数列求和及其综合应用
acreage-
数列求和及其综合应用
1.
掌握数列的求和方法
(1)
直接利用等差、等比数列求和公式；
(2)
< br>通过适当变形
(
构
造
)
将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；
(3)
根据数列特征，采用累加、累
乘、错位相减、逆序
相加等方法求和；
(4)
通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；
(5)
在
证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题
(
如
n(n
－
数列是特殊的函数，这部分容中蕴含的数学思想方法有：函数与方程思想、分类讨
1)
2
＋
1)
，
能用函数的
单调性<
/p>
(
定义法
)
来求
数列和的最值问题及恒成立问题．
2.
论
思想、化归转化思想、
数形结合思想等，高考题中所涉及的知识综合性很强，既有较繁的
运算又有一定的技巧，在解题时要注意从整体去把握．
1
、
若数列
{a
n
}
的通
项公式是
a
n
＝
(
－
1)
n
－
1
·
(3n
－
2)
，则
a
1
＋
a
2
＋…
＋
a
10
＝
_
_______.
A
n
7n
＋
5
a
7
2.
已知两个等差数列
{
a
n
}
和
{b
n
}
的前
n<
/p>
项和分别为
A
n
和
B
n
，且
＝
，则
＝
________
B
n
n
＋
3
b
7
a
2
n
＋
1
3.
若数列
{a
n
}
满足
2
＝
p(p
为正常数，
n
∈
N
*
)
< br>，则称
{a
n
}
为“等方比数列”
．则“数列
{a
n
}
a
n
是等方比数列”
是
“数列
{a
n
}
是等比数列”
的<
/p>
________
条件．
(
填
“充分不必要”
“必要不充分”
< br>“充要”或“既不充分又不必要”
)
4.
已知函数
f(x)
＝
x
2
＋
bx
的图象在点
(1
，
f(1))
处的切线与直线
6x
－
2y
＋
1
＝
0
平行，若数列
1
< br>
的前
n
项和为
S
n
，则
S
< br>2 012
＝
________.
f
n
5
、已知
公差不为零的等差数列
{a
n
}
中
a
1
＝
2
，设
a
1
、
a
3
、
< br>a
7
是公比为
q
的等比数列
{b
n
}
的
前三项．
(1)
求数列
{a
n
b
n
}
的前
n
项和
T
n
；<
/p>
(2)
将数列
{a
n
}
与
{b
n
}
中相同的项去掉，
剩下的项依次构成新的数列
{}
，
设其前
n
项和为
S
n
，求
S
2n
－
n
－
1
－
2
2n
－
< br>1
＋
3
·
2
n
－
1
的
值．
1
4
6
、已知等差数列
< br>{a
n
}
满足
< br>a
3
＋
a
6
＝－
，
a
1
·
a
8
＝－
，
a
1
＞
a
8
，
3
3
(1)
求数列
{a
n
}
的通项公式；
(2)
把数列
{a
n
}
的第
1
项、第
4
项、第
7
项、…、第
3n
－
2
项、…分别作为数列
{b
n
}
的第
1
项、第
2
项、第
3<
/p>
项、…、第
n
项、…，求数列
{2
b
n
}
的前
n
项之和；
(3)
设数列
{}
< br>的通项为
c
n
＝
n
·
2b
n
< br>，比较
(n
＋
1)(n
＋
2)
＋
n(n
＋
1)
＋
2
与
2n(n
＋
2)
＋
1
的大小．
7
、设数列
{a
n
}
的前
n
项和
为
S
n
，已知
ba
n
－
2
n
＝
(b
－
1)
S
n
.
(1)
证明：当
b
＝
2
< br>时，
{a
n
－
< br>n
·
2
n
－
1
}
是等比数列；
(2)
求
{a
n
}
的通项公式．
8
、已知数列
{a
n
}
满足
a
n
＝
2a
n
－<
/p>
1
＋
2
n
－
1(n
≥
2)
，且
a
4
＝
81
，
(1) <
/p>
求数列
{a
n
}
的前三项
a
1
，
a
2
，
a<
/p>
3
；
a
n
－
1
(2) <
/p>
求证：数列
n
为等差数列，并求
a
n
.
