等比数列通项公式、求和练习答案
网络流行用语-
双基限时练
(
十二<
/p>
等比数列
)
1
．下列各组数成等比数列的是
(
)
－
－
－
－
①
1
，－
2,4
，－
8
；②－
2
，
2
，－
2
2
，
4
；③
x
，
x
2
，
x
3
，
x
4
；④
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
.
A
．①②
B
．①②③
C
．①②④
D
．①②③④
解析
由等比数列的定义，知①、②、
④是等比数列．③中当
x
＝
0
时，不是等比数列．
答案
C
1
2
．已知等比数列
{
< br>a
n
}
中，
a
1
＝
32
，公比
q
＝－
，则
< br>a
6
等于
(
)
2
A
．
1
B
．－
1
1
C
．
2
D.
<
/p>
2
1
－
5
＝－
1.
解析
a
6<
/p>
＝
a
1
q
5
＝
32
×
2
答案
B
3
．在等比数列
{
a
n
}
中，
a
n
>0
，且
a
2
＝
1
－
a
1
，
a
4
< br>＝
9
－
a
3
，则
a
4
＋
a
5
的值为
(
)
A
．
16
B
．
27
C
．
36
D
．
81
a
1
＋
a
2
＝
1
，
解析
由已知，得
a
3
＋
a
4
＝
9.
<
/p>
∴
q
2
(
a
1
＋
a
2
)
＝
9
，∴
q
2
＝
< br>9.
∵
a
n
< br>>0
，∴
q
＝
< br>3.
∴
a
4
< br>＋
a
5
＝
q
(
a
3
＋
a
4
)
＝
3
×
9
＝
27.
答案
B <
/p>
2
a
1
＋
a
2
4
．在数列
{
a
n
}
中，对任意
n
∈
N
*
，都有
a
n
＋
1
－
2
a
n
＝
0(
a
n
≠
0)
，则
等于
(
)
2
a<
/p>
3
＋
a
4
1
A
．
1
B.
<
/p>
2
1
1
C.
D.
3
4<
/p>
a
n
＋
1
2
a
1
＋
a
2
a
1
2
＋
q
a
1
1
解析
由
a
n
＋
1
－
2
a
n
＝
0
，得
＝
2
，∴
{
a
n
}
为等比数列，且公比
q
＝
2
，∴
＝
＝
2<
/p>
＝
.
a
n
2
a
3
＋
a
4
a
3
2
＋
q
< br>
a
1
q
4
答案
D
5
．已知等比数列
{
a
n
}
满足
a
1
＋
a
2
＝
3
，
a
2
＋
a
3
＝<
/p>
6
，则
a
7
等于
(
)
A
．
64
B
．
81
C
．
128
D
．
243
a
2
＋
a
3
解析
∵
{
a
n
}
为等比数列，∴
＝
q
＝<
/p>
2.
a
1
＋<
/p>
a
2
又
a
1
＋
a
2
＝
3
，∴
a
1
＝
1.
故
a
7
＝
a
1
q
6
＝
64.
答案
A
< br>6
．已知
x,
2
x
＋
2,3
x
＋
3
是一个等比数列的前
3<
/p>
项，则第
4
项为
____________
．
2
x
＋
2
－
6
3
解析
由
(2
x
＋
2)
2
＝
x
(3
x
＋
3)
，∵
x
＋
1
< br>≠
0
，∴
4(
< br>x
＋
1)
＝
3
x
，∴
x
＝－
4
，∴公比
q
< br>＝
＝
＝
.
x
－
4
2
3
27
∴第
4
项为
xq
3
＝－
4
×
(
)
3
＝－
.
2
2
27
答案
－
2
7
．
2
＋
3
与
2
－
3
的等比中项是
________
．
< br>
答案
±
1
a
1<
/p>
＋
a
2
8
．已知数列
1
，
a<
/p>
1
，
a
2,
4
成等差数列，
1
，
b
1
，
<
/p>
b
2
，
b
3,
4
成等比数列，则
＝
________.
b
2
解析
<
/p>
根据题意得
a
1
＋
a
2
＝
5<
/p>
，
b
2
2
＝
b
1
b
3
＝
1
×
4
＝
4
，又
< br>b
2
>0
，
a
1
＋
a
2<
/p>
5
∴
b
2
＝
2
，∴
＝
.
b
2
2
5
答案
2
20
9
．已知
{
a
n
}
为等比数列，
a
3
＝
2
，
a
2
＋
a
4
＝
< br>，则
{
a
n
}
的通项公式为
________
．
3
解析
设等比数列的公比为
q
，则
q
≠
0
，
a
3
2
a
2
＝
＝
，
a
4
＝
a<
/p>
3
q
＝
2
q
，
q
q
2
20
1
∴
＋
2
q
< br>＝
.
