(完整版)高二数学函数的极值与最值试题
程潜简介-
高二数学函数的极值与最值试题
一：选择题
1
．
函数<
/p>
f
(
x
)
x
ax
x
在
(
0
,
)
内有两个极值点，则实数
a
的取值范围是
(
)
A
．
(
0
< br>,
)
【答案】
D
2
．函数
f
（
x
）
=x
2<
/p>
+x
﹣
lnx
的
极值点的个数是（
）
A
．
0
个
B
．
1
个
C
．
2
个
解：由
于函数
f
（
x
）
=x
2
+x
﹣
lnx
，
（
x
＞
0
）
<
/p>
则
令
f
’
（
x
）
=0
，则
=
=
D
．
3
个
B<
/p>
．
(
3
,
3
)
C
．
(
,
0
)
D
< br>．
(
,
3
)
3
2
（
x
＞<
/p>
0
）
故函数<
/p>
f
（
x
）
=x
2
+x
﹣
lnx
的极值点的个数是
1
< br>，
故答案为
B
．
2
3
．如图所示的是函数
< br>f
(
x
)
x
bx
cx
d
的
大致图象，则
x
1
2
< br>
x
2
等于（
< br>
）
3
2
A
．
2
4
B
．
3
3<
/p>
C
．
8
16
D
．
3
3
【答案】
C
4
．函数
f
(
x
)
x
<
/p>
e
2
x
1
,
x
2
,
1
的最大值为（
）
A.
4<
/p>
e
1
B.0 C.
e
2
D.
3
e
2
【答案】
C
5
．函数
f
(
x
)
x
3
ax
b<
/p>
(
a
0
)
的极大值为
6,
极
小值为
2,
则
f
(
x
)
的减区间是
< br>( )
A.
（
-1
，
1
）
B.
（
0
，
1
）
C.
（
-1
，
0
）
D.
（
-2<
/p>
，
-1
）
【
答
案
】
A
6
．右图是函数<
/p>
y
f
(
x
)
的导函数
y
f
(
x
)
的图象，
3
y
-3
-2
-1
O
1
x
给出下列命题：
①
3
是函数
y
f
(
x
)
的极值点；
②
1
是函数
y
f
(
x
)
的极小值点；
③
y
f
(<
/p>
x
)
在
x
0
处切线的斜率小于零；
< br>
④
y
f
(
x
)
在
区间
(
3,1)
上单调递增
.
则正确命题的序号是（
）
A.
①②
B.
①④
C.
②③
D.
②④
【答案】
B
7.
（
2008
•
广东）设
a
∈
R
< br>，若函数
y=e
ax
+3x
，
x
∈
R
有大于零的极值点，则（
）
A
．
a
＞﹣
3
B
．
a
＜﹣
3
C
．
a
＞﹣
D
．
a
＜﹣
解：
设
f
（
x
）<
/p>
=e
ax
+3x
，则
f
′
（
x
）
=3+ae
ax
．
若函数在
x
< br>∈
R
上有大于零的极值点．
<
/p>
即
f
′
（
x
）
=3+ae
ax
=0
有正根．
当有
f
′
（
x
）
=3+ae
ax
< br>=0
成立时，显然有
a
＜
0
，
此时
x=
ln
（﹣
）
．
由
x
＞
0
，得参数
a
的范围为
a
＜﹣
3
．
故选
B
．
<
/p>
8
.