2
9
、已知数列
{a
n
}
和
{b
n
}
满足：
a
1
＝
1
，
a
2
＝
2
，
a
n
>0
，
b
n
＝
为公比的等比数列
．
(1)
证明：
< br>a
n
＋
2
＝
a
n
q
2
；
(2)
若
c
n
＝
a<
/p>
2n
－
1
＋
2a
2n
，证明：数列
{}
是等比数列；
(3)
求和：
＋
＋
＋
＋…＋
＋
.
a<
/p>
1
a
2
a
3
a
4
a
2n
－
1
a
2n
10
、将数列
{a
n
}
中的所有项
按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
a
9
a
10
…
记表中的第一列数
a
1
，
a
2
，
a
4
，
a
7
，…构成的数列为
{b
n
}
，
b
1
＝
a
1
＝
1. S
n
< br>为数列
{b
n
}
的
2b
n
前
< br>n
项和，且满足
＝
1(n
≥
2)
．
b
n
S
n
－
S
2
n
< br>1
1
1
1
1
1
a
n
a
n
＋
1
(n<
/p>
∈
N
*
)
，且
{b
n
}
是以
q
1
(1)
证明数列
成等差数列，并求数列
{b
n
}
的通项公式；
<
/p>
S
n
(2)
上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构
成等比数列，且公比为同
一个正数，当
a
81
＝－
时，求上表中第
k(k
≥
3)
行所有项的和．
91
4
12
、已
知二次函数
y
＝
f(x)
的图象经过坐标原点，其导函数为
f
′
(x)
＝
6x
－
2
，数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，点
(n
，
S
n
)(n
∈
N
*
)
均在函数
y
＝
f(x)<
/p>
的图象上．
(1)
< br>求数列
{a
n
}
的通项公式；
(2)
设<
/p>
b
n
＝
，
T
n
是数列
{b
n
}
的前
n
项和，求使得
T
n
＜
对所有
n
∈
N
*
都成立的最小
a
n
a
n
＋
1
20
正整数
m.
13
、已
知数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
满足：
S
n
＋
S
m
＝
S
n
＋
m
，且<
/p>
a
1
＝
1
，那么
a
10
＝
________.
14
、设函数
f(x)
＝
(x>0)
，观察：
x
＋
2
f
1
(x)
＝
f(x)
＝
，
f
2
(x)
＝
f(f<
/p>
1
(x))
＝
，
f
3
(x)
＝
f(f
2
(x))
＝
，
x
＋
2
3x
＋
4
7x
＋
8
f<
/p>
4
(x)
＝
f(
f
3
(x))
＝
，…
15x
＋
16
根据以上事实，由归纳推理可得：
< br>当
n
∈
N
＋
且
n
≥
2
时，
f
n
(x
)
＝
f(f
n
－
1
(x))
＝
________.
x
x
x
x
x
3
m
15
、函数
y
＝
x
2
(x>0)
的图象在点
(a
k
，
a<
/p>
k
2
)
处的切线
与
x
轴的交点的横坐标为
a
k
＋
1
，其中
k
∈
N
*
.
若
a
1
＝
16
，则
a
1
＋
a
3
＋
a
5
的值是
________
．
16
、已知数列
{a
n
}
满足：
a
1
＝
m(m
为正整数
)
，
a
n
＋
1<
/p>
a
2
，当
a
为偶数时，
＝
3a<
/p>
＋
1
，当
a
为奇数时
.
n
n<
/p>
n
n
若
a
6
＝
1
，则
m
所有可能的取值为
________.
17
、已知数
列
{a
n
}
的
前
n
项和为
S
n
，且
S
n
＝
n
－
5a
n<
/p>
－
85
，
n
∈
N
*
.
(1)
证明：
{a
< br>n
－
1}
是等比数列；
5
1
5
1
(2)
求数列
{S
n
}
的通项公式，
并求出使得
S
n
＋
1
>S
n
成立的最小正整数
n.