解得
q
1
＝
，
q
2
＝
3.
q
3
3
1
n<
/p>
－
1
1
3
－
n
当
q
＝
时，
a
1
＝
18
，∴
a
n
＝
18
×
＝
2
×
3
.
3
3
2
2
－
－
当
q
＝
3
时，
a
1
＝
，∴
a
n
＝
×
3
n
1
＝
2
×
< br>3
n
3
.
9
9
－
3
－
n
答案
a
n
＝
2
×
3
或
a
n
＝
2
×
3
n
3
10
．已知数列
{lg
a
n
}
是等差数列，求证：
{
a
n
}
是等比数列．
a
n
＋
< br>1
a
n
＋
1
证明：
设数列
{lg
a
n
}
的公差为
d
，根据等差数列定义，得
lg
< br>a
n
＋
1
－
lg
a
n
＝
d
，∴
lg
＝
d
，∴
＝
1
0
d
(
常数
)
，∴
a
n
a<
/p>
n
d
{
a
n
}
是一个以
10<
/p>
为公比的等比数列．
11
．已知三个数成等比数列，它们的和为
13
，它们的
积为
27
，求这三个数．
a
a
＝
3
，
·
a
·
aq
＝
27
，
q
a
＝
3
，
<
/p>
a
解
根据题意
，设这三个数依次为
，
a
，
aq
(
aq
≠
0)
，则
解得
或
1
q
a
q
< br>＝
3
，
q
＝
.
3
＋
a
＋
aq
＝
13
，
q
∴所求三个数依
次为
1,3,9
或
9,3,1.
12
．
设数列
{<
/p>
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
且
a
n
≠
0(
n
∈
N
*
)
，
S
1
，
S
2
，
…，
S
n
，
…，
成等比数列，
试问数列
a
2
，
a
3
，
a
4
，
…，
a
< br>n
成等比数列吗？证明你的结论．
－
解
设
a
1
＝
a
，则
S
1
＝
a
1
＝
a
，∵
{
S
n
< br>}
成等比数列，设其公比为
q
，
则由等比数列的通项公式有
S
n
＝
S
1
·
q
n
1
＝
aq
n
－
1
.
－
－
－
当
< br>n
≥
2
时，
a
n
＝
S
n
－
S
n
－<
/p>
1
＝
aq
n
1
－
aq
n
2
＝
aq
n
2
(
q
－
1)
．
－
－
a
n
＋
1
＝
S
n
＋
1
－
S
n<
/p>
＝
aq
n
－
aq
n
1
＝
aq
n
1
(
q
－
1)
．
当
q
＝
1
时，
{
< br>S
n
}
为常数列，此时
a
n
＝
0
与题设条件
a
n
≠
0
矛盾，故
q
≠
1.
－
a
n
＋
1
aq
n
1
q
－
1
又
＝
< br>＝
q
(
n
≥
2)
，
a
n
aq
n
－
2
q
－
1
故数列
a
2
，
a
3
，
a
4
，
…
，
a
n
< br>，
…
成等比数列．
双基限时练
(
十三
等比数列的性质
)
1
．在等比数列
{
a
n
}
中，如果
a
6
＝
6
，
a
9
＝
9
，那么
a
3
为
(
)
3
< br>A
．
4
B.
2
16
C.
D
．
2
9<
/p>
a
9
3
a
6
2
解析
a
6
·
q
3
＝
a
9
< br>，∴
q
3
＝
＝
，∴
a
3
＝
3
＝
6
×
＝
4.
a
6
2
q
3
答案<
/p>
A
2
．在各
项均为正数的等比数列
{
a
n
}
中，若
a
5
a
6
＝
9
，则
log
3
a
1
＋
log
3
a
2
＋…＋
log
3
a
10
等于
(
)
A
．
12
B
．
10
C
．
8
D
．
2
＋
log
3
5
解析
由等比数列的性质，知
a
1
·
a
2
·
a
3
…
a
10
＝
(
a
5
·
a
6
)
5
＝
9
5
＝
3
10
，
∴
log
3
a
1
＋
log
3
a
2
＋
…
＋
log
3
a
10
＝
log
3
(
a
1
·
a
2
< br>…
a
10
)
＝
log
3
3
10
＝
10.
