立体几何专题9 几何体的表面积与体积
描写春雨的作文-
几何体的表面积与体积
【知识总结】
1
、表面积
①设直棱柱高为
h
，底面多边形周长为
c
，则直棱柱侧面积公式为
S
直棱柱侧
＝
ch
，即直棱柱侧
< br>面积等于它的底面周长和高的乘积．
②若正棱锥的底面
边长为
a
，底面周长为
c
，斜高为
h
′
，则正
n
棱锥的侧面积公式为
S
正棱锥侧
1
1
＝
< br>nah
′
＝
ch
′
，即正棱锥的侧面积等于它的底面的周长和斜高乘积的一半．
2
2
③若圆柱、圆锥、圆台
沿其母线剪开后展开，其侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环，其侧
面积公式分别为
S
圆柱侧
＝
2π<
/p>
Rh
，
S
圆锥侧
＝
π
Rl
，<
/p>
S
圆台侧
＝
π(
R
＋
r
)
l
．
2
、体积
①
棱柱的体积公式为
V
柱体
＝
Sh
，
(
S
为柱体底面积，
h
为柱体的高
)
，
．
1
②若一个棱锥的底面积为
S
，高为
h
，则它的体积是
V
锥体
＝
Sh
，
3
1
③若一个台体上、
下底面的面积分别为
S
′
、
S
，
高为
h
，
则它的体积公式为
V
台体
＝
h
(
< br>S
＋
SS
′
3
＋
S
′)
，
④圆柱的体积公式为
V
圆柱
＝
π
r
2
h
(
r
为底面半径，
h
为圆柱的高
)
．
1
⑤圆锥
的底面半径为
r
，高为
h
，则它的体积为
V
圆锥
＝<
/p>
π
r
2
h
．
3
1
⑥若圆台上、下底面半径分别为
r
′
、
r
，高为
h
，则它的体积为
V
圆台
＝<
/p>
π
h
(
r
2
＋
rr
′
＋
r
′
2
)
．
3
【巩固练习】
1
、若圆
锥的底面半径为
1
，高为
3
，则圆锥的表面积为
(
)
A
．
π
C
．
3π
B
．
2π
D
．
4π
【规律总结】
圆柱、圆锥、圆台的侧
面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面
展开图的形状及侧面展开图中各线段与
原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解
有关问题的关键．
2
、已知圆锥的顶点为
S
，母线
SA
，
SB
互相垂直，
SA
与圆锥底面所成角为
30
，若
△
SAB
的面积为
8
，则该圆锥的体积为
_____
．
8
【解析】由
题意画出图形，如图，
S
A
O
B
C
设
AC
是底面圆
O
的直径，连接
SO
，则
SO
是圆锥的高，设圆锥的母线长为
l
，
则由
SA
SB
，
△
S
AB
的面积为
8
，得
< br>1
2
l
8
，得
l
4
，在
Rt
ASO
中，
2
由题意知
SAO
30
，所以
SO
3
1
l
2
3
．
l
2
，
AO
2
2
故
该圆锥的体积
V
1
< br>1
AO
2
SO
(2
3)
2
2
8
．
3
3
3
、圆台的体积为
7π
，上、下底面的半径分别为
1
和
2
，则圆台的高为
(
< br>
)
A
．
3
C
．
5
【答案】
A
B
．
4
D
．
6
1
【解析】
由题意，
V
＝
(π
＋
2π
＋
4π)
h
＝
7π
，∴
h
＝
3
．
3
4
．圆柱的侧面展开图是长
12
cm
，宽
8
cm
的矩形，则这个圆柱的体积为
(
)
288
A
．
cm
3
π
288
1
92
C
．
cm
3
或
cm
3
π
π
【答案
】
C
12
2
288
【解析】
圆柱的高为
8
cm
时，
V
＝
π×
×8
＝
cm
3
．当圆柱的高为
12
cm
时，
V
＝
2π
π
8
2
192
3
．
π×
<
/p>
×12
＝
cm
2π
π<
/p>
【解题技巧】
圆柱的侧面展开图是一个矩形，矩形两边长分别为圆
柱底面周长和高；圆
锥侧面展开图是一个扇形，半径为圆锥的母线，弧长为圆锥底面周长
；圆台侧面展开图
是一个扇环，其两段弧长为圆台两底周长，扇形两半径的差为圆台的母
线长，对于柱、
锥、台的有关问题，有时要通过侧面展开图来求解．
5
．
已知一个母线长为
1
的圆锥的侧面展开图的圆心角等于
240°<
/p>
，则该圆锥的体积为
(
)
2
2
A
．
π
81
4<
/p>
5
C
．
π
81
【答
案】
C
8
B
．
π
81<
/p>
10
D
．
π
81
192
B<
/p>
．
cm
3
π<
/p>
D
．
192π
cm
3
【思路方法】
计算柱体、
锥体和台体的体积，
关键是根据条件找出相应的底面面积和高，
要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．
6
、如图，长方体
ABCD
–
A
1
B
1
C
1
D
1
的底面
ABCD
是正方形，点
E
在棱
AA
1
上，
BE
⊥
EC
1
.
