非等差等比数列的求和
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名学堂教育
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数列求和
Ⅰ
、
『回忆』求和公式求和
n
(
a
1
a
n
)
n
< br>(
n
1
)
na
1
d
2
2
(
q
1
)
na
1
n
2
、等比数列求
和公式：
S
n
a
1
(
1
q
)
a
1
a
n
q
(
q
1
)
< br>
1
q
1
q
1
、等差数列求和公式：
S
n
Ⅱ、非等差、等比数列求和
< br>（
1
）倒序相加法：将一个数列倒过来排列（反序）
，当它与原数列相加时，若有公因式可
提，并且剩余项的和易于求得
，则这样的数列可用倒序相加的方法求和。
1
,(
x
R
< br>)
点
P
(
x
,
y
),
P
(
x
,
y<
/p>
)
x
1
1
1
2
2
2
是函数
f
（
x
）的图像上
4
2
【例
1
】已知函数
，
1
P
P
的中点
P
的横坐标是
1
2
2
，
的
两点，且线段
f
(
x
< br>)
（
1
）求证：点
P
的纵坐标是定值。
<
/p>
n
a
n
f
(
)
n
L
m
m
）
m
(
m
N
,,
（
2
）若数列
{
a
n
}
的通项公式是
n=1
，
2
，…，
，求数列
{
a
n
}
的
前
m
项的和。
【思路分析】
（
1
）由中点坐标公式得：
x
1
x
2
1
，再
计算
y
1
y
< br>2
的值
可证。
（
2
）利用倒序相加的方法求和。
解：
（
1
）
由题意知：
x
1
< br>
x
2
1
，下面
计算
y
1
y
2
的值
1
1
4
x
1
4
x
2
4
4
x
1
4
x
2
< br>4
y
1
y
2
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
x
1
x
2
< br>x
1
x
1
x
2
x
2
4
2
4
2
(4
2)(4
2)<
/p>
4
2(4
x<
/p>
1
4
x
2
)
4
把
x
1
x
2
1
代入上式得：
，为定值。
n
m
n
1
f
(
)
f
(
)
恒成立。
m
2
（
2
）由（
1
）可知：
对任意的非零自然数
m
，
n
，
m
1
2
m
2
m
1
m
S
m
f
(<
/p>
)
f
(
)
L
f
(
)
f
(
)
（
f
)
m
m
m
m
m
，故
采用倒序相加的
由于：
1
2
m
1
m
S
m
f
(
)
f
(
)
<
/p>
f
(
)
f
(
)
m
m
m
m
方法求和。
①
①
+
②得：
即：
（<
/p>
2
）错位相减法：这是推导等比数列的前
n
项和公式时所用的方法，这种方法主要求数列
1
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{
a
n
b
n
}
（其中数列
{
a
n
}
是等差数列，数列
{
b
n
}
是等比数列）的前
n
项的和。
【例
2
】求和：
S<
/p>
n
1
2
3
n
2
3
L
n
,(
a
< br>
0)
a
a
a
a
C
n
n
1<
/p>
,
n
a
显然，数
列
{C
n
}
【
思路分析】
在上述求和的式子中，可知：数列的通项公式是
1<
/p>
{
n
}
是由等比
数列
a
和等差数列
{n}
组成的，故采用错位相减法。
n
< br>(
n
1)
2
解：
（
i
）当
a=1
时。
< br>1
2
3
n
1
S
n
2
3
L
n
a
a
a
a
…………（
1
）
（
ii
）当
a
1
时，
，在（
1
）的两边
同乘以
a
S
n
=1+2+3+
L
+n=
得：
1
2
3
n
1
n
< br>1
S
n
2
3
4
n
n
1
a
a
a
a
a
a
（
2
）
1
1
1
n
n
(
1
)
S
n
< br>
2
n
n
1
a
a
a
a
a
（
1
）－（
2
）得：
2
3
n
1
【例
3
】求和：
S
n
1
3
x
5
x
7
< br>x
(
2
n
1
)
x
………………………①
解：由题可知，<
/p>
{
(
2
n
1
)
x
n
1
}
的通项是等差数列
{2n
－
1
}
的通项与等比数列
{
x
n
1
}
< br>的
2
3
4
n
通项之积：设
xS
n
1
x
< br>3
x
5
x
7
x
(
2
n
1
)
x
…②（设制错位
）
2
3
4<
/p>
n
1
n
①
－
②
得
(
1
x
)
S
n
1
2
x
2
x
<
/p>
2
x
2
x
2
x
(
2
n
1
)
x
（
错
位
相
减
）
再
利
用
等
比
数
列
的
求
和
< br>公
式
得
：
1
x
n
1
(
1
x
)
S
n
1
2
x
(
< br>2
n
1
)
x
n
1
x
(
2
n
1
)
x
n
1
(
2
n
< br>1
)
x
n
(
1
x
)
S
n
2
(
1
x
)
。
∴
（
3
）裂项法：求数列
{
a
n
}
的前
n
项和
时，若能将
a
n
拆分为：
a
n
b
< br>n
b
n
1
的形式
则
，常见的裂项公式有：
（
i
）数列
{
a
n
}
是公差为
d
的等差数列，
< br>
1
1
1
1
(
)
a
a
L
a
(
k
1)
d
a
a
L
a
a
a
L
a
2
k
1<
/p>
2
k
1
2
3
k
则
1
1
1
1
1
[
]
n
(
n
1)(
n
2)
2
n
(
n
1)
(<
/p>
n
1)(
n<
/p>
2)
如
1
（
ii
）
a
b
1
(
a
b
)
a
b
2