函数极值的几种求法
后羿射箭的故事-
函数极值的几种求法
──针对高中生所学知识
摘
要：<
/p>
函数是数学教学中一个重要的组成部分，从小学六年级的一元一次方程继而延伸
到初中的一次函数，二次函数的初步介绍，再到高中的函数的单调性、周期性、最值、极值，
以及指数函数、
对数函数、
三角函数的学习，
这些足以说明函数在数学教学中的地位。
极值作
为函数的一个重要性质，
无论是在历年高考试题中，
还
是在实际生活运用中都占有不可或缺的
地位。
本文主要阐述了初
高中常见的几种函数，
通过函数极值的相关理论给出每种函数极值的
求解方法。
关键词：
函数；单调
性；导数；图像；极值
Abstract:
Function
is
an
important
part
of
mathematics
teaching.
First
the
learning
of
linear
equation
in
six
grade,
secondly
the
preliminary
introduction
of
linear
functions
and
quadratic
functions
in
junior
high
school,
then
the
monotonicity,
the
periodicity,
the
most
value
and
the
extreme value of
function, finally the learning of the logarithmic
function, exponential function and
trigonometric function in high school.
These are enough to show the important
statue
of the function
in mathematics teaching. As an
important properties of function, extreme value
has an indispensable
status whether in
the calendar year test, or in daily life. This
article will mainly expound the methods
of solving the extreme value of sever
functions in middle school.
Key words
: function;
monotonicity; derivative; image; extreme value
“函数”一词最先是由德国的数学
家莱布尼茨在
17
世纪采用的，当时莱布尼
茨用“函数”这一词来表示变量
x
的幂，也就是
x
的平方
x
的立方。之后
莱布尼茨
又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长
度等与曲线上的点有关的变量
1
。就这样“函数”这词逐渐盛行。在中国，清代著
名数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者李善兰给出的定义是：
“凡式中含天，为天之函数”。显然，在李善兰的这个定义中的函数就是：凡是
公式中
含有变量
x
，则该式子叫做
x
的函数。这样，在中国“函数”是指公式里含
有变量的意思。从
1775
年欧拉对函数定义之后，又有法国数学家柯西、俄国数学
第
1
页
（共
1
页）
家罗巴契夫斯基等数学家不断对
函数定义进行改进和完善。最后德国数学家黎曼
引入了函数的新定义：“对于
x
的每一个值，
y
总有完
全确定了的值与之对应，而
不拘建立
x
，
y
之间的对应方法如何，均将
y
称为
x
的函数”。虽然函数的定义在
不断变化但它的本质属性都是一样的。
变量
y
称为
x
的函数，
只须有一个法则存在，
那就是这个函数取值范围中的每一个值，
有一个唯一确定的
y
值和它对应，
不
管这
个法则是公式、图象、表格或其他形式。
对中学生来说常见的函数类型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、
三
角函数，及由这几类函数中两类或多类形成的复合函数。中学生一般不采用定
义法去求函
数的极值，中学生常用的是图像法和求导法。本文首先简单介绍高中
数学常见的函数类型
和常用的求函数极值的方法，继而通过具体实例阐述求极值
方法和函数类型如何匹配。<
/p>
1
预备知识
定义
1.1
函数的极值
设函数
< br>f
(
x
)
在
x
0
附近有定义，
如果对
x
0
附近的所有的点，
都有
f
x<
/p>
f
x
0
，
则
f
x
0
是函数
f
x
的一个极大值。如果附
近所有的点，都有
f
x
f
< br>x
0
，则
2
f
x
0
是函
数
f
x
<
/p>
的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。
定义
1.2
一次函数
在某一变化过程中，设有两
个变量
x
和
y
，如果可以写成
y
kx
b
(
k
< br>为一次项
系数
k
0
，
b
为常数
)
的形式，那么我们就说
y
是
x
的一次函数，其中
x
是自变量，
y
是因变量。
定义
1.3
二次函数
2
把形如
y
a
x
bx
c
（其中
a
,
b
,
c
是常数，
a
0
）的函数叫做二次函数，其中<
/p>
3
第
2
页
（共
2
页）
a
称为
二次项系数，
b
为一次项系数，
c
为常数项。
定义
1.4
4
指数函数
把形如
y
x
a
(
a
0
且<
/p>
a
1
)
的函数叫做指数函数，其中
x
是自变量。
定义
1.5
<
/p>
4
对数函数
把形如
y
log
a
x
(
a
0
且
a
1<
/p>
)
的函数叫做对数函数，其中自变量是
x
。
2
求极值方法在各种函数类型中的应用
函数是高中数学重要的内容
,
而函数的
性质是高考命题的重点
,
又是高考命题