15
<
，
14
>
6
15
6
15
18
、设实数数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
满足
S
n
＋
1
＝
a
n
＋
1
S
n
(n
∈
N
*
)
．
(1)
若
a
1
，
S
2
，－
2a
2
成等比数列，求
S
2
和
a
3
；
4
(2)
求证：对
< br>k
≥
3
且
k
∈
N
*
有
0
≤
a
k
＋
1
≤
a
k
≤
.
3
b
n
19
、数列
{a
n
}
、
{b
n
}
是各项均为正数
的等比数列，设
c
n
＝
(n
∈
N
*
< br>)
．
a
n
(1)
数列
{}
是否为等比数列？证明你的结论；
S
n
n
(2)
设数列
{lna
n
}
、
{lnb
n
< br>}
的前
n
项和分别为
S
n
，
T
n
.
若
a
1
＝
2
，
＝
，求数列
{}
的前
< br>n
T
n
2n
＋
1
项和．
5
20
、两个正数
a
、
b
的等差中项是
，一个等
比中项是
2
的离心率
e
等于
________
．
6
，且<
/p>
a
＞
b
，则双曲
线
2
－
2
＝<
/p>
1
a
b
x
2
y
2
21
、在
等比数列
{a
n
}
中，前
n
项和为
S
n
，若
S
m
< br>，
S
m
＋
2
，
S
m
＋
1
成等差数列，则
a
< br>m
，
a
m
＋
2
，
a
m
＋
1
成等差数列．
(1)
写出这个命题的逆命题；
(2)
判断逆命题是否为真？并给出证明．
数列求和及其综合应用
1.
掌握数列的求和方法
(1)
直接利用等差、等比数列求和公式；
(2)
< br>通过适当变形
(
构
造
)
将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；
(3)
根据数列特征，采用累加、累
乘、错位相减、逆序
相加等方法求和；
(4)
通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；
(5)
在
证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题
(
如
n(n
－
数列是特殊的函数，这部分容中蕴含的数学思想方法有：函数与方程思想、分类讨
a 10 n
1)
2
＋
1)
，
能用函数的
单调性<
/p>
(
定义法
)
来求
数列和的最值问题及恒成立问题．
2.
论
思想、化归转化思想、
数形结合思想等，高考题中所涉及的知识综合性很强，既有较繁的
运算又有一定的技巧，在解题时要注意从整体去把握．
1
、
若数列
{a
n
}
的通
项公式是
a
n
＝
(
－
1)
n
－
1
·
(3n
－
2)
，则
a
1
＋
a
2
＋…
＋
a
10
＝
_
_______.
－
15
解析：
a
1
＋
a
2
＝
a
3
＋
a
4
＝…＝
a
9
＋
a
10
＝－
3
，
a
1
＋
2
＋…＋
a
＝
5
×
(
－
3)
＝－
15.
A
7n
＋
5
a
7
2.
已知两个等差数列
{a
n
}
和
{b
n
}
的前
n
项和分别为
A
n
和
B
n
，
且
＝
，
则
＝
________.2.
B
n
n
＋
3
b
7
A
13
7<
/p>
×
13
＋
5
6
解析：
＝
＝<
/p>
＝
＝
6.
b<
/p>
7
b
1
＋
b
13
B
13
13
＋
3
a
2
n
＋
1
3.
若数列
{a
n
}
满足
2
＝
p(p
为正常数，
n
∈<
/p>
N
*
)
，则称<
/p>
{a
n
}
为“等
方比数列”
．则“数列
{a
n
}
a
n
是等方比数列”
是
“数列
{a
n
}
是等比数列”
的
< br>________
条件．
(
填<
/p>
“充分不必要”
“必要不充分”
“充要”
或“既不充分又不必要”
) 3.
必要不充分
4.
已知函数
f(x)
＝
x
2
＋
bx
的图象在点
(1
，
f(1)
)
处的切线与直线
6x
－
2y
＋
1
＝
0
平行，若数列
a
7
a
1
＋
a
13
1
的前
n
< br>项和为
S
n
，则
S
2
012
＝
________.
f
n
1
2
012
2
4.
