高中数学必修五数列求和方法总结附经典例题和答案详解
另类情感故事-
高中数学必修二复习
数列专项之求和
-4
（一）等差等比
数列前
n
项求和
1
、
等差数
列求和公式：
S
n
< br>n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1
)
na
1
d
2
2
(
q
1
)
na
1
n
2
、等比数列求和公
式：
S
n
a
1
(
1
q
)
a
1
a
n
q
(
< br>q
1
)
1
q
1
q
（二）
非等差等比数列前
n
项求和
⑴错位相减法
②
数列
<
/p>
a
n
为等差数
列，数列
b
n
为等比数列，则数列
a
n
b
n
的求和就要采用此法
.
②将数列
a
n
b
n
<
/p>
的每一项分别乘以
b
< br>n
的公比，然后在错位相减，进而可得到数列
a
n
b
n
的前
n
项和
.
< br>此法是在推导等比数列的前
n
项和公式时所用的方法
.
2
3
n
1
例
23.
求和：
S
n
1
3
x
5
< br>x
7
x
(
2
n
1
)
x
(
x
0
)
例
24.
求数列
2
4
6
2
n
,
2
< br>,
3
,
,
n
,
前
n
项的和
.
2
2
2
2
⑵裂项相消法
一般地，当数列的通项
a
n
c
(
a
,
< br>b
1
,
b
2
,
c
为常数）
时，往往可将
a
n
(
an
b
1
)(
an
b
2
)
变成两项的差，采用裂项相消法求和
.
可用待定系数法进行裂项：
设
a
n
an
b
1
an
b
2
，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等
得
c
，从
而可得
b
2
b
1
c
c<
/p>
1
1
=
(
).
(
an
b
1
)(
an
b
2
)
(
b
2
b
1
)
an
b
1
an
b
2
页脚内容
高中数学必修二复习
常见的拆项公式有：
①
1
1
1
1
< br>1
1
1
；
(
);
②
n
(
n
1)
n
n
1
(2
n
1)(2
n
1)
2
2
n
1
2
n
1
③
< br>
1
1
m
1
m
m
(
a
b
);
④
C
n
C
n
1
C
n
;
a
b
< br>a
b
1
1
1
1
[
]
n
(
n
1
)(
n
2
)
2
n
(
n
1
)
(
n
1
)(
n
2
)
⑤
n
n
!
(
n
1)!
n
!.
⑥
……
例
25.
求
数列
1
1
2
,
1
2
3
,
,
1
n
n
1
< br>,
的前
n
项和
.
例
26.
在数列
{a
n
}
中，
a
n
项的和
.
⑶分组法求和
2
1
2
n
，又
b
n
，求数列
{b
n
}
的前
n
a
n<
/p>
a
n
1
n
1
n
1
n
1
有一类数列，既不是等差数列，
< br>也不是等比数列，
若将这类数列适当拆开，
可分为几个<
/p>
等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可
.
一般分两步：①找通向项公式
②由通项公式确定如何分组
.
例
27.
求
数列
{n(n+1)(2n+1)}
的前
n
项和
.
例
28.
求
数列的前
n
项和：
1
< br>
1
,
⑷倒序相加法
如果一个数列
a
n
，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒
着写的
两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：
1
1
1
4
,
2
7
,
< br>,
n
1
3
n
2
a
a
a
a
1
a
n
a
2
a
n
< br>1
...
< br>0
1
2
n
n
例
29.
求证：
< br>C
n
3
C
n
5
C
n
(
2
n
1
)
C
n
(
< br>n
1
)
2
例
30.
求
sin
2
1
sin
2
2
sin
2
3
sin
2
88
sin
2
89
的值
页脚内容
高中数学必修二复习
⑸记住常见数列
的前
n
项和：
①
1
2
3
...
n
n
(
n
1)
;
2
2
②
1
3
5
...
(2
n
1)
n
;
③
1
2
2
2
3
2<
/p>
...
n<
/p>
2
3
3
3
1
n
(
n
1)(2
n
1).
6
④
1
2
3
< br>
n
3
[
n
(
n
1
)]
2
1
2
答案详解
例
23.
解
：由题可知，
{
(
2
< br>n
1
)
x
n
1
}
的通项是等差数列
{2n
－
1}
的通项与等比
数列
{
x
n
1
}
的通项之积。
S
n
1
3
x
5
x<
/p>
2
7
x
3
(
2
n
1
)
x
n
1
……………………….
①
设
xS<
/p>
n
1
x
3
x
2
5
x
3
7
x
4
(
2
n
<
/p>
1
)
x
n
……………………….
②
（设制错位）
①－②得
(
1
x
)
S<
/p>
n
1
2
x
2
x
2
2
x
3
2
x
4
2
x<
/p>
n
1
(
2
n
1
)
x
n
（错位相
减
）
1
x
n
1
(
2
n
1
)
x
n
< br>再利用等比数列的求和公式得：
(
1
x
)
S
n
1
2<
/p>
x
1
x
(
2
n
1
)
x
n
1
(
2
n
1
)
x
n
<
/p>
(
1
x
)
∴
S
n
(
1
x
)
2
例
24.
解：由题可知，
{
2
n
1
}
的通项
是等差数列
{2n}
的通项与等比数列
{
}
的通
n
n
2
2
项之积。
2
4
6
2
n
2
3
n
………………………
…………
①
2
2
2
2
1
2
4
6
2
n
（
设制错位）
S
n
2
3
4
n
1
………………………
………
②
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
n
①－②得
(
1
)
S
n
2
3
4
<
/p>
n
n
1
（错位相
2
2
2<
/p>
2
2
2
2
设
S
n
减
）
2
1
2
n
1
2
n
n
1
2
< br>页脚内容