数列求和的常见方法
雷锋身高-
数列求和的常见方法
数列问题中蕴涵着丰富的数学思想方法，
是高考用来考查考生对数学思想方法理解程度
的良好素材，
是历年高考的一大热点，
在高考命题中，
多以与不等式的证明或求解相结合的
形式出现，
一般数列的求和，主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题，
< br>因此，我
们有必要对数列求和的各种方法进行系统探讨。
一
、公式求和法
通过分析判断并证明一
个数列是等差数列或等比数列后，
可直接利用等差、
等比数列的
求和公式求和，
或者利用前
n
个正整数和的计算公式等直接求和。
因此有必要熟练掌握一些
常见的数列的前
n
项和公式
.
正整数和公式有：
1
1
2
3
n
n
n
<
/p>
1
;
2
2
1
2
2
2
n
2
n
n
1
2
n
1
;
6
2
n
n
1
< br>3
1
2
n
2
.
3
3
3
例
1
设
S
n
＝
1+2+3+
…+n，
n
∈
N
,
求
f
(
n
)
*
S
n
的最大值
.
(
n
< br>32
)
S
n
1
解：由等差数列求和公式得
S
n
1
1
n
(
n
1
)
，
S
n
(
n
1
)(
n
2
)
（利
2
2
用常
用公式）
∴
f
(
n
)
S
n
n
＝
2
(
n
< br>32
)
S
n
1
n
34
n
64
＝
1
n
34
64
n
＝
(
n
1
8
n
)
2
50
1
50
∴
当
n
,
<
/p>
8
1
，即
n
＝
8
时，
f
(
n
)
max
50
8
【能力提升】公式法主要适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列
的求和，
一些综合性的数列求和的解答题最后往往就归结为一个等差数列或等比
数列的
求和问题
.
二、分组求和法
有一类数列，既不是
等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为
几个等差、等比或常见的数
列，然后分别求和，再将其合并即可
.
形如：
< br>
①
a
n
b
n
,
其中
<
/p>
a
n
是等差数列；
b
n
是等比数列；
②
a
n
f
n<
/p>
,
n
2
k
1
,
g
n
,
n
2
k
,
k
N
n
例
2
已知数列
a
n<
/p>
的通项公式为
a
n
2
3
n
1
,
求数列
a
n
的前
n
项和
.
分析：该数列的通项是由一个等比数列
2
与一个等差数列
3
n
1
组成的，所以
n
可将其转化为一个等比
数列与一个等差数列进行分组求和
.
1
2
n
【解析】
S
n
a
1
a
2
a
n
2
2
2
5
< br>
2
3
n
1
2
1
2
n
n
2
3
< br>n
1
=
2
2
2
2
5
3
< br>n
1
.
=
1
2
2
1
2
n
=
2
n
1
3
1
< br>n
2
n
2
.
2
2
【能力提升】在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如
果它能拆分成几项的
和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就可以用此方
法求和
.
）
三、错位相减法
如果一个数列的各项
是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么
这个数列的前
n
项和即可用此法来求和
.
2
n
1
例
3.(2010
年全国高考宁夏卷
17
）
设数列
a
n
满足
a
1
2,
a
n
1
a
n
< br>3
2
（
1
）
求数列
a
n
的通项公式；
（
2
）
令
b
n
na
n
，求数列的前
n
项和
S
n
<
/p>
解：
（Ⅰ）由已知，当
n
≥
1
时，
< br>a
n
1
[(
a
n
1
a
n<
/p>
)
(
a
n
a
n
1
)
3(2
2
n
1
2
2
n
3
2)
2
(
a
2
a
1
)]
a
1
2
2(
n
1)
1
。
而
a
1
2,
所以数列
{
a
n
}
的通项
公式为
a
n
2
2
n
1<
/p>
。
2
n
1
（Ⅱ）由
b
n
na
n
n
2
知
#
S
n
1
2
2
2
3
3<
/p>
2
5
从而
n
2
2
n
1
①
2
3
5
7
2
S
n
<
/p>
1
2
2
2
3
2
n
2
2
n
1
②
①
-
②得
2
3
5
(1
2
)<
/p>
S
n
2
2
2
2
2
n
1
n
2
2
n
1
。
即
S
n
[(3
n
1)2
2
n
1
2]
1
9