解析：
f
′
(x)
＝
2x
＋
b,2
＋
b
＝
3
< br>，
b
＝
1
，
f(n)
＝
n
＋
n
＝
n(n
＋
1)
，
S
n
＝
1
－
＋
2 013
2
1
1
1
1
n
－
＋…＋
－
＝
.
2
3
n
n
＋
1
n
＋
1
5
、已知公差不为零的等差数列
{a
n
}
中
a
1
＝
2
，设
a
1
、
a
3
、
a
7
是公比为
q
的等比数列
{b<
/p>
n
}
的
前三项．
(1)
求数列
{a
n
b
n
}
的前
n
项和
T
n
；
(2)
将数列
{a
< br>n
}
与
{b
n
}
中相同的项去掉，
剩下的项依
次构成新的数列
{}
，
设其前
n
项和为
S
n
，求
S
2n
－
n
－
1
－
2
2n
－
1
＋
3
·
2
n
－
1
的值．
解：
(1)
设等差数列
{a
n
}
的公差为
d
，则
(2<
/p>
＋
2d)
2
＝<
/p>
2
×
(2
＋
6d)
，又
d
≠<
/p>
0
，∴
d
＝
1
，
a
n
＝
n
＋
1
，
b
n
< br>＝
2
n
，
a
n
b
n
＝
(n
＋
1)
·
2
n
，用错位相减法可求得
T
n
＝
n
·
2
n
＋
1
.
(2)
∵
新的数列
{}
的前
2
n
－
n
－
1
项和
为数列
{a
n
}
的前
2
n
－
1
项的和减去数列
{b
n
}
前
n
项
< br>的和，
∴
S
2n<
/p>
－
n
－
1
＝
2
n
－
1
2
2
＋
2
n
－
2
2
n
－
1
2
－
1
＝
(2
n
－
1)(2
n
－
1
－
1)
．
∴
S
2n
－
n
－
1
－
2
2n
－
1
＋
3
·
2
n
< br>－
1
＝
1.
< br>1
4
6
、已知等差数列
{a
n
}
满足
a
3
＋
a
6
＝－
，
a
1
·
a
8
＝－
，
a
1
＞
a
8
，
3
3
(1)
求数列
{a
n
}
的通项公式；
(2)
把数列
{a
n
}
的第
1
项、第
4
项、第
7
项、…、第
3n
－
2
项、…分别作为数列
{b
n
}
的
第
1
项、第
2
项、第
3
项、…、第
n
项
、…，求数列
{2
b
n
}
的前
n
项之和；
(3)
设数列
{}<
/p>
的通项为
c
n
＝
n
·
2b
n<
/p>
，试比较
(n
＋
1)(n
＋
2)
＋
n(n
＋
1)
＋
< br>2
与
2n(n
＋
2)
＋
1
的
< br>大小．
1
4
解：
(1)
{a
n
}
为等差数列，
a
3
＋
a
6
＝
a
1
＋
a
8
＝－
，又
a
1
·
a
8
＝－
，且
a
1
＞<
/p>
a
8
，求得
a<
/p>
1
3
3
4
a
8
－
a
1
1
＝
1
，
a
8
＝－
< br>，公差
d
＝
＝－
，
3
8
－
1
3
1
1
4
∴
a<
/p>
n
＝
1
－
(n
－
1)
＝－
n
＋
(n
∈
N
*
)
．
3
3
3
1
4
(2) b
1
＝
a
1
＝
1
，
b
2
＝
a
4
＝
0,
∴
b
n
＝
a
3n
－
2
＝－
(3n
－
2)
＋
＝－
n
＋
2
，
3
3
∴
2b
n
＋
1
2b
n
＝
2
－
n
＋
1
＋
2
2
－
< br>n
＋
2
1
1
＝
，
∴
{2b
n
}
是首项为
2
，公比为
的等比数列，
2
2
∴
{2
b
n
}
的前
n
项之和为
<
/p>
1
2
1
－
n
2
1
1
－
2
1
＝<
/p>
4
－
n
－
2
.
