数列通项公式与求和习题经典
当梦想照进现实-
数列通项与求和
一．求数列通项公式
数列通项公式与
求和习题
(
经典
)
二．数列求和
1
．
公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，
特别声明
：运用等比数列求和公式，务必检查其
公比与
1
的关系，必要时
需
分
类
讨
论
．；
③
常
用
公
式
：
1
2
3
1
．定义法（①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。<
/p>
）
例
．等差数
列
a
n
<
/p>
是递增数列，前
n
项和为
S
n
，且
a
< br>1
,
a
3
,
a
9
成等比数列，
S
5
a
2
5
．求数列
a
n
的通
项公式．
n
2
1
n
(
n
1)(
2
n
1)
，
1
3
2
3
3
3
6
1
例
1
．已知
log
3
x
，求
x
x
2
x
3
x
n
<
/p>
的前
n
项和<
/p>
.
log
2
3<
/p>
1
2
2
2
a
n
f
(
n
)
）求
a
n
，用作差法：
n
1
n
(
n
1)
，
2
n
(
n
1)
2
< br>n
3
[
]
．
2
2
．公式法：已知
S
n
< br>（即
a
1
a
2
a
1
,(
n
1)
a
n
<
/p>
S
n
S
n
1
,(
n
2)
例．设正整数数列
{
a
n
}
前
n
项和为
S
n
，满足
S
n
1
(
a
n
1)
2
，求
a
n
4
2
．
分组求和法：
在直接运
用公式法求和有困难时，
常将
“
和式<
/p>
”
中
“
同
类项
”
先合并在一起，再运用公式法求和．<
/p>
1
1
1
例
2
．
求数列的前
n
项和：<
/p>
1
1
,
4
,
2
7
,
,
n
1
3
n
2
，
a<
/p>
a
a
a
n
1
a
n
f
(
n
)
3.
累
加
法
：
若
求
a
n
(
a
n
a<
/p>
n
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
(
a
2
a
1
)<
/p>
a
1
(
n
2)
。
例．
已知数列，且
a
1
=2
，
a<
/p>
n
+1
=
a
n
+
n
，求
a
n
．
a
n
：
3
．倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数
列的通项
与组合数相关联，
则常可考虑选用倒序相加法，
发挥其共
性的作用求和（这也是等差数列前
n
和公式的
推导方法）
．
例
3
．
求
sin
2
1
sin
2
2
sin
2
3
<
/p>
sin
2
88
sin
2
89
的值
4
．
累
乘
法
：
已
知
a
a
a
n
< br>
n
n
1
a
n
1
a
n
2
a
n
1
f
(
n
)
求
< br>a
n
，
用
累
乘
法
：
a
n
a
2
a
1
(
n
2)
a
1
2
n
例
．已知数列
a
n
满足
a
1
，
a
< br>n
1
a
n
，求
a
n
。
3<
/p>
n
1
4
．错位相减法：如果数列的通项是
由一个等差数列的通项与一个
等比数列的通项相乘构成，
那么常
选用错位相减法
（这也是等比数
列前
n
和公式的推导方法）
．
S
n
1
< br>
3
x
5
x
2
7
x
3
(
2
n
1
)
x
n
< br>1
………………………
例
4.
求和：
5
．已知递推关系求
a
n
，用构造法（构造等差．等比数列）
。
< br>
例．
已知数列
a
n
< br>中，
a
1
1
，
a
n
1
2
a<
/p>
n
3
，求
a
n
．
5
．裂项
相消法：如果数列的通项可
“
分裂成两项差
”
的形式，且相
邻项分裂后相关联，
那么常选用裂项相消法求和．
常用裂项形式有：
1
1
1
1
；②
< br>1
(
1
1
)
；
①
n
(
n
1)
n
n
1
n
(
n
k
)
k
n
n
k
1
1
1
1
1
③
，
<
/p>
(
)
2
2
k
k
1
2
k
1
k
1
1
1
1
1
1
1
1
<
/p>
2
；
k
k
1
(
k
1)
k
< br>k
(
k
1)
k
k
1
k
1
/
2