【
2012
高考真题辽宁理
12
】若
x
[0,
)
，则下列不等式恒成立的是
< br>(A)
e
x
„
< br>1
x
x
2
(B)
1
1
x
1
1
1
2
x
4
x
2
(C)
cos
x
…
1
1
x
2
(D)
l
n(1
x
)
…
x
1
x<
/p>
2
2
8
【答案】
C
【解析】
设
f
(
x
)
cos
x
(1
1
2
1
2
x
)
cos
x
1
2
x
2
，则
g
(
x
)
f
(
x
)
sin
x
x
,
所
以
g
(
x
)
co
s
x
1
≥<
/p>
0
，
所
以
当
x
[0,
)
时
g
(
x
)
为增函数，所以
g
(
x
)
f
(
x
)
≥
g
(0)
0,
同理
f
(
x
)
≥
f
(0)
0
，
< br>cos
x
(1
1
2
2
x
)
≥
0
，
即
cos
x
…
1
1
2<
/p>
x
2
，
故选
C
，
9
．已知函数
f
(
x<
/p>
)
1
3
x
3
1
2
ax
2
2
bx
c
(
a
,
b
,
c
R
)
，且函数
f
(
x
)
在区间（
0
，
1
）内取
得极大值，在区间（<
/p>
1
，
2
）内取得
极小值，则
z
(
a
3)
2
b
2
的取值范围为
( )
A.
(
2
2
,
2)
B.
(
1
2
,
4)
C.
(1,2)
D.
(1,4)
【答案】
B
10.
【
2012
高考真题全国卷理<
/p>
10
】已知函数
y
＝
x
²
-3x+c
< br>的图像与
x
恰有两个公共点，则
c
＝
（
A<
/p>
）
-2
或
2 <
/p>
（
B
）
-9
或
3
（
C
）
-1
或
1
（
D
）
-3
或
1
【答案】
A <
/p>
【解析】若函数
y
x
3
3
x
c
的图象与
x
轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中
有一个为
0
，函数的导数为
y
'
3
x
2
3
，令
y<
/p>
'
3
x
2
3
0
，解得
x
1
，可知当极大值
为<
/p>
f
(
1
)
2
c
，
极
小
值
为
f
(
1
)
c
2
.
由
f<
/p>
(
1
)
2
c
0
，
解
得
c
2
，
由
f
(
1
)
c<
/p>
2
0
，解得
c
2
，所以
c
2
或
c
2
，选
A.
11
．
（
2012
•
昌图县模拟）下列关于函数
f
（
x
）
=
（
2x
﹣
x
2
< br>）
e
x
的判断正确的是（
）
①
f
（
x
）＞
0
的解集是
{x|0
＜
x
＜
2}
；
②
f
（﹣
）是极小值，
f
（
）是
极大值；
③
f
（
x
）没有最小值，也没有最大值．
A
．
①
③
B
．
①
②③
C
．
②
D
．
①
②
解：由
f
（
x
）＞
0<
/p>
⇒
（
2x
﹣
x
2
）
e
x
＞
0
⇒
2x
﹣
x
2
＞
0
⇒
0
＜
x
＜
2
，故
①
正确；
f
′
（
x
）
=e
x
（
2<
/p>
﹣
x
2
）
，由
f
′
（
x
）
=0
得
x=
±
，
由
f
′
（
< br>x
）＜
0
得
x
＞
或
x
＜﹣
，
由
f
′
（
x
）＞<
/p>
0
得﹣
＜
x
＜
，
∴
f
（
x
）的单调减区间
为（﹣
∞
，﹣
）
，
（
，
+
∞
）
．单调增区间为（﹣，
）
．
∴
f
（
x
）的极大值为
f
（
）
，极小值为
f
（﹣
）
，故
②
正确．
∵
x
＜﹣
时，
f
（
x
）＜
0
恒成立．
∴
f
（
x
）无最小值，但有最大值
f
（
）
∴
③
不正确．
故选
D
．
<
/p>
12
．
（
201
0
•
安庆模拟）如果函数
满足：对于任
意的
x
1
，
x
2
∈
[0
，<
/p>
1
]
，都
有
|f
（
x
1
）﹣
f
（
x
2
）
|
≤
1
恒成立，则
a
的取值范围
是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
解：由题意
f
′
（
x
）
=x
2
﹣
a<
/p>
2
当
a
2
≥
1
时，在
x
∈
[0
，
1
]
，恒有导数为负，即函数在
[0
，
1
]
< br>上是减函数，故最大值为
f
（
0
）
=0
，最小值为
f
（
1
）
=
﹣
a
2
，故
有
，解得
|a|
≤
，故可得
1
≤
a
< br>≤
当
a
2
∈
[0
，
1
]
，由导数知函数在
[0
，
a
]
上增，在
[a
，
1
]
上减，故最大值为
f
（
a
）
=
（
0
）
=0
，矛盾，
a
∈
[0
，
1<
/p>
]
不成立，
故选
A
．
二
:
填空题
又
f
13
．函
数
f
(
x
)<
/p>
x
ax
bx
a
在
x
1
时有极值
10
，那么
a<
/p>
,
b
的值分别为
________.
【
答
案
】
4
，
-11
14
．已知函数
f
(x)
的导数
f
′
(x)
＝
a(x
＋
1)(x
－
a)
，若
f
(x)
在
x
＝
a
处取得极大值
，则
a
的取值范围是
。
【答案】
(
－
1
，
0)
15
．
（<
/p>
2011
•
蓝山县模拟）图为定义在
R
上的函数
f
（<
/p>
x
）的导函数
f'
（
x
）的大致图象，则函
数
f
（
x
）的单调递增区
间为
，
f
（
x
）的极大值点为
x=
．
3
2
2
解：根据导函数的图象可知，函数在（﹣
1
，
2
）
，
（<
/p>
4
，
+
∞
）上，导数大于
0
，在（
2
，
4
）上
导数小于
0
∴
f
< br>（
x
）的单调递增区间为（﹣
1
，
2
）
，
（
4
，
+
∞
）
，
f
（
x
）的单调递减区间为（
2
，
4
）
<
/p>
∴
x=2
时，
f
（
x
）取得极大值
∴
f
（
x
）的极大值点为
x=2
故答案为：
（﹣
1
，
2<
/p>
）
，
（
4
，
+
∞
）
；
2
16
设函数
,
若
是奇函数
,
则
_______
；【答案】
17
．若函数
f
（
x
）
=x
3
﹣
3bx+3b
在（<
/p>
0
，
1
）内有极
小值，则
b
的取值范围为
．
解：由
题意得
f
′
（
x
）
=3x
2
﹣
3b
，
令
f
′
（
x
）
=0
，则
x=<
/p>
±
又
∵
函数
f
（
x
）
=x
3
﹣
3bx+b
在区间（
0
，
1
）内有极小值，
< br>∴
0
＜
＜
1
，
∴
b
∈
（
0
，
1
）
，
故答案为（
0
，
1
）
．
18
．在
R
上的可导函数
f
（
x
）
=<
/p>
x
3
+
ax
2
+2bx+c
，当
x
∈
（
0
，
1
）时取得极大值，当
x
∈
（
1
，
< br>2
）时取得极小值，则
的范围是
．
解：<
/p>
f
′
（
x
）
=x
2
+ax+2
b
，由函数当
x
∈
（
0
，
1
）时取得极大值，当
x
∈
（
1
，
2
）时取得极小值<
/p>
得：
f
′
（
0
）
=2b
＞
0
；
f
′
（
1
）
=1+a+2b
＜
0
；
f
′
（
2
）
=4+2a+2b
＞
0
；
所以
∈
（
，
1
）
故答案为（
，
1
）
19
．<
/p>
若函数
f
（
x<
/p>
）
=x
3
﹣
3x+m
在
[0
，
2
]
上存在两个不同的零点，
则实数
m
的取值范围是
．
解：<
/p>
f
′
（
x
）
=3x
2
﹣
3=3
（
x+1
）<
/p>
（
x
﹣
1
）
，
当
x
＜﹣
1
或
x
＞
1
时，
f
′
（
x
）＞
0
，当﹣
1
< br>＜
x
＜
1
时，
f
′
（
x
）＜
0
，
所以
f
（
x<
/p>
）在（﹣
∞
，﹣
1
）
，
（
1<
/p>
，
+
∞
）上单调
递增；在（﹣
1
，
1
< br>）上单调递减．