2
(3)
＝
n
·
2
b
n
，
∴
(n<
/p>
＋
1)(n
＋
2
)
＋
n(n
＋
1)
＋
2
－
2
n(n
＋
2)
＋
1
＝
n(n
＋
1)(n
＋
2)2b
n
＋
n(n
＋
1)(n
＋
2)
·
2b
n
＋
2
－
2n(n
＋
1)(n<
/p>
＋
2)
·
2b<
/p>
n
＋
1
＝
n(n
＋
1)(n
＋
2)(2b
n
＋
2b
< br>n
＋
2
－
2
×
2b
n
＋
1
)
＝
n
(n
＋
1)(n
＋
2)2b
n
(1
＋
2b
n
＋
2
< br>－
b
n
－
2
×
2b
n
＋
1
－
b
n<
/p>
)
＝
n(n
＋
1)(n
＋
2)
·
2b
n
(1
＋
2
－
2
－
2
×
2
－
1
)
1
＝
n(n
＋
1)(n
＋
2)2b
n
(1
＋
－
1)
＞
0
，
4
其中
b
n
＋
2
－
b
n
＝－
(n
＋
2)
＋
2
－
(
－
n
＋
2)
＝－
2
，
b
n
＋
1
－
b
n
＝－
(n
＋
1)
＋
2
－
(
－
n
＋
2
)
＝－
1
，∴
(n
＋
1)(n
＋
2)
＋
n(n
＋
1)
＋
2
＞
2n(n
＋
2)
< br>＋
1
.
7
、设数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，已知
ba
n
－
2
n
＝
(b
－
1)S
n
.
(1)
证明：当
b<
/p>
＝
2
时，
{a<
/p>
n
－
n
·
2
n
－
1
}
是等比数列；
(2)
求
{a
n
}<
/p>
的通项公式．
解：由题意知
a
1
＝
2
，且
ba
n
－
2
n
＝
(b
< br>－
1)S
n
，
< br>ba
n
＋
1
－
2
n
＋
1
＝
(b
－
1
)S
n
＋
1
，
两式相减得
b(a
< br>n
＋
1
－
a
n
)
－
2
n
＝
(b
－<
/p>
1)a
n
＋
1<
/p>
，即
a
n
＋
1
＝
ba
n
＋
2
n
.
①
(1)
当
b
＝
2
时，由①知
a
n
＋
1
＝
2a
n
＋
2
n
于是
a
n
＋
< br>1
－
(n
＋
1)
·
2
n
＝
2a
n
＋
2
n
－
(n
＋
1)
·
2
n<
/p>
＝
2(a
n
－<
/p>
n
·
2
n
－
1
)
，
a
n
＋
1
－
n
＋
1
·
2
n
又
a
1
－
1<
/p>
·
2
1
－
1
＝
1
≠
0,
∴
a
n
－
n
·
2
n
－
1
≠
0,
∴
＝
2
，
a
n
－
n
·
2
n
－
1
∴
{a
n
－
n
·
2
n
－
1
}
是首项为
1
，公比为
2
的等比数列．
(2)
当
b
＝
2
时，由
(1)
知
a
n
－
n
·
2
n
－
1
＝
2
n
－
1
，即
a
n
＝
(n
＋
< br>1)2
n
－
1
< br>，
当
b
≠
2
时，由①得
a
< br>n
＋
1
－
1
2
－
b
·
2
n
＋
1
＝
ba
＋
2
n
－
1
2
－
b
·
2
n
＋
1
＝
ba
n
－
b
2
－
b
n
·
2
n
＝
1
n
·
2
.
b
a
n
－
2
－
b
因此
a
n
＋
1
－
2
－
b
1
·
2
n
＋
1
＝
b
1
1
2
1
－
< br>b
n
·
2
，又
a
1
－
a
n
－<
/p>
×
2
＝
，
2
－
b
2
－
b
2
－
b