
则圆心
O
到
l
的距离
d
1
m
2
n
< br>2
1
，∴
m
2
n
2
1
①
m
2
n
2
1
②，由①②得：
0
m
2
因为
M<
/p>
(
m
,
n
)
在椭圆
C
上，所以
3
3
m
2
n
2
1
∵
|
AB
|
2
1
d
2
所以
S
2
2
m
n
2
OAB
1
1
1
|
AB
|<
/p>
d
(1
)
2
2
2
2
，
2
m
n
< br>m
n
2
m
1
3
，
2
2
2
1
m
2
3
m
2
由②得
n
1
代入上式得
S
OAB
3
2
2
m
3
2
1
m
2
3
< br>当且仅当
1
m
2
m
2
(0,3]
，∴
m
2
此时对应的
OAB
的面积为
2<
/p>
3
3
2
6
2
3
2
1
,
)
有四个．
,
n
，此时满足要求的点
M
(
2
2
2
2
1
．
2
第
6
页
共
18
页
题型六
基本不等式与圆相结合的最值问题
2
2
例题
10
设
m
，
n
R
，若直线
(<
/p>
m
1)
x
+(
n
1)
y
2=0
与圆<
/p>
(
x
1)
+(y
1)
=1
相切，则
m
+
n
取值范围是
（
）
A
．
[1
3,1+
3
]
B
．
(
,1
3]
[1+
3,+
)
C
．
[2
2
2,2+2
2]
D
．
(
,2
2
2]
[2+2
2,+
<
/p>
)
2
2
【
解
析
】
∵
直
线
(
m
1)
x
< br>+(
n
1)
< br>y
2=0
与
< br>圆
(
x
1)
+(y
1)
< br>=1
相
切
，
∴
圆
心
(1,1)
到
直
线
的
距
离
d
=
|(
m
1
)+(
n
1)
2|
(
m
1)
2
+(
n
1)
2
=
1
，
所
以
mn
m
n
1
(
m
n
2
1
)
，
设
< br>t
=
m
n
，
则
t
2
t
+1
，<
/p>
解
得
2
4
t
(
,2
2
2]
[2+2
2,+
<
/p>
)
.
题型七
基本不等式与不等式恒成立结合的最值问题
例题
11
当
x
(1,
2
)
时，不等式
x
2
mx
2
0
恒成立，则
m
< br>的取值范围是（
）
A
．
(
2,
)
B
．
(2<
/p>
2,
)
<
/p>
C
．
(0,
)
D
．
(
2
2,
)
【分析】将
不等式恒成立转化为最值问题，利用均值不等式求解即可
.
2
2
x
(1,
2)
m<
/p>
x
【解析】当
时，不等式
x
mx
2
0
恒成立，等价于
在
x
< br>(1,
2)
时恒成立
x
即等价于
m
x
2
2
2
2
x
<
/p>
(1,
2)
x
,
；而因为
，故
当且仅当
时取
< br>x
2
x
2
2
x
x
x
x
max
得最大值
.
故：
m
2
2
。
【小结】本题考查二次函数在区间上的恒成立问题，分离参数，转化为最值问题，是一般思路；本题中
还
涉及利用均值不等式求最值
.
属综合
题
.
第
7
页
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18
页
例题
12
已知
a
0,
A
．
9
b<
/p>
0
，若不等式
B
．
12
3
1
n
恒成
立，则
n
的最大值为（
）
a
b
3
a
b
C
．
16
D
．
20
【
分析】可左右同乘
3
a
b
，再结合基本不等式求解即可
< br>【解析】
a
0,
b
0
，
< br>3
1
n
3
1
3
a
b
n
，
a
b
3
< br>a
b
a
b
3
b
3
a
3
b
3
a
3
1
3
a
b
< br>9
1
10
2
16
，
当且仅当
a
b
1
时，
等号成立，
故
n
16
。
a<
/p>
b
a
b
a
b
【小结】本题
考查基本不等式求最值，属于基础题
题型八
基本不等式与立体几何相结合的最值问题
例题
13
如
图，三棱锥
P
ABC
的四个顶点恰是长、宽、高分别是
m
，
2
，
n
的长方体的顶点，此三
棱锥的
体积为
2
，则该三棱锥外接球体
积的最小值为（
）
A
．
32
256
8
2
B
．
C
．
D
．
36<
/p>
3
3
3
【分析】根据三棱锥的体积关系可得
mn<
/p>
6
,
根据三棱
锥与长方体共外接球
,
长方体的对角线就是外接球的
直径可得
2
R
m
2
n
2
4
,
< br>根据基本不等式可得半径的最小值
,
进一步可得体积的最
小值
.
