比例尺、面积变化、确定位置
杭皇后-
主要内容
比例尺、面积变化、确定位置
学习目标
1
、
使学生在具体情境中理解比例尺的意义，
能看懂线段比例尺。
会求一幅图的比例尺，
能按给定的比例尺求相应的实际距离或图
上距离，
会把数值比例尺与线段比例尺进
行转化。
2
、使学生在经历“猜想－验证”的过程中，自主
发现平面图形按比例放大后面积的变
化规律。
3
、在解决问题的过程中，进一步体会比例以及比例尺的应用价值，感知不同领
域数学
内容的内在联系，
增强用数和图形描述现实问题的意识和
能力，
丰富解决问题的策略。
4
、使学生在具体情境中初步理解北偏东（西）
、南偏东（西）的含义
，初步掌握用方向
和距离确定物体位置的方法，能根据给定方向和距离在平面图上确定物
体的位置或
描述简单的行走路线。
5
、使学生在用方向和距离确定物体位置的过程中，进一步培养观察能力、识图能力和
有条理的进行表达的能力。发展空间观念。
6
、使学生积极参与观察、测量、画图、交流等活动，获得成功的体验，体会数学知识
与生活实际的联系，拓展知识视野，激发学习兴趣。
考点分析
1
、图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
2
、比例尺
=
图上距离
，比例尺有两种形式：数
值比例尺和线段比例尺。
实际距离
1
）后，放
n
3
、把一个平面图形按照一定的倍数（
n
）放大或缩小到原来的几
分之一（
大（或缩小）后与放大（或缩小）前图形的面积比是
n
²
:1
（或
1
:n
²
）
。
4
、知道
了物体的方向和距离，就能确定物体的位置。
5
、根据物体的位置，结合比例尺的相关知识，可以在平面图上画出物体的位置
。画的
时候先按方向画一条射线，在根据图上距离找出点所在的位置。
< br>
6
、描述行走路线要依次逐段地说，每一段都应说出行
走的方向与路程。
典型例题：
例
1
、
（认识比例
尺）
王伯伯家有一块长方形的菜地，长
40
米，宽
30
米。把这块菜地按一
定的比例缩小，画
在平面图上长
4
厘米
，
宽
3
厘米。
你能分别写出菜地长、
宽的图上距离和实际距离的比
吗？
分析与解：
图上距离和实际距离的单位不同
，
先要统一成相同的单位，
写出比后再化简。
< br>
40
米
=
4000
厘米
3
厘米
=
0.03
米
4
0
.
03
3
1
1
=
=
=
4000
30
3000
1000
1000
图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
图上距离
:
实际距离
=
比例尺或
图上距离
=
比例尺
实际距离
图上距离和实际距离的比是
1:1000
，这幅图的比例尺
是
1:1000
，也可写成
1
，仍
1000
读作
1<
/p>
比
1000
。
点评：
求一幅地图的比例尺是一种比较简单的题目。做的时候唯
一要注意的就是末尾
0
的问题：一是米、千米化成厘米的时候要
在米、千米那个数的末尾加上
2
、
5<
/p>
个
0
；二是在求比例尺的结果时要注意<
/p>
0
的个数。多数一数、想一想，是不会有错
的。
例
2
、
（对比例尺的理解及比例尺的两种表示方法）
比例尺
1:1000
表示
图上距离是实际距离的几分之几？实际距离是图上距离的多少倍？
图上
< br>1
厘米表示实际距离多少米？
分析与解：
比例尺
1:1000
表示图
上距离是实际距离的
1
，实际距离是图上距离的
1000
1000
倍，图上
1
厘米的距离代表实际距离
1000
厘米
，即
10
米。
像形如
1:1000
这样的比例尺叫做数值比例尺。比例尺<
/p>
1:1000