（
1
）证明
：
BE
⊥平面
EB
1
C
1
；
（
2
）若
AE
=
A
1
E
，
AB
=3
，求四
棱锥
E
BB
1
C
1
C
的体
积．
解：
（
1
）由已知得
B
1
C
1
⊥平面
ABB
1
A
1
，
BE
平面
ABB
1
A
1
，
故
B
1
C
1
BE
.
又
BE
EC
1
，所以
BE
⊥平面
EB
1
C
1
.
（
2
）由（
1
）知∠
BEB
1
=90°
.
由题设知
Rt
△
ABE
≌
Rt
△
A
1
B
1
E
，所以
AEB
A
1
EB
1
45
，故
AE
=
AB
=3
，
AA
1
2
AE
6
.
作
EF
BB
1
，垂足为
F
，则
EF
⊥平面
BB
1
C
1
C
，且
EF
AB<
/p>
3
.
所以，
四棱锥
E
BB
1
C
1
C
的
体积
V
1
3
6
3
18
.
3
图
1
是由矩
形
ADEB
、
其中
AB
=1
，
7
、
BE
=
BF
=2
，
Rt
△
ABC
和菱形
BFGC
组成的一个
平面图形，
∠
FBC
=60°
.
将其沿
AB
，
BC
折起使得
BE
与
BF
重合，连结
DG
< br>，如图
2.
（
1
）证明图
2
中的
A
，
C
，
G
，
D
四点共面，且平面
AB
C
⊥平面
BCGE
；
< br>
（
2
）求图
< br>2
中的四边形
ACGD
的面积<
/p>
.
解析
（<
/p>
1
）由已知得
AD
G
，
D
四点共面．
< br>
由已知得
AB
BE
，
AB
BC
，故
AB
平面
BCGE
．
又因为
AB
平面<
/p>
ABC
，所以平面
ABC
平面
BCGE
．
（
2
）取
CG
的中点
M
，联结
EM
，
DM
.
因为
AB
∥
DE
，
AB
平面
BCGE
，所以
DE
平面
BCGE
< br>，故
DE
CG
.
由已知，四边形
BCGE
是菱形，且
EBC
60
得
EM
CG
，故
CG
平面
DEM
.
BE
，
CG
BE
，所以
AD
CG
，故
AD
，
CG
确定一个平面，从而
A
，
C
，
因此
DM
CG
< br>.
在
Rt
△
< br>DEM
中，
DE
1
，
EM
所以四边形
ACGD
的面积为
4.
3
，故
DM
2
.
8
、
如
图
，
四
棱
锥
P
ABCD
中
，<
/p>
侧
面
PAD
为<
/p>
等
边
三
角
形
且
垂
直
于
底
面
ABCD
，
AB
BC
1
AD
，
BAD
ABC
90
．
2
P
A
B
(1)
证明：直线
BC<
/p>
∥平面
PAD
；
D
C
(2)
若
PCD
的
面积为
2
7
，求四棱锥
P
ABCD
的体积。
【解析】
（
1
）在平面
ABCD
内，因为
BAD
ABC
90
，所以
BC
∥
AD
，
又
BC
平面
PAD
，
AD
平面
PAD
，故<
/p>
BC
∥平面
PAD
．
（
2
）
取
AD
的中点
M
，连结
PM
，
CM
< br>．由
AB
BC
1
AD
及
< br>BC
∥
AD
，
< br>
2
ABC
< br>
90
得四边形
ABCM
正方形，则
CM
A
D
．
<
/p>
P
A
B
C
M
N
D
因为侧面
PAD
为等边三角形且垂直于底面
ABCD
，
平面
PA
D
平面
ABCD
=
AD
，
所以
PM
< br>
AD
，
PM
< br>
底面
ABCD
．因为
CM
底面
ABCD<
/p>
，所以
PM
C
M
．
设
BC
x
，则
CM
x
，
CD<
/p>
2
x
，
PM
3
x
，
PC
PD
2
x
．取
CD
的中点
N
，
14
x
．
2
连结
PN
，则
PN
CD
，所以
PN
因为
PCD
的面积为
2
7
，
所以
1
1
4
2
x
<
/p>
x
2
7
，
解得
x
2
（舍去）
，
x
2
．
于
2
2
是
AB
BC
2
，
AD
< br>4
，
PM
2
3
．
所以四棱锥
P
ABCD
的体积
V
1
2(2
4)
2
3
4
3
．
3
2
9
、如图，四面体
ABCD
中，
ABC<
/p>
是正三角形，
AD
CD
．
D
C
E
B
A
(1)
证
明：
AC
BD
；
(2)
已知
ACD
是直角三角形，
AB
BD
．若
E
为棱
BD
上与
D<
/p>
不重合的点，且
AE
< br>EC
，求四面体
ABCE
与四面
体
ACDE
的体积比．
【解析】
（
1
）取
AC
的中点
O
连结
DO
，
BO
.