1
1
n
m<
/p>
2
2
,
所以
mn
6
,
又该三棱锥的外接
3
2
【解析】
根据长方体的结构特征
可知三棱锥的高为
n
,
所以
球就是长方体的外接球
,
该外接球的直径是长方体
的对角线
,
设外接球的半径为
R
,
所以
2
R
所以
2
R
m
2
n
2
4
,
2
mn
4
12
4
4
,
当
且仅当
m
n
6
时
,
等号
成立
,
，所以
R
2
,
所以该三棱锥外接球
体积为
4
32
4
R
3
2
3
.
故选
< br>:C
3
3
3
< br>【小结】本题考查了三棱锥的体积公式
,
球的体积公式<
/p>
,
长方体的对角线长定理
,
基本不等式
,
属于中档题
.
第
8
页
共
18
页
题型九
基本不等式与解三角形相结合的最值问题
例题
14
在
ABC
中，
内角
A
,
B
,
C
的对边另别是
a
,
b
,
c
，
已知
2sin
2
A
sin
2
B
2
sin
A
sin
B
3sin
2
C
，
< br>则
sin
C
的最大值为（
）
A
．
34
<
/p>
6
B
．
34
3
C
．
2
6
D
．
3
6
< br>【分析】由已知可得
2
a
2
b
2
2
ab
3
c
2
，结合余弦定理，求出
cos
C
用
a
,
b
表示，用基本不等式求出
cos
C
的最小值，即可求解
.
【解析】
2sin
2
A<
/p>
sin
2
B<
/p>
2
sin
A<
/p>
sin
B
3s
in
2
C
,
由
正弦定理得
2
a
2
b
2
2
ab
3
c
2
，
由余弦
定理得
3
c
2
3
a
2
<
/p>
3
b
2
6
ab
cos
C
，
6
ab
cos<
/p>
C
a
2
2
b
2
2
ab
，
6cos
C
a
2
b
2
34
，
当且仅当
a
2
b
时，
等号成立，
，
2
2,cos
C
sin
C
1
cos
2
C
b
a
6
6
所以
sin
C
的最大值为<
/p>
34
.
6
【小
结】本题考查三角函数的最值，考查正、余弦定理解三角形，应用基本不等式求最值，属于中档题
.
例题
15
ABC
的内角
A
，
b
，
c
．
B
，
C
所对的边分别为
a
，
（
I
）若
a
，
b
，
c
成等
差数列，证明：
sin
A
sin
C
2
sin
A
C
；
（
II
）若
a
，
b
，
c
成等比数列，求
cos
B
的最小值
．
【解析】
（
1
）
a
，
b
，
c
成等差数列，
a
c
2
b
，由正弦定理得
sin
A
sin
C
2sin
B
sin
B
sin[
(
A
C
)]
sin(
A
C
)
，
sin
A
sin
C
2sin
A
C
（
2
）
2
2
2
2
< br>2
a
c
b
a
c
ac
2
ac
ac
1
<
/p>
a
，
b
，
c
成等比数列，
b
2
2
ac
，由余弦
定理得
cos
B
2
ac
2
ac
2
ac
2
a
2
c
2
1
（当且仅当
a
c
时等号成立）
，
a
c
2
ac
（当且仅当
a
c
< br>时等号成立）
2
ac
2
2
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9
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共
18
页