通项公式及其求和方法归纳
格物致知什么意思-
通项公式及其求和方法归纳
【递推公式求通项式】
已知数列的递
推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题
型如果单纯的看某一个具体的
题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的
技巧性也很强，但是此类题目也有很强的
规律性，存在着解决问题的通法，本
文就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总
结，方便于学生学习和老
师的教学，不涉及具体某一题目的独特解法与技巧。
一、
a
n
1
a
< br>n
f
(
n
)
型数列，
（其中
f
(
n
)
不是常值函数
)
此类数列解决的办法是累加法，具体做法
是将通项变形为
a
n
1
a
n
f
(
n
)
，
从而就有
a
2
a
1
f
(1),
a
3
a
2<
/p>
f
(2),
K
,
a
n
a
n
1
f
(
n
1).
将上述
n
1
个式子累加，变
成
a
n
a<
/p>
1
f
(1)<
/p>
f
(2)
<
/p>
K
f
(
n
1)
，进而求解
。
例
1.
在数列
{
a
n
}
中
,
a
1<
/p>
2,
a
n
1
a
n
2
n
1,
求
a
n
.
1
a
n
1
a
n
n
(
n
1
< br>)
求
{
a
n
}
的通项公式。
类似题型练习：<
/p>
已知
{
a
n
}
满足
a
1
1
，
二、
a
n<
/p>
1
a
n
f
(
n
)
型数列，
（其中
f
(
n
)
不是常值函数
)
此类数列解决的办法是累积法
，
具体做法是将通项变形为
就有
a
a
a
2
f
(1),
3
f
(2),
K
K
,
n
f
(
n
1)
a
1
a
2
a
n
1
a
将上述
n
1
个式子累乘，变成
n
f
(1)
f
(2)
K
f
(
n
1)
，进而求解。
a
1
1
2
n
3
例
2.
已知数列
{
a
n
}
中
a
1
,
a
n
a
n
1
(
n
2)
，
求数列
{
a
n
}
的通项公
3
2
n
1
式
。
精选
a
n
1
f
(
n
)
，
从而
a
n
类似题型练习：在数列
{
a
n
}
中
,
a
n
>0,
a
1
2,
na
n
2
(
n
1)
a
n
1
2
a
n
1
a
n
,
求
a
n
.
提示：依题意分解因式可得
[(
n
1)
a
n
<
/p>
1
na
n
](
a
n
1
a
n
)
0
，而
a
n
>0,
所以
a
n
(
n
1)
a
n
< br>
1
na
n
0
，即
n
1
。
a
n
n
1
三、
a<
/p>
n
1
pa
n
q
型数列
此类数列解决的办法是将其构造成一个
新的等比数列，再利用等比数列的
a
m
p
(
a<
/p>
n
m
)
性质进行求解，
构造的办法有两种，
一是待定
系数法构造，
设
n
< br>1
，
b
a
pa
n
pm
m
展开整理
n
1
，比较系数有
pm
m
b
，所以
m
，所以
p
1
b
b
a
n
是等比数列，公比为
p
，首项为
a
1
。二是
用做差法直接构造，
p
1
p
1
a
n
1
pa
n
q
，
a
n
p
a
n
1
<
/p>
q
，
两式相减有
a
n
1
<
/p>
a
n
p
(
a
n
a
n
1
)
，
所以
a
< br>n
1
a
n
是
公比为
p
的等比数列。
例
3.
在数列
{
a
n
}
中
，
a
1
1<
/p>
，当
n
2
时，有
a
n
3
a
n
1
2
，求
{
a
n
}
的通项公
式。
类似题
型练习：已知数列
a
n
满足
a
1
1,
a
n
< br>
1
2
a
n
1(
n
N
*
).
求数列
a
n
的
通项公式
.
精选
四．
a
n
1
pa
n
f
n
型数列（
p
为常数）
<
/p>
此类数列可变形为
a
< br>n
a
n
1
a
n
f
n
，则<
/p>
n
可用累加法求出，由此求得
p
n
1
p
< br>n
p
n
1
p
a
n
.
例
4<
/p>
已知数列
a
n
满足
a
1<
/p>
1
,
a
n
1
3
a
n
2
n
1
,
求
a
n
.
1
例
5
．已知数列
a
n
满足
a
1
1,
当
n
2
时
,
a
n
a
n
< br>
1
2
n
1,
求
a
n
.
2
类似题型练习：
（
< br>1
）已知
a
< br>n
满足
a
1
2
,
a
n
1
<
/p>
2
a
n
2
n
1
，求
a
n
。
（
2
）已知数列
{
a
n
}
，
S
n
表示其前
n
项和，若满足
S
n
a
n
n
2
3
n
1
，求数
列
{
a
n
< br>}
的通项公式。
S
1
n
1
提示：
（
2
）中利用
a
n
，把已知条件转化成递推式。
< br>
S
n
S
n
1
,
n
2
Aa
n
a
n
Ba
n
C
五、
型数列（
A
,
B
,
C
为非零常数）
这种类型的解法是将式子两边同
时取倒数
,
把数列的倒数看成是一个新数
列
,
便可顺利地转化为
a
n
1
pa
n
q
< br>型数列。
2
a
n
例
6
．已知数列
a
n
满足
a
1
< br>2,
a
n
1
,
求
a
n
.
a
n
2
精选
2<
/p>
n
1
a
n
类似题型练习：数列
{
a
n
}
中，
a
n
1
n
1
,
a
1
2
，求
{
a
n
}
的通项。
2
a
n
六
.
a
n
2
pa
n
1
qa
n
型数列（
p
,
q
为常数）
这种类型的做法是用待定糸数法设
a
n
2
a
n
1
< br>a
n
1
a
n
构造等比数
列。
例
7
．数列
a
n
中，
a
1
2
,
a
2
3
,
且
2
a
n
a
n
1
a
< br>n
1
n
N
,
n
2
，求
a
n
.
类似题
型练习：
已知数列
a
n
}
满足，
a
1
＝
1
’
a
2
2,
a
n
＋
2
＝
a
n
a
n
1
,
n
N
*
.
2
令
b
n
a
n
1
a
n<
/p>
，证明：
{
b
n
}
是等比数列；
(
Ⅱ
)
求
a
n
}
的通项公式。
精选