答案
B
3
．数列
{
a
n
}
为等比数列，且
a
< br>n
＝
a
n
＋
1
＋
a
n
＋
2
，
a
n
>0
，则该数列的公比
< br>q
是
(
)
2
2
5
B.
<
/p>
2
5
1
－
5
5
－
1
C.
D.
2
2
解析
<
/p>
由
a
n
＝
a
n
＋
1
＋
a
n
＋
2
，得
a
n
< br>＝
a
n
q
＋
a
n
q
2
.
5
－
1<
/p>
∵
a
n
>0
，∴
q
2
＋
q
－
1
＝
0
，解得
q
＝
.
2
答案
D
A.
a
6
4
．在等比数列
{
a
n
}
中，
a
n
>
a
n
＋
1
，且
a<
/p>
7
·
a
14
＝
6
，
a
4
＋
a
17
＝
5
，则
等于
(
)
a
19
3
2
A.
B.
2
3<
/p>
1
C.
D
．
6
6
解析
∵<
/p>
a
7
·
a
14
＝
a
4
·
a
17
＝
6
，
a
4
＋
a
17
< br>＝
5
，且
a
n
>
a
n
＋
1
，
a<
/p>
17
2
∴
a
4
＝
3
，
a
17
＝
2
，∴
q
13
＝
＝
.
a
4
3
a
6
a
< br>6
1
3
∴
＝
13
＝
13
＝
.
a
19
a
6
q
q
2
答案
A
5
．在等比数列
{
a
n
}
中，
a
5
·
a
6
·
a
7
＝
3
，
a
6
·
a
7
·
a
8
＝
24
，则
a
7
·
a
< br>8
·
a
9
的值等于
(
)
A
．
48
B
．
72
C
．
144
D
．
192
3
解析
a<
/p>
6
·
a
7
·
a
8
＝
(
a
5
·
a
6
·
a
7
)
q
3
3
∴
24
＝
3
q
，∴
q<
/p>
＝
8
，
∴
a
7
·
a
8
·
a
9
＝
(
a
6
·
a
7
·
a
8
)
q<
/p>
3
＝
24
×
8
＝
192.
答案
D
6
．设等差数列
{
a
n
}
的公差
d
不为
0
，
a
1
＝
9
d
，
若
a
k
是
a<
/p>
1
与
a
2
k
的等比中项，则
k
＝
(
)
A
．
2
B
．
4
C
．
6
D
．
8
解析
依题意，知
a
k
＝
a
1
＋
(
k
－<
/p>
1)
d
＝
9
d
＋
(
k
－
1)
d
＝
(
k
＋
8)
d
，
a
< br>2
k
＝
a
1
＋
(2
k
－
1)
d
＝
(
2
k
＋
8)
d
.
又
a
2<
/p>
a
2
k
.
∴
(
k
＋
8)
2
d
2
＝
9
d
·
< br>(2
k
＋
8)
< br>d
.
k
＝
a
1
·
2
即
k
－
2
k<
/p>
－
8
＝
0. <
/p>
∴
k
＝
4
，或
k
＝－
2(
舍去
)
．
答案
B
7
．已知
{
a
n
}
是等比数列，若
a
< br>n
>0
，且
a
< br>2
a
4
＋
2
a
3
a
5
＋
a
4
a
6
＝
25
，则
a
3
＋
a
5
＝
________.
2
解析
∵<
/p>
a
2
a
4
＝
a
2
3
，
a
4
a
6
＝
a
5
，
2
2
∴
a
2
3
＋<
/p>
2
a
3
a
5
＋
a
5
＝
25
，即
(
a
3
＋
a
5
)
＝
25.
又
a
n
>0
，∴
a
3
＋
< br>a
5
＝
5.
答案
5
8
．公差不为零的等差数列
{
a
n
}
中，
2
a
3
－
a
2
7
＋
2
a
n
＝
0
，数列
{
b
n
}
是等比数列，且
b
7
＝
a
7
，则
< br>b
6
b
8
＝
________.
2
2
解析
<
/p>
∵
2
a
3
－
a
7
＋
2
a
11
＝
2(
a
3
＋
a
11
)
－
< br>a
7
＝
4
a
7
－
a
2
7
＝
0
，
2
又
b
7
＝
a
7
≠
0
，∴
a
7
＝
4.
∴
< br>b
6
b
8
＝
b
7
＝
1
6.
