数列求和及求通项方法归纳
关于大自然的谚语-
.
数列求和及求通项
一、数列求和的常用方法
1
、公式法：
利用等差、等比数列的求和公式进行求和
2
、错位相减法
：求一个等差数
列与等比数列的乘积的通项的前
n
项和，均可用错位相减法
例：
已知数列
a
n
3
、裂项
相消法
：将通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项
①形如
a
n
2
n
1
，求前
n
项和
S
n
n
1
3
1
1
1
1
，可裂项成
a
n
(
)
，列出前
n
项求和消去一些
项
n
(
n<
/p>
k
)
k
n
n
k
1
n
n
k
，可裂项成
a
n
②形如
a
n
1
(
n
k
n
)
，列出前
n
< br>项求和消去一些项
k
例：
已知数列
a
n
<
/p>
1
(
n
2
)
，
a
1
1
，求前
n
项和
S
n
< br>
(
n
1
)(
n
1
)
.
4
、分组求和法
：把一类由等比、等差和常见的数列组成的数列，先分别求和，再合并。
n
例：
已知数列
a
n
2
2
n
1
，求前
n
项和
S
n
5
、
逆序相加法
：把数列正着写和倒着写依次对应相加（等差数列求和公
式的推广）
一、数列求通项公式的常见方法有：
1
、关系法
2
、累加法
3
、累乘法
4
、待定系数法
5
、逐差法
6
、对数变换法
7
、倒数变换法
8
、换元法
.
9
、数学归纳法
累加法和累乘法最基本求通项公式的方法
求通项公式的基本思路无非就是
：
把所求数列变形，
构造成一个等差数列或等比数列，
再通
过累加
法或累乘法求出通项公式。
二、方法剖析
1
、关系法：适用于
s
n
f
(
n
)
型
a
< br>1
s
1
(
n
1
)
求解过程：
a
n
s
s
(
n
2
)
n
n
1
2
例：
已知数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
n
n
1
，求数列
a
n
的通项公式
2
、累加法：适用于
a
n
1
a
n
f
(
n
)
——
广义上的等差数列
求解过程：若
a<
/p>
n
1
a
n
f
(
n
)
则
a
2
a
1
f
(
1
)
a
3
a
2
f
(
2
)
......
累
加
a
n
a
n
1
f
(
n
1
< br>)
所有等式两边分别相加得：
a
n
a
1<
/p>
f
(
k
)
则
a
k
1
n
1
n
a
1
< br>f
(
k
)
k
1
n
1
的通项公式
例：
已知数列
< br>a
n
满足递推式
a
n
a
< br>n
1
2
n
1
(
n
2
)
，
a
1
1
，求
a
n
.
3
、累乘
法：适用于
a
n
1
f
(
n
)
a
n
——
广义上的等比数列
求解过程：若
a<
/p>
n
1
f
(
n
)
a
n
，则
a
n
1
< br>f
(
n
)
a
n
则
a
a
a
2
f
(
1
)
，
3
< br>
f
(
2
)......
n
f
(
n
1
< br>)
a
1
a
2
a
n
1
n
1
a
n
n
1
f
(
k
)
则
a
n
a
1
f
(
k
)
所有等式两边分别相乘得：
a
1
k
1
k
1
n
的通项公式
例：
已知数列
a
n
满足递推式<
/p>
a
n
2
a
n
1
(
n
2
)
，其中
a
1
3
，求
< br>a
n
4
、待定系数法：适用于
a
n
1
pa
< br>n
f
(
n
)
①形如
a
n
1
pa
n
b<
/p>
(
p
,
b
为常数
;
p
,
b
0
,
p
1
)
型（还可用逐差法）
求解过程：
构造数列
a
n
< br>1
k
p
(
a
n
k
)
，展开得
a
n
1
<
/p>
pa
n
pk<
/p>
k
，因为系数相等，所
以解方程
pk
k
b
得
k
b
b
b
p
(
a
n
)
，这样就构造出了
，所以有：
a
n
1
p
1
p
1
< br>p
1
一个以
< br>a
1
b
b
为首项，公比为
p
的等比数列
a
n
。从而求得
a
n
的通项公式为
p
1<
/p>
p
1
b
b
)
p
n
1
p
1
p
1
a
n
(
a<
/p>
1
.
的通项公式
例：
已知数列
a
n
< br>
满足递推式
a
n
2
a
n
< br>
1
1
(
n
2
)
，其中
a
1
2
,
求
a
n
②形如
a
n
1
pa<
/p>
n
bn
c
(
p
,
b
,
c
为常数
;
p
,
b
0
,
p
< br>
1
)
型
2
③形如
a
n
1
pa
n<
/p>
bn
cn<
/p>
d
(
p
,
b
,
c
,
d
为常数
;
p
,
b
0
,
p
1
)
型
n
④形如
a
n
1
pa
n
m
q
d
(
m
,
p
,
q
,
d
为常数
;
m
,
p
,
q
0
;
p
,<
/p>
q
1
)
型
⑤形如
a
n
2
pa
n
1
qa
n
(
p
,
q
为常数
;
p
,
q
0
;
p
< br>,
q
1
)
型
.
5
、逐差法：
形如
a
n
1
pa
n
b
(
p
,
b
为常数
,
p
,
b
0
,
p
1
)
，
可以把
n
换成
n
1
有
a
n
pa
n
1
b
，
两
式
相减得
a
n
1
a
n
<
/p>
p
(
a
n
a
n
1
)
，
这样就构造出了一
个以
a
2
a
1
为首项，
公比为
p
的等比
数列
< br>a
n
1
a
n
，
再运用累加法求出
a
n
的通项公式
的通项公式
例：
已知数列
a
n
< br>
满足递推式
a
n
2
a
n
< br>
1
1
(
n
2
)
，其中
a
1
2
,
求
a
n
6
、对数变换法：适用于
a
n
1
pa
< br>n
(
q
1
)
型
q