的热点之一
,
利用导数方法研究函数的
单调性
,
确定单调区间
,
研究函数的极值问
题比传统的方法要简捷得多
,
因此在求极值时应把导数法作为主要研究方法
5
。除
了求导法另一种常见的方
法就是图像法。图像法适合简单的可以画出图像的一些
函数，
对
于中学生来说遇到的函数
80%
都可以画出图像。
函数图像画出后我们可以
根据图像所表示的纵坐标再结合极值的定义观察函数
的极值。求导法是先求出所
求函数的导数，然后根据导数与零的大小关系判断函数的单调
性，继而判断极值，
求导法对一些复杂的函数特别是复合函数非常的适用。下面我们通过
具体实例阐
述方法和函数类型如何匹配。
2.1
一次函数
y
kx
b
< br>（
k
0
,
b
为常数）
一次函数比较简单在整个定义域内是整体单调递增或整体单调递减。对形如
y
kx
b
的一次函数的导数为
y
'
k
，由此可知一次函数的单调性主要和
k
值有关，
k
< br>0
则函数单调递增，
k
0
函数单调递减。
例
2.1
求函数
< br>y
2
x
5
的极值
法一
求导法
y
2
x
5
这个函数的
k
值为
2
，显然
2
0
也就是说该函数单调递增，现在函数
的极值就和其定义域有关
。当自变量
x
最大时函数有极大值，当自变量
< br>x
最小是函
数有极小值，若自变量无最大值最小值则函数
没有极值。
①
我
们
假
设
该
函
数
的
定
义<
/p>
域
是
-
3
,
40
，
那
么
当
x
3
< br>时
函
数
有
极
小
值
第
3
页
（共
3
页）
y
极<
/p>
小
值
2
-
3
5
-
1
,
当
x
40
时函数有极大值
y
极
大
值
2
40
5
85
< br>。
则函数无极大值极小值。
②
假设该函数的定义域为
-
，
40
< br>函
数
无
极
小
值
，
在
x
40
时
取<
/p>
得
极
大
值
③
若
函
数
的
定
义
域
位
-
，
y
极
大
值
2
40
5
85<
/p>
④若定义域为
-
3
，
函数无极大值，有极小值<
/p>
y
极
小
值
2
-
3
5
-
1
。
法二
图像法
一
次函数
y
kx
b
的图像都是一条直线。函数
y<
/p>
2
x
5
的图像如下：
图
2-1
y
2
x
5
图像
通过察我们发现函数值
y
随自变量
x
的值增大
而增大，也就是说
x
最大时函数
有极大
值，
x
最小时函数有极小值。
一次函数相对来说比较简单，我认为求极值最好的方法是看
k
值。当
k
0
时
自变量
x
最大时函数有极大值，
自变量
x
最小时函数有极小值。
当
k
0
时自变量
x
最
大时函数有极小值，自变量
x
最小时
函数有极大值，若自变量
x
无最值则函数无极
< br>值。在此还有一点要提醒的就是通常所说的正比例函数，反比例函数都属于一次
函
数，故其极值的求法可用一次函数的方法。
2
2.2
二次函数
y
ax
< br>bx
c
（其中
a
,
b
,
c
是常数，
a
< br>0
）
二次函数较一次函数复杂
的多，但其极值的求法和一次函数大同小异，最常
见的也是求导法和图像法。当用求导法
来求极值时，需先求出导数然后判断导函
数在那个区间范围内大于（等于）零，在那个区
间范围内小于（等于）零，当导
数大于等于零时原来的二次函数在该区间单调递增，当导
数小于零时原来的二次
函数在该区间单调递减，知道了单调性再来求极值就轻而易举了。
图像法就是画
出函数的图形，根据图形结合极值定义求出函数极值。下面我针对具体函数
第
4
页
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4
页）
（
-<
/p>
4
,
2
]
这个二次函数来详细阐述这两种方法。
y<
/p>
2
x
2
8
x
-
7
其定义域为
（
-
4
,
2
]
的极值
例
2.2 <
/p>
求函数
y
2<
/p>
x
2
8
x
-
7
x
法一
求导法
通过计算我们知道该函数的导
数为
y
'
4
x
8
我们令
其导函数大于等于零即
4
x
8
0
解得
x
2
也就是说函数
y
2
x
2
8
x
-
7
在
< br>x
-
2
,
2
上
单调递增，当
x
< br>2
时
y
-
2
（由
有最小值，
当
x=2
时
y
有最大值。
同理我们可以知道函数
y
< br>
2
x
2
8
x
-
7
在
-
4
，
于在递增区间上已经取过
-2
，所以此处的
-2
不能再取，只能用圆括号）上单
调递
减，因为
-4
和
< br>-2
前为圆括号，也就是说自变量
x
不能等于
-4
和
-2
，所以函数在上
-
4
，
-
2
无最小值也无最大值。综上所诉函数
2
y
2
x
2
8
x
-
7
（
-
4
,
2
]
上有最小值
在
（
-
4
,
2
]
上
y
最
小
值
<
/p>
2
-
2
8
-
2
-
7
-
15
，最大值
y
最
大
值
2
2
2
8
2
-<
/p>
7
17
.
因为该函数在
（
-
4
,
2
]
上有
连续所以其最小值等于其极小值，最大值等于其极大值。所以此函数在
< br>极小值
-15
，极大值
17
。
法二
图像法
（
-
4
,
2
]
的图像如下图所示
:
二次函数的图像为一条抛物线函数
y
2
x
2
8
x
-
7
x
（
-
4
,
2
]<
/p>
图像
图
2-2
y
2
x
2
8
x
-
7
x
通过观察可知，函数在点
B
取得极小值
-15
，在点
A<
/p>
取得极大值
17
。
2.3
指数函数
y
a
x
(
a
0
且
a
1
)
此类函数比较简单，单调性在定义域内是整体的，无论是
求导还是画图都很
容易发现函数的单调性与
a
< br>值得大小有关。在
a
1
时函数在整个定义域内单调递
增，和一次函数像似自变量
x
取最大值时函数有极大值，自变量
x
取最小值时函数
第
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