因为
AD
CD<
/p>
，所以
AC
⊥
D
O
．
又由于
ABC
是正三角形，所以
AC
⊥
BO
.
从而
AC
⊥平面
DOB
，
故
AC
⊥
BD
.
D
C
O
E
B
A
（
2
）连结
EO
．
<
/p>
由（
1
）及题设知
ADC
90
，所以
DO
AO
．
在
Rt
AOB
中，
BO
AO
AB
．
又
< br>AB
BD
，所以
2
2
2
< br>BO
2
DO
< br>2
BO
2
AO
2
AB
2
BD
2
，故
DOB
90
.
由题设知
AEC
为直角三角形，所以
EO
1
AC
．
2
1
B
D
．
2
又<
/p>
ABC
是正三角形，且
AB
BD
，所以
EO
故
E
为
BD
的中点，从而
E
到平面
ABC
的距离为
D
到平面
ABC
的距离的
1
，四面体
2
1
ABCE
的体积为四面体
ABCD
的体积的
，即四面体
ABCE
与四面体
ACDE
的体积之
2
比为
1:1
．
10
、如
图，已知正三棱锥
P
ABC
的侧面是直角三角形，
PA
< br>6
，顶点
P
在平面
ABC
内
的正投影为点
D<
/p>
，
D
在平面
PA
B
内的正投影为点
E
，连结
PE
并延长交
AB
于点<
/p>
G
．
（
I
）证明：
G
是
AB
的中点；
（
II
）在图中作出点
E
在平面
PAC
内的正投影
F<
/p>
（说明作法及理由）
，并求四面体
PDE
F
的体积．
【解析】
（Ⅰ）因为
P
在平面
ABC
内的正投影为
D
，所以
AB
PD
< br>.
因为
D
在平面
PAB
内的正投影为
E
，所以
AB
<
/p>
DE
.
所以<
/p>
AB
平面
PE
D
，故
AB
PG
.
又由已知可得，
PA
PB
，从而
G
是
AB
的中点
.
（Ⅱ）在平面
PAB
内，过点
E
作
< br>PB
的平行线交
PA
于点
F
，
F
即为
E
在平面
PAC
内
的正投影
.
理由如下：
< br>由已知可得
PB
PA
，
PB
PC
，
又
EF
/
/
PB
,
所以
EF
PA
，
EF
PC
,
因此
EF
平面
PAC
，即点
F
为
E
在平面
PAC
内的正投影
.
连接
CG
，
因为
P
在平面
ABC
< br>内的正投影为
D
，
所以
D
是正三角形
ABC
的
中心
.
由（Ⅰ）知，
G
是
AB
的中点，所以
D
在
CG
上，故
CD
2
CG
.<
/p>
3
由
题
设
可
得
PC
平
面
PAB
，
DE
平
面
PAB
，
所
以
DE
/
/
PC
，
因
此
PE
2
1
< br>PG
,
DE
< br>PC
.
3
3
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且
PA
6
，可得
DE
2,
PE
2
2.
在等腰直角三角形
EFP
中，可得
EF
PF
2.
所以四面体
PDEF<
/p>
的体积
V
1<
/p>
1
4
2
2
2
.
3
2
3
11
< br>、如图，菱形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
交于点
O
，点
E
、
F
分别在
AD
，
CD
上，
AE
< br>CF
，
EF
交
< br>BD
于点
H
，将
Δ
DEF
沿
EF
折到
Δ
D
EF
的位置
.
(
Ⅰ
)
证明：
AC
HD
'
；
(
Ⅱ
)
若
AB
5,
AC
6,
AE
5
,
OD
'
2
2
,
求五棱锥
D
< br>
ABCFE
体积．
4
【解析】
（Ⅰ）由已知得，
AC
BD
,
AD
CD
，