数列求和常见法
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数列求和常见法
数列是高中代数的重要内容，
数列求
和是数列的重要内容之一。
数列求和是对按照一定
规律排列的数
进行求和。
除了等差数列和等比数列有求和公式外，
大部分数列
的求和都需要
一定的技巧。
常见的方
法有公式法、错位相减法、倒序相加法、分解分组法、裂项法、通项化归、并项求
和等等
。
1.
公式法：
适用题型：直接是等差数列或是等比数列形式的可以直接利用公式求和
等差数列求和公式
:
s
=
n<
/p>
n
(
a
1
a
n
)
2
=
n
a
+
1<
/p>
n
(
n
1
)
d
2
n
等比数列求和公式：
例如
：已
知数列﹛
解：
s
n
=n
a
（
q=1)
Sn=
1
a
1
(
1
q
)
1
q
（
q
1
< br>）
a
﹜满足
< br>n
1
a
=
1
3
n
1
，
a
n
3
a
n
1
（
n
≥
2
）
，求数列的前
n
项和。
2
2
n
1
a
1
1
a
2
a
1
3
a
3
a
2
3
……
a
n
a
n
1
3
所有等式的左边与左边相
加等于右式与右式相加（叠
加法）得
3
a
2
=
n
n
，所以﹛
a
﹜是以
n
3
为首项，以
3
为公比的
2
3
n
n
1
(
1
< br>3
)
3
等比数列，直接应用公式
s
n
2
3
1
3
4
注意：有些题目需要经过转化才能利用公式。
2.
错位相减法（倍差法）
适用题型：适用于通项公式为等差
的一次函数乘以等比的数列形式
，如
{
a<
/p>
n
}
、
b
分别是等差数列和等比数列
.
则
s
=
a
b
a
b
a
b
n
n
1
1
2
2
n
n
例如：
解：
2
a
n
3
n
1
T
T
=
2
×
n
b
n
2
+5
×
n<
/p>
c
=
a
b
求
c
的前
n
项和
T
n
n
n
n
n
。
2
1
2
2
+8
×
+5
×
2
3
+………
（
3n-1
）×
+………(3n
-4)
×
2
………
….
（
1
）
n
n
=
2
×
n
2
2
2
3
2
+(3n-1)
2
n
1
……….(2)
（
1
）－（
2
）得
－
T
n
=
2
×
2
1
+
3
×
2
2
+3
×
2
3
+…………3
×
2
n
－
(3n-1)
2
n
1
从第二项起
到倒数第二项这（ｎ－１）项正好是以２为公比的等比数列，共
n-1
项可以利用公式化简
即
<
/p>
－
T
＝２×
n<
/p>
2
1
＋３×
4<
/p>
(
1
2
)
1
2
n
1
－（３ｎ－１）
2
n
1
整理，得
T
＝８＋（３ｎ－４）
n
< br>2
n
1
．
注意：在错位相减后要数准形成的等比数列的项数。
3.
裂项法
适用于通项公式是分式形式的，
可以把一项拆成两个或多个的差
的形式，
然后进行累加
抵消中间的许多项。
常用公式：
（
1
）
1
1
1
n
(
n
1<
/p>
)
n
n
1
1
1
1
1
(
)
n
(
n
k
)
k
n
n
<
/p>
k
1
1
1
1
(
)
(
2
n
1
)(
< br>2
n
1
)
2
2
n
1
2
n
1
（
2
）
(3)
(4)<
/p>
1
1
1
1
(
)
(
n
1
)(
n
< br>2
)(
n
3
)
2
(
n
1
)(
n
2
)
(
n
2
)(
n
3
)
（
5
）
1
a
b
1
(
a
b
)
a
b
例：
求数列
1
n
(
n<
/p>
1
)
的前
n
项和
.
解：<
/p>
a
=
n
1
1
1
（裂项）
n
(
n
1
)
n
n
1
1
1
1
1
1
< br>1
1
1
n
=1-
=
n
1
n
1
2
< br>2
3
3
4
n
n
1
则
Sn
=
1
注意：
数列每一项拆为两项，首尾相消或
隔项相消，无限项化为有限项，余下的项首尾
前后呼应，
即前面
剩正项则后面剩负项，
前面剩负项则后面剩正项，
前后剩项个数一致。
4.
倒序相加法
这是推导等差数列的前
n
项和公式时所用的方法，
就是将一个数列倒过来排列
（反序）
，
再把它与原数列相加，
s
a
a
a
<
/p>
a
n
1
2
3
n
1
a
n
s
a
a
n
n
n
1
< br>a
3
a
2
a
1
上下相加
得到
2
s
即
n
s
= <
/p>
n
(
a
a
)
n
1
n
2
。
5.
分解分组法
适用数列表面看既不是等差数列，
也不是等比数列，
但将这
类数列适当分组，
可分为几
个等差、等比或常见的数列，然后分
别求和，再将其合并即可
.
3
9
25<
/p>
65
,
,
,
……前
n
项的和。
2
4
8
16
1
1
1
1
解：此数列可化为
1+
，
2+
，
3+
，
4+
……
2
4
8
16<
/p>
例如：
求
通项公式
a
n
n
1
2
n
∴
s
n
1
< br>
2
3
n
n
(
1
n
)
2
1
1
1
2
n
2
2
2
=
1
1
(<
/p>
1
n
)
2
2
1
1
2
=
n
(
1
n
< br>)
1
+
(
1
n
)
2
2
注意：准确把握等比数列的公比、
等差数列的公差，及项数。
6.
通项化归
适用于数列通项公式没先将通项公式进行化简，再进行求和。
例如：
求数列
1
，
1+2
，
1+2+4
，
1+2+4+8,
……
的前
n
项和。此时先将
a
n
求出
<
/p>
即
a
n
2
2
2
2
1
2
0
1
2
n
1
=
1
2
n
1
2
2
1
再利用分组
求和法求和。
n
n
< br>即
s
n
2
1
2
1
2
1
n
2
(
1
2
)
1
< br>
2
n
2
n
1
2
n
注意：准确把握通项时的项数及分组求和时的项数。
7.
并项求和：
适用于相邻几项合并后形成等差，等比或常数的数列。
例如：
1-2+3-4+5-6+
……
+99-100 =
（
1-2
）
+
（
3-4
）
+
……
(99-100)=
50
注意：
此数列可视为两个等差数列，
但运算量大，
用并项求和轻而易举就解决了。
运算时注
意项数的奇偶，是否都能并成一组还是有剩项。
8
周期数列求和
适用于具有周期性的数列，
求出一个周期内各项的和，
及一
个周期内各项分别是什么再求和。