所以当
x=<
/p>
﹣
1
时
f
（
x
）取得极大值
f
（﹣
1
）
=2
+m
，当
x=1
时
f
（
x
）取得极小值
f
（
1
）
< br>=
﹣
2+m
，
< br>f
（
0
）
=m
，
f
（
2
）
=2+m
．
因为函数
f
（
x
）
=x
3
﹣
3x+m
在
[0
< br>，
2
]
上存在两个不同的零点，
所以
，即
，
解得
0
≤
m
＜
2
．
故答案
为：
0≤m
＜
2
．
三：解答题
20
．
（
2012
•
< br>重庆）已知函数
f
（
x
）
=ax
3
+bx+c
在点
x=2
处取得极值
c
﹣
16
．
< br>
（
Ⅰ
）求
a
，
b
的值；
（
Ⅱ
）若
f
（
x
）有极大值
< br>28
，求
f
（
< br>x
）在
[
﹣
3
，
3
]
上的最小值．
解：
（
Ⅰ
）由题
f
（
x
）
=ax
3
+bx+c
，可得
f
′
（
x
）
=3ax
2
+b
，又函数在点
x=2
处取得极值
c
﹣
16
∴
，即
，化简得
解得
a=1
，<
/p>
b=
﹣
12
（
II
）由（
I
）知
f
（
x
）
=x
3
﹣
12
x+c
，
f
′
（
x
）
=3x
2
﹣
12=3
（
x+2
）
（
x
﹣
2
）
令
f
′
（
x
）
=3x
2
﹣
12=3
（
x+2
）
（
x
﹣
2<
/p>
）
=0
，解得
x
1
=
﹣
2
，
x
2
=2
当
x
∈
（﹣
∞
，﹣
2
）时，
f
′
（
x
）＞
0
，故
f
（
x
）在
∈
（﹣
∞
，﹣
2
）上为增函数；当
x
∈
（
﹣
2
，
2
）时
，
f
′
（
x<
/p>
）＜
0
，故
f<
/p>
（
x
）在（﹣
2
，
2
）上为减函数；
< br>
当
x
∈
（
2
，
+
∞
）时，
f
′
（
x
）＞
0
，故
f
（
x
）在（
2
，
+
∞
）上为增函数；
由此可知
f
（
x
）在
< br>x
1
=
﹣
2
处取得极大值
f
（﹣
2
）
=16+c
，
f
（
x
）在
x
2
=2
处取得极小值<
/p>
f
（
2
）
=c
﹣
16
，
由题设条件知
16+c=28
得，
c=12
此时
f
（﹣
3
）
=9+c
=21
，
f
（
3
）
=
﹣
9+
c=3
，
f
（
2
）
=
﹣
16
+c=
﹣
4
因此
f
（
x
）在
[
﹣
3
，
3
]
上的最小值
f
（
2
）
=
﹣
4
21
．
（
2004
•
浙江）已知
a
为实数，
f
（
x
）
=
（
< br>x
2
﹣
4
）
（
x
﹣
a
）
．
（
1
）求导数
f
′<
/p>
（
x
）
．
（
2
）若
f
′
（﹣
1
）
=0
，求
f
（
x
）在
[
﹣
2
，
2
< br>]
上的最大值和最小值．
（<
/p>
3
）若
f
（
x
）在（﹣
∞
，﹣
2
）和
[2
，
+
∞
]
上都是
递增的，求
a
的取值范围．
解：
（
1
）由原式得<
/p>
f
（
x
）
=x
3
﹣
ax
2
﹣
4x+4a
，<
/p>
∴
f'
（
x
）
=3x
2
﹣
2ax
﹣
4
．