还可以这样表
示
0 10 20
30
米
，这是线段比例尺，它表示图上
1
厘米
的距离代表
实际距离
10
米。
例
3
、一个手表零件长
2
毫米
，画在一幅图上长
4
厘米，这幅图的比例尺是多少？
错误解法：
4
厘米
= 40
毫米
2 : 40 =
1 : 20
思路分析：
无论什么样的图纸，
比例尺始终是图上距离与实际距离的比，
根据比例尺的
定义，用“图上距离
:
实际距离
=
比例尺”去求。
正确解答：
4
厘米
=
40
毫米
40 : 2 = 20 : 1
点评：
比例尺通常情况下都应该写成前项是
1
的比。
但比例尺的作用除了把实际距离缩
小
，
还可以把实际距离扩大，
这样比例尺的前项就比后项大，这时
后项通常化成
1
。在解答时，只要坚持好“图上距离
:
实际距离
=
比例尺”
，图上距离在前就
可以了。
例
4
、
（根据比例尺求图上距离或实际距离）
在比例尺是
1
的地图上，量得甲、乙两地的距离是
2.5
厘米。两地的实际
距离是
60000
1
，说明实际距离是
图上距离的
60000
倍。
60000
多少米？
分析与解：
方法
1
：比例尺是
2.5
×
60000 =
150000
（厘米）
150000
（厘米）
=
1500
米
方法
2
：比
例尺是
1
，也就是图上
1
厘米的距离代表实际距离
60000
60000
厘米，即
600
米。
2.5
×
600 =
1500
（米）
方法
3
：
根据
图上距离
=
比例尺，
可以用
“图上距离
÷
比例尺”
或
“解
实际距离
1
= 2.5
×
60000 =
150000
（厘米）
=
1500
米
60000
比例”的方法来求实际距离。
2.5
÷
解：
设两地的实际距离是ⅹ厘米。
<
/p>
2
.
5
1
=
60000
1
ⅹ
= 2.5
×
60000
ⅹ
= 150000
150000
（厘米）
=
1500
米
答：
两地的实际距离是
1500
厘米。
例
5
、
（平面图形按照一定的比放大后，面积扩大了比的平方倍）
下面的大长方形是由一个小长方形按比例放大后得到的图形。分别量出它们的长和宽，
算算大长方形与小长方形面积的比是几比几。
分析与解：
量得小长方形的长是
2.5
厘米，宽是
1
厘米；大长方形的长是<
/p>
7.5
厘米，宽
是
3
厘米。大长方形与小长方形长的比是
7.5 :
2.5 = 3 :
1
，宽的比是
3
:
1
。
<
/p>
大长方形的面积
7
.
5
3
3
7
.
5
=
=
×
= 9 : 1 = 3
²
: 1
2
.
5
1
1
2
.
5
小长方形的面积
答：
大长方形与小长方形面积的比是
9
:
1
。
例
6
、
（认识北偏东（西）若干度、南偏东（
西）若干度等方向）
如图，一辆汽车向正北方向行驶，你能说
出商场和书店分别在汽车的什么方向吗？
N
商场
北
45
º
60
º
书店
0 3 6 9
千米
汽车
分析与解：
从图上可以看出，以汽车
为中心，书店在汽车的东北方向，商场在汽车的西
北方向。
怎样才能更准确地表示它们的位置呢？
东北方向也叫做北偏东方向，书店在汽车的北偏东
60
º方向
。
西北方向也叫做北偏西方向，商场在汽车的北偏西
45
º方向。
答：
书店在汽车的北偏东
60
º方向，商场在汽车的北偏西
45
º方向。
例
7
、
（知道了物体的方向和距离，才能确定物体的具体位置）
< br>
量出上图中书店到汽车的图上距离，根据比例尺算一算，书店在汽车北偏东
60
º方向的
多少千米处？商场呢？
分析与解：
从图中量得书店和商场到汽车的
图上距离分别是
1.2
厘米和
2.3<
/p>
厘米，
根据
比例尺，图上距离
1