答案
16
< br>9
．画一个边长为
2
厘米的正方
形，再以这个正方形的对角线为边画第
2
个正方形，以第
2
个正方形的对角线
为边画第
3
个正方形，这样一共画了
10
个正方形，则第
10
个正方形的面积等于
________
平方厘米．
解析
依题意这
10
个正方形的边长构成以
2
为首项
，
2
为公比的等比数列
{
a
n
}
，
< br>(1
≤
n
≤
10
，
n
∈
N
*
)
，则第
10
2
个正方形的面积
S
＝
a
10
＝
[2(
2)
9
]
2
＝
4
×
2
9
＝
2048.
答案
2048
10
．一个等比数列的第
3
项和第
4
项分别是
12
和
18
，求它的第
1
项和第
2
项，并求出通项公式．
解
设这个等比数列的第
1
项是
a
1
，公比是
q
，那么
a
1
q
2
＝
12
，①
a
1
q
3
＝
18
，②
3
②
÷
①得
q
＝
.
③
2
16
把③代入①得
a
1
＝
. <
/p>
3
16
3
因此，
a
2
＝
a
1
q
＝
×
＝
8
，
3
2
16
3
n
－
1
－
a
n
＝
a
1
·
q
n
1<
/p>
＝
·
(
)
，
3
2
16
16
3
－
所以数列的第
1
项和第
2
项分别为
和
8
，通项公式为
a
n
＝
< br>(
)
n
1
.
3
3
2
11
．
三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，
又可成为等比数列，这三个数的和为
6
，求这三
个数．
解
由已知，可设这三个数为
a
－
d
，
a
，
a<
/p>
＋
d
，则
a
－
d
＋
a
＋
a
＋
d
＝
6
，∴
a
＝
2.
故这三个数可表示为
2
－
d,
2,2
＋
d
.
①若
2
－
d
为等比中项，则有
(2
－
d
)
2
＝
2(2
＋
d
)
．
< br>解得
d
＝
6
或
d
＝
0(
舍去
)
．
此时三个数为－
4,2,8.
②若<
/p>
2
为等比中项，则有
2
< br>2
＝
(2
－
d
)(2
＋
d
)
．解得
d
＝
0(
舍去
)
．
③若
2
＋
d
为等比中项，则有
(2
＋
d
)
2
＝
2(2
－
d
)
，解得
d
＝－
6
或
d
＝
0(
舍去
)
．
此时三个数为
8,2
，－
4.
综上可知，这三个数是
8,2
，－
4.
12
．在等比数列
< br>{
a
n
}
中，
a
n
>0(
n
∈
N
*
)
，公比
q
∈
(0,1)
，且
a
1
< br>a
5
＋
2
a
3
a
5
＋
a
2
a
8
＝
25
，又
a
3
与
a
5
的等比中项为
2.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
设
b
n
＝
log
2
a
n
，数列
{
b
n
}
的前
n
项和为
S
n
，求数列
{
S
n
}
的通项公式；<
/p>
S
1
S
2
S
n
(3)
当
＋
＋…＋
最大时，
求
n
的值．
1
2
n
2
解<
/p>
(1)
∵
a<
/p>
1
a
5
＋
2
a
3
a
5
＋
a
2
a
8
＝
25
< br>，∴
a
2
3
＋
2
a
3
a
5
＋
a
5<
/p>
＝
25.
又
a
n
>0
，∴
a
3
＋
a
5
＝
5.
①
又
a
3
与
a
5
的等比中项为
2
，
∴
a
3
a
5
＝
4.
②
而
q
∈
(0,1)
，∴
a
3
>
a
5
.
∴由①与②解得
a<
/p>
3
＝
4
，
a
5
＝
1.
a
5
1
1
∴
q
2
＝
＝
，
q
＝
.
∴
a
1
＝
16.
a
3
4
2
1
－
－
∴
a
n
＝
16
×
(
)
n
1
＝
2
5
n
.
2
(2)
b
n
＝
log
2
a
n
＝
5
－
n
< br>，
b
n
＋
1
－
b
n
＝
－
1
，
b
1<
/p>
＝
4.
∴数列
{
b
n
}
是以
b
1
＝
4
为首项，－
1
为公差的等差数列．
n
9
－
n
∴
< br>S
n
＝
.
2
S
n
9
－
n
S
n
(3
)
由
＝
，得当
n
≤
8
时，
>
0
，
n
2<
/p>
n
S
n
S
n
当
n
＝
9
时，
＝
0
，当
n
>9
时，
<0
，
n
n
S
1
S
< br>2
S
n
∴当
n
＝
8
或
n
＝
9
时，
＋
＋
…
＋
最大．
1
2
n
1
．数列
{
2
n
}
的前
n
项和
S
n
等于
(
)
双基限时练
(
十四
2-5-1
等比数列的前
n
项和
)