经典数列求和公式.docx
hao268-
数
列
求
和
的
基
本
方
法
.
和
技
巧
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法
1
、等差数列求和公式：
S
n
n(
a
1
a
n
)
2
、等比数列求和公式：
S
n
a
1
(1
n
na
1
n(n 1)
d
2
2
na
1
(
q
1)
q
n
)
a
1
a
n
q
(q
1)
1
q
1
q
3
、
S
n
n
k
k 1
1
n(n 1)
自然数列
2
4
、
S
n
k
2
1
n(n
1)(2n
1)
自然数平方
成的数列
k 1
6
[
例
1]
已知
log
3
x
1
，求
x
log
2
3
x
2
x
3
x
n
的前
n
和
.
解：由
log
3
x
1
log
2
3
log
3
x
log
3
2
x
1
2
由等比数列求和公式得
S
n
x
x
2
x
3
x
n
（利用常用公式）
1
n
1
n
＝
x(1
x
)
＝
2
(1
2
＝
1
－
2
n
1
1
x
)
1
1
2
[
例
2]
S
n
＝
1+
2+3+
⋯
+n
，
n
∈
N
*
,
求
f
(n)
(n
S
n
32)S
n
的最大
.
1
解：由等差数列求和公式得
S
n
1
2
n(n
1)
，
S
n
1
(
n 1)(n 2)
（利用常用公式）
2
∴
S
n
＝
n
f (
n)
( n
32)S
n 1
n
2
34n
64
＝
1
n
34
64
n
＝
1
1
50
(
n
8
)
2
n
50
∴当
n
8
，即
n
＝
8
，
f
( n)
max
8
1
50
二、
位相减法求和
种方法是在推
等比数列的前
{a
n
n
和公式
所用的方法，
种方法主要用于求数列
}
分
是等差数列和等比数列
.
n
·
b }
的前
n
和，其中
{a }
、
{b
n
n
[
例
3]
求和：
S
n
1
3x
5x
2
7
x
3
(2n
1)x
n 1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①
解：由
可知，
{
(2n
之
1)x
n
1
}
的通
是等差数列
{2n
－
1}
的通
与等比数列
{
x
n 1
}
的通
xS
n
1x
3x
2
5x
3
7x
4
(2n
1)x
n
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2x
4
.
②（
制
位）
①－②得
(1
x)
S
n
1
2x
2x
2
2x
3
2x
n 1
(2n 1) x
n
（
位相减
）
再利用等比数列的求和公式得：
(1
x)
S
n
1
2x
1
x
n
1
1
x
(2n
1) x
n
∴
S
n
(2n
1)x
n
1
(2n
1)
x
n
(1
x)
x)
2
2n
(1
3
2
4
6
[
例
4]
求数列
2
,
2
2
2
,
解：由
可知，
{
}
的通
是等差数列
{2n}
的通
与等比数列
{
n
2
4
6
2n
2
S
n
n
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①
2
3
2
2
2
2
1
S
n
2
2
2
2
4
2
3
1
2
n
1
2n
,
,
2
n
,
前
n
的和
.
1
2
n
}
的通
之
6
2
4
)S
n
2n
2
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②
（
制
位）
2n
2
n 1
①－②得
(1
2
2
n
1
2
2
2
2
3
2
4
2
2
2
n
（
位相减
）
∴
S
n
4
n
2
2
：
*
提示：不要
得重复和无聊，乘公比
位相减的关
就是熟
！
通
{a
n
·
b
n
},
1
、
an
是自然数列，
bn
是首
1
，
q
2
的等比数列
2
、
an
是正偶数数列，
bn
是首
1
，
q
2
的等比数列
3
、
an
是正奇数数列，
bn
是首
1
，
q
2
的等比数列
4
、
an
是正偶数数列，
bn
是首
3
，
q
3
的等比数列
5
、
an
是正奇数数列，
bn
是首
3
，
q
3
的等比数列
6
、
an
是自然数列，
bn
是首
3
，
q
3
的等比数列
三、分
法求和
有一
数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将
数列适当拆开，可分
几个
等差、等比或常
的数列，然后分
求和，再将其合并即可
[
例
5]
求数列的前
n
和：
1
1,
.
3n 2
，⋯
1
1
4,
1
7,,
1
a
a
2
a
n