厘米代表实际距离
3
千
米，分别算出实际距离。
1.2
×
3 =
3.6
（千米）┄┄┄书店
2.3
×
3 =
6.9
（千米）┄┄┄商场
答：
书店在汽车北偏东
60
< br>º方向的
3.6
千米处，商场在汽车北偏西
45
º方向的
6.9
千米<
/p>
处。
点评：
只有在方向词的后面添上角的度数，
才能准确描述物体所在的位
置。
确定方向时，
一定要先确定好南或北，
再看是偏东还是偏西，如果图中没有画线，要先连线。
算实际距离就根据前面比例尺
的相关知识去求。
例
8
、
（辨析）
书店在汽车的
北偏东
60
º方向，表示汽车也在书店的北偏东
60
º方向。
分析与解：<
/p>
书店在汽车的北偏东
60
º方向，是以汽
车为中心，由北向东旋转
60
º；而以
书店为中心，汽车在书店的西南方向，即南偏西
60
º方向。<
/p>
书店在汽车的北偏东
60
º方向，表示汽车在书店的南偏西
60
º方向。
例
9
、
（根据给定的方向和距离，有序地确定
物体的具体位置）
海面上有一座灯塔，灯塔北偏西
30
º方向
30
千米处是
凤凰岛。
N
北
W
西
东
E
灯塔
0 10 20 30
千米
南
S
你能在图上指出凤凰岛大约在什么位置吗？
< br>分析与解：
（
1
）先确定北偏西
30
º的方向，画一条射线。
N
30
º
灯塔
（
2
）再算出灯塔到凤凰岛的图上距离是多少厘米。
30
÷
10 =
3
（厘米）
凤凰岛
●
N
30
º
灯塔
点评：
在表示凤凰岛的具体位置时，
先要画出表示方向的射线，
再确定灯塔到凤凰岛的
图上距离。且在画表示方向的射线时，
应从表示灯塔的点开始画起，
并注意正确
摆好量
角器。
例
10
、
（用方向和距离描述简单的行走路线
）
下图是某市旅游
1
号车行驶的线路图，请根据线路图填空。
（
1
）
旅游
1<
/p>
号车从起点站出发，
向
（
）
行驶到达青水公园，
再向
（
）
偏
（
）
（
）的方向行（
）千米到达抗战纪念碑。
（
2
）由绿博园向南偏（
）
（
）的方向行（
）千米到达购物中心，再向北偏
（
）
（
）的方向行（
）千米到达人民公园。
分析与解：<
/p>
先找准方向，
再说出具体的路程。
（
1
）
旅游
1
号车从起点站出发，
向
（
东
）
行驶到达青水公园，再向（
北
）偏（东）
（
40
º）的方向行（
1.8
）千米到
达抗战纪念碑。
（
2
）
由绿博园向南偏<
/p>
（东）
（
60
º
）
的方向行
（
1.7
< br>）
千米到达购物中心，
再向北偏
（
东
）
（
70<
/p>
º）的方向行（
1.5
）千米到达人民公
园。
点评：
在进行描述的时候，一定
要先说清楚方向再说路程。说方向的时候为了说清楚，
通常情况下不用东北、
西北、
东南、
西南等说法，
而用南偏东、
南偏西、
北偏东、
北偏
西多少度的说法更为准确。
模拟试题
１、说出下面各比例尺表示的意思。
1
∶
40000
2
、判断：
①小华在绘制学校操场平面图时，用
20
厘米的线段表示地面上
40
米的距离，
这幅图的比例尺为
1
︰
2
。
┈┈┈┈
（
）
②某机器零件设计图纸所用的比例
尺为
1
︰
1
，
说明了该零件的实际长度与图上是一样的
┈┈┈┈
（
）
③一幅图的比例尺是
6
︰
1
，这幅图所表示的实
际距离大于图上距离。┈┈┈
（
）
3
、选择：
①如果某图纸所用的比例尺小于
1
，那么这幅图所表示的图上距
离（
）实际距离。
A.
小于
B.
大于
C.
等于
②学校操场长
100
米，宽
60
米，在练
习本上画图，选用（
）作比例尺较合适。
A.1
︰
20
B.1
︰
2000
